1、第2课时简单的三角恒等变换考向一三角函数式的化简例1(1)已知0，则_.答案cos解析由(0，)得00，所以2cos.又(1sincos)2cos2coscos.故原式cos.(2)化简：tan _.答案解析原式 1 .(3)化简：2cos()解原式. 三角函数式化简的常用方法(1)异角化同角：善于发现角之间的差别与联系，合理对角拆分，恰当选择三角公式，能求值的求出值，减少角的个数(2)异名化同名：统一三角函数名称，利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一(3)异次化同次：统一三角函数的次数，一般利用降幂公式化高次为低次1.化简：_.答案解析原式tan(902).2化简：_.答案cos
2、2x解析原式cos2x.多角度探究突破考向二三角函数式的求值角度给角求值例2(1)求值：()A1 B2 C D答案C解析原式.(2)求值：_.答案4解析原式4. 该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值3.求值：()A4 B2 C2 D4答案D解析4.故选D.4(1tan1)(1tan2)(1tan3)(1tan44)的值为()A222 B223 C211 D212答案A解析由结论知tan1tan441tan1tan44，(1tan1)(1tan44)1tan1tan44tan1tan4411tan1tan44
3、tan1tan442.所以(1tan1)(1tan2)(1tan3)(1tan44)222.故选A角度给值求值 例3(1)(2021赣州模拟)若cos78m，则sin(51)()A BC D 答案A解析cos78m，cos(18078)cos102cos78m，可得12sin251cos102m，sin251，解得sin51 ，sin(51) .故选A(2)(2022辽宁沈阳摸底)已知cos，则sin_.答案解析由题意可得cos2，cossin2，即sin2.因为cos0，所以00，00，02，tan(2)1.tan0，20，2. 通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时应遵循的原则(1)
4、已知正切函数值，则选正切函数(2)已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数若角的范围是，则选正、余弦函数皆可；若角的范围是(0，)，则选余弦函数较好；若角的范围为，则选正弦函数较好7.(2021福建漳州八校联考)已知锐角的终边上一点P(sin40，1cos40)，则等于()A10 B20C70 D80答案C解析由题意，得tantan70.又为锐角，70，故选C8已知cos，cos()，且0，则的值为_.答案解析0，0.又cos()，sin().cos，0，sin，coscos()coscos()sinsin().0，.考向三三角恒等变换的综合应用例5(1)(多选)(2022江苏南京月考)已知函数
5、f(x)sincos (06)的图象关于直线x1对称，则满足条件的的值为()A B C D答案BC解析f(x)sinsin.因为f(x)的图象关于直线x1对称，所以k，kZ，解得k，kZ，因为06，所以或，故选BC(2) (2021海口调研)如图，已知OPQ是半径为1，圆心角为的扇形，点A在弧PQ上(异于点P，Q)，过点A作ABOP，ACOQ，垂足分别为B，C，记AOB，四边形ACOB的周长为l.求l关于的函数关系式；当为何值时，l有最大值？并求出l的最大值解ABOAsinsin，OBOAcoscos，ACOAsinsin，OCOAcoscos，所以lsincossincossincoscos
6、sincossinsincos(sincos)(1)sin.由0，得，当，即时，sin1，lmax1，所以当时，lmax1. 三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用(2)把形如yasinxbcosx化为ysin(x)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性9.(2022湖南岳阳摸底)若函数f(x)5cosx12sinx在x时取得最小值，则cos等于()A BC D答案B解析f(x)5cosx12sinx1313sin(x)，其中sin，cos，由题意知2k(kZ)，得2k(kZ)，所以coscoscos
7、sin.10.(2021太原市高三联考)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有一道著名的“引葭赴岸”问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺引葭赴岸，适与岸齐问水深、葭长各几何？”其意思为：“今有水池1丈见方(即CD10尺)，芦苇生长在水的中央，长出水面的部分为1尺将芦苇向池岸牵引，恰巧与池岸齐接(如图所示)，问水深、芦苇的长度各是多少？”现假设BAC，则tan_.答案5解析设BCx，则ACx1，又AB5，52x2(x1)2，x12，tan，tan(负根舍去)，tan5. 拼凑法在三角恒等变换中的妙用1(多选)(2021湖北荆州模拟)已知为第一象限角，为第三象限角，且sin，cos
8、，则cos()可以为()A B C D答案CD解析为第一象限角，且sin，cos.为第三象限角，且cos，可能是第三象限角，也可能是第二象限角，当是第三象限角时，sin，故cos()coscoscossinsin；当是第二象限角时，sin，故cos()coscoscossinsin.2(2021聊城二模)已知cos，则sin_.答案解析因为cos，则，且sin，所以sinsinsin2sincos2.答题启示角的变换是三角函数变化的一种常用技巧，解题时要看清楚题中角与角之间的和差、倍半、互余、互补的关系，把“目标角”变成“已知角”，通过角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决对点训练
