1、章末综合测评(一)解三角形(满分：150分时间：120分钟)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1在ABC中，ak，bk(k0)，A45，则满足条件的三角形有()A0个B1个C2个 D无数个A由正弦定理得，所以sin B1，即sin B1，这是不成立的所以没有满足此条件的三角形2已知三角形三边之比为578，则最大角与最小角的和为()A90 B120C135 D150B设最小边为5，则三角形的三边分别为5，7，8，设边长为7的边对应的角为，则由余弦定理可得49256480cos ，解得cos ，60.则最大角与最小角的和为1806
2、0120.3在ABC中，A，BC3，AB，则C()A或 BC DC由，得sin C.BC3，AB，AC，则C为锐角，故C.4在ABC中，a15，b20，A30，则cos B()A BC DA因为，所以，解得sin B.因为ba，所以BA，故B有两解，所以cos B.5在ABC中，已知(bc)(ca)(ab)456，则sin Asin Bsin C等于()A654 B753C357 D456答案B6在ABC中，a，b，c分别为A，B，C的对边，如果2bac，B30，ABC的面积为，那么b等于()A B1C D2BSABCac sin B，ac6.又b2a2c22ac cos B(ac)22ac2
3、accos 304b2126，b242，b1.7已知ABC中，sin Asin Bsin Ck(k1)2k，则k的取值范围是()A(2，) B(，0)C DD由正弦定理得：amk，bm(k1)，c2mk，(m0)，即k.8在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin2，则ABC的形状为()A等边三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰直角三角形B由已知可得，即cos A，bc cos A.法一：由余弦定理得cos A，则bc，所以c2a2b2，由此知ABC为直角三角形法二：由正弦定理，得sin Bsin C cos A.在ABC中，sin Bsin (AC)，从而有sin A co
4、s Ccos A sin Csin C cos A，即sin A cos C0.在ABC中，sin A0，所以cos C0.由此得C，故ABC为直角三角形9已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc16，则三角形的面积为()A2 B8C DC2R8，sin C，SABCab sin C.10在ABC中，三边长分别为a2，a，a2，最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为()A BC DB三边不等，最大角大于60.设最大角为，故所对的边长为a2，sin ，120.由余弦定理得(a2)2(a2)2a2a(a2)，即a25a，故a5，故三边长为3，5，7，SABC35sin 120
5、.11如图，海平面上的甲船位于中心O的南偏西30，与O相距15海里的C处现甲船以35海里/时的速度沿直线CB去营救位于中心O正东方向25海里的B处的乙船，则甲船到达B处需要的时间为()A小时 B1小时C小时 D2小时B在OBC中，由余弦定理，得CB2CO2OB22COOB cos 1201522521525352，因此CB35，1(小时)，因此甲船到达B处需要的时间为1小时12如图，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD，2ABBD，BC2BD，则sin C的值为()A BC DD设BDa，则BC2a，ABADa.在ABD中，由余弦定理，得cos A.又A为ABC的内角，sin A.在ABC
6、中，由正弦定理得，.sin Csin A.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13已知ABC为钝角三角形，且C为钝角，则a2b2与c2的大小关系为 a2b2c2cos C，且C为钝角，cos C0，a2b2c20，故a2b2c2.14设ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若bc2a，3sin A5sin B，则角C 由3sin A5sin B，得3a5b.又因为bc2a，所以ab，cb，所以cos C.因为C(0，)，所以C.15在锐角ABC中，BC1，B2A，则的值等于 ，AC的取值范围为 2(，)设AB2.由正弦定理得，12.由锐角ABC得
7、0290045.又01803903060，故3045cos 0，故cos B，所以B45.18(本小题满分12分)已知ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2，cos B.(1)若b4，求sin A的值；(2)若ABC的面积SABC4，求b，c的值解(1)cos B0，且0B，sin B.由正弦定理得，sin A.(2)SABCac sin B4，2c4，c5.由余弦定理得b2a2c22ac cos B225222517，b.19(本小题满分12分)已知A，B，C为ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2cosA0.(1)求角A的值；(2)若a2，b2，求c的值
8、解(1)cos A2cos21，2cos2cosA1.又2cos2cosA0，2cos A10，cos A，A120.(2)由余弦定理知a2b2c22bc cos A，又a2，b2，cos A，(2)222c222c，化简，得c22c80，解得c2或c4(舍去).20(本小题满分12分)某观测站在城A南偏西20方向的C处，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40，在C处测得公路距C处31千米的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20千米后到达D处，此时C、D间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?解如图所示，设ACD，CDB.在CBD中，由余弦定理得cos ，sin .而sin sin
9、 (60)sin cos 60sin 60cos .在ACD中，AD15(千米).所以这人还要再走15千米可到达城A.21(本小题满分12分)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2C2cos C20.(1)求角C的大小；(2)若ba，ABC的面积为sin A sin B，求sin A及c的值解(1)cos 2C2cos C20，2cos2C2cosC10，即(cos C1)20，cos C.又C(0，)，C.(2)c2a2b22ab cos C3a22a25a2，ca，即sin Csin A，sin Asin C.SABCab sin C，且SABCsin A sin B，ab sin Csin A sin B，sin C，由正弦定理得sin C，解得c1.22(本小题满分12分)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，且满足sin Acos A2.(1)求角A的大小；(2)现给出三个条件：a2；B；cb.试从中选出两个可以确定ABC的条件，写出你的方案并以此为依据求ABC的面积(写出一种方案即可)解(1)依题意得2sin 2，即sin 1，0A，A，A，A.(2)参考方案：选择.由正弦定理，得b2.ABC，sin Csin (AB)sin A cos Bcos A sin B，SABCab sin C221.