9、1若sin2cossin，则()A B C2 D4答案B解析sin2cossin，sincoscossin2cossin，即sincos3cossin，tan3tan，则.故选B.2(2021郑州三模)在平面直角坐标系xOy中，为第四象限角，的终边与单位圆O交于点P(x0，y0)，若cos，则x0()A BC D答案A解析由题意得cosx0，因为为第四象限角，即2k2k，kZ，所以2k0，sin0，可得点P在第一象限，又tantan，所以2k，kZ.故选B.6(2022广东茂名月考)若sin，且，则cos()A B C D答案A解析由sin且，得cos，coscossin2sincos.故选A
10、7. 已知在区间0，上，函数y3sin与函数y的图象交于点P，设点P在x轴上的射影为P，P的横坐标为x0，则tanx0的值为()A B C D答案B解析依题意得3sinsincos，即2sincos，则tan，所以tanx0.故选B.8(2021郑州模拟)设，若，且tan，则()A B C D答案A解析由tan得sincoscoscossin，即sin()cossin，因为，所以，由sin()sin，得，所以2，所以.故选A二、多项选择题9当tan有意义时，下列等式成立的是()Atan BtanCsin Dcos答案ACD解析tan，A成立；tan，B不成立；sin，C成立；cos，D成立10
11、给出下列四个关系式，其中正确的是()Asinsincos()cos()Bsincossin()sin()Ccoscoscos()cos()Dcossinsin()sin()答案BD解析由sin()sincoscossin，sin()sincoscossin，两式相加可得sincossin()sin()，故B正确；两式相减可得cossinsin()sin()，故D正确；由cos()coscossinsin，cos()coscossinsin，两式相减可得sinsincos()cos()，两式相加可得coscoscos()cos()，故A，C错误故选BD.11(2022福建期末)已知函数f(x)s
12、inxsin，则f(x)的值不可能是()A B C2 D2答案CD解析f(x)sinxsin2xsinxcosxsin2xsin，故选CD.12(2021长沙质检)已知函数f(x)4cos2x，则下列说法中正确的是()Af(x)为奇函数Bf(x)的最小正周期为Cf(x)的图象关于直线x对称Df(x)的值域为0,4答案BD解析f(x)4cos2x2cos2x2，该函数的定义域为R.f(x)2cos(2x)22cos2x2f(x)，函数f(x)为偶函数，A错误；函数f(x)的最小正周期为T，B正确；f2cos22，f既不是函数f(x)的最大值，也不是该函数的最小值，C错误；1cos2x1，f(x)
13、2cos2x20,4，D正确三、填空题13(2020江苏高考)已知sin2，则sin2的值是_.答案解析sin22(1sin2)，(1sin2)，sin2.14求值：sin50(1tan10)_.答案1解析sin50(1tan10)sin50sin50sin501.15定义运算|adbc.若cos，|，0，则_.答案解析由题意有sincoscossinsin()，又0，0，故cos()，又cos，sin，于是sinsin()sincos()cossin().又0，故.16(2022龙岩质检)若(0，)，且3sin2cos2，则tan_.答案解析解法一：3sin2cos2，3tan1tan2ta
14、n21，解得tan0或，又(0，)，tan0，tan.解法二：3sin2cos2，3sin2(1cos)，6sincos4sin2，sin0，又0，0，sin0，cos0，2sin3cos，tan.四、解答题17(2021昆明市高考三诊一模)已知sin()，sin().(1)求证：sincos5cossin；(2)若已知0，0，求cos2的值解(1)证明：sin()sincoscossin，sin()sincoscossin，2sincos2cossin1，3sincos3cossin1，得sincos5cossin0，则sincos5cossin.(2)sin()，sin()，0，0，cos
15、()，cos()，则cos2cos()()cos()cos()sin()sin().18已知函数f(x)sin(x)的最小正周期为，且cos2cos0.(1)求和f的值；(2)若f(0)，求sin.解(1)函数f(x)sin(x)的最小正周期为，2.再根据cos2cos2cos21cos0，得cos1(舍去)或cos，故f(x)sin，故fsin.(2)fsin，为钝角，故cos，故sinsinsincoscossin.19. (2021威海高三上学期期中)某水产养殖公司在一片海域上进行海洋牧场生态养殖，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧PMQ(M为此圆弧的中点)和线段PQ构成已知圆O的半径为
16、12千米，M到PQ的距离为16千米现规划在此海域内修建两个生态养殖区域，养殖区域R1为矩形ABCD，养殖区域R2为AMB，且A，B均在圆弧上，C，D均在线段PQ上，设AOM.(1)用分别表示矩形ABCD和AMB的面积，并确定cos的范围；(2)根据海域环境和养殖条件，养殖公司决定在R1内养殖鱼类，在R2内养殖贝类，且养殖鱼类与贝类单位面积的年产值比为32.求当为何值时，能使年总产值最大解(1)设矩形ABCD和AMB的面积分别为S1，S2，由题意可得，矩形ABCD的边长分别为24sin，412cos，所以S196sin(13cos)，等腰三角形AMB的底与高分别为24sin，1212cos，所以S2144sin(1cos)过P作PNOM交圆弧于点N，连接ON.设MON0，0，易得cos0，因为C，D均在线段PQ上，所以00，所以cos0coscos0，即cos0)，设年总产值为S，则年总产值为S3k96sin(13cos)2k144sin(1cos)576k(sinsincos)设f()sinsincos，且00，f()coscos2sin22cos2cos1(2cos1)(cos1)，令f()0，得，因为cos0，f()0，f()在上单调递增；当时，cos，f()0，f()在上单调递减所以当时，能使年总产值最大