1、上一页返回首页下一页阶段一阶段二阶段三学业分层测评2 导数在实际问题中的应用 2.1 实际问题中导数的意义 2.2 最大值、最小值问题 上一页返回首页下一页1.了解实际问题中导数的意义及最大值、最小值的概念.(难点)2.理解函数的最值与导数的关系.(重点)3.掌握利用导数求函数的最值及由导数解决实际中的优化问题.(难点)上一页返回首页下一页基础初探教材整理 1 导数的实际意义阅读教材 P63P65“练习”以上部分，完成下列问题.在日常生活和科学领域中，有许多需要用导数概念来理解的量.以中学物理为例，速度是关于的导数，线密度是关于的导数，功率是关于的导数等.路程时间质量长度时间功上一页返回首页下
2、一页质点运动的速度 v(单位：m/s)是时间 t(单位：s)的函数，且 vv(t)，则 v(1)表示()A.t1 s 时的速度B.t1 s 时的加速度C.t1 s 时的位移D.t1 s 的平均速度【解析】v(t)的导数 v(t)表示 t 时刻的加速度，故选 B.【答案】B上一页返回首页下一页教材整理 2 函数的最值与导数阅读教材 P66，完成下列问题.1.最大值点与最小值点.函数 yf(x)在区间a，b上的最大值点 x0 指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都f(x0).函数 yf(x)在区间a，b上的最小值点 x0 指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都f(x0).不超过不低于上一页返回
3、首页下一页2.最大值与最小值最大(小)值或者在取得，或者在取得.因此，要想求函数的最大(小)值，应首先求出函数的极大(小)值点，然后将所有极大(小)值点与区间端点的进行比较，其中即为函数的最大(小)值.函数的最大值和最小值统称为.极大(小)值点区间的端点函数值最大(小)的值最值上一页返回首页下一页1.判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数的最大值一定是函数的极大值.()(2)开区间上的单调连续函数无最值.()(3)函数 f(x)在区间a，b上的最大值和最小值一定在两个端点处取得.()【答案】(1)(2)(3)上一页返回首页下一页2.函数 f(x)2xcos x 在(，)上()A.无最值B
4、.有极值C.有最大值D.有最小值【解析】f(x)2sin x0 恒成立，所以 f(x)在(，)上单调递增，无极值，也无最值.【答案】A上一页返回首页下一页质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_上一页返回首页下一页小组合作型导数在实际问题中的意义 如图 3-2-1 所示，某人拉动一个物体前进，他所做的功 W(单位：J)是时间 t(单位：s)的函数，设这个函数可以表示为 W(t)t36t216t.图 3-2-1上一页返回首页下一页(1)求 t 从 1 s 变到 3 s 时，功 W 关于时间 t 的平均变化率，并解
5、释它的实际意义；(2)求 W(1)，W(2)，并解释它们的实际意义.【精彩点拨】弄清题意，根据物理中导数的意义解答：(1)功的平均变化率表示平均每秒做的功；(2)功率是功关于时间的导数.上一页返回首页下一页【自主解答】(1)当 t 从 1 s 变到 3 s 时，功 W 从 W(1)11 J 变到 W(3)21 J，此时功 W 关于时间 t 的平均变化率为W（3）W（1）31211131 5(J/s).它表示从 t1 s 到 t3 s 这段时间，这个人平均每秒做功 5 J.(2)首先求 W(t).根据导数公式和求导法则可得 W(t)3t212t16，于是，W(1)7 J/s，W(2)4 J/s.
6、W(1)和 W(2)分别表示 t1 s 和 t2 s 时，这个人每秒做的功分别为 7 J和 4 J.上一页返回首页下一页1.函数 yf(x)在 xx0 处的导数 f(x0)反映了函数在这点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化状况，导数可以描述任何事物的瞬时变化率.2.导数可以刻画实际问题中两个变量变化的快慢程度；在应用时我们首先要建立函数模型，利用定义或公式法则求出导数并能结合实际问题解释导数的实际意义.上一页返回首页下一页再练一题1.已知某商品生产成本 c 与产量 q(0q200)的函数关系为 c1004q，价格p 与产量 q 的函数关系为 p2518q，求利润 L 关于产量 q 的关
7、系式，用 Lf(q)表示，并计算 f(80)的值，解释其实际意义.上一页返回首页下一页【解】f(q)pqc2518q q(1004q)，f(q)18q221q100(0q200)，f(q)14q21，f(80)1480211.说明产量 q80 时，产量每增加 1，利润也增加 1.上一页返回首页下一页求函数的最值 求函数 f(x)4x33x236x5 在区间2，3上的最大值与最小值.【导学号：94210063】【精彩点拨】求函数的最值与求函数的极值相似，先列出表格，再进行判断，从而求出最值.上一页返回首页下一页【自主解答】f(x)12x26x36，令 f(x)0，得 2x2x60，x2 或32.
8、当 x 变化时，f(x)，f(x)变化情况如表所示：x22，323232，33 f(x)00 f(x)57 1154 32 上一页返回首页下一页f(x)在 x32处取极小值，且 f32 1154.又f(2)57，f(3)32，f(x)的最大值为 f(2)57，f(x)的最小值为 f32 1154.上一页返回首页下一页求 f(x)在a，b上的最值的步骤：(1)求 f(x)在(a，b)内的极值点；(2)求出 f(x)在区间端点和极值点的值；(3)将上述值比较，其中最大的一个就是最大值，最小的一个就是最小值.上一页返回首页下一页再练一题2.已知函数 f(x)x33x2m(x2，2)，f(x)的最小值
9、为 1，则 m_.上一页返回首页下一页【解析】f(x)3x26x，x2，2.令 f(x)0，得 x0 或 x2，当 x(2，0)时，f(x)0，当 x0 时，f(x)有极小值，也是最小值，f(0)m1.【答案】1上一页返回首页下一页最值问题的实际应用 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满足关系式 y ax310(x6)2，其中 3x6，a 为常数，已知销售价格为 5 元/千克时，每日可售出该商品 11 千克.(1)求 a 的值；(2)若该商品的成本为 3 元/千克，试确定销售价格 x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.上
10、一页返回首页下一页【精彩点拨】(1)根据 x5 时，y11 求 a 的值.(2)把每日的利润表示为销售价格 x 的函数，用导数求最大值.上一页返回首页下一页【自主解答】(1)因为 x5 时，y11，所以a21011，a2.(2)由(1)知，该商品每日的销售量 y 2x310(x6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润 f(x)(x3)2x310（x6）2 210(x3)(x6)2，3x6，从而，f(x)10(x6)22(x3)(x6)30(x4)(x6)，上一页返回首页下一页于是，当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(3，4)4(4，6)f(x)0 f(x)单调递增 极大值
11、 42 单调递减 由上表可得，x4 是函数 f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点，所以，当 x4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42.故当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.上一页返回首页下一页1.经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动.2.关于利润问题常用的两个等量关系(1)利润收入成本.(2)利润每件产品的利润销售件数.上一页返回首页下一页再练一题3.某工厂生产某种产品，已知该产品的月生产量 x(吨)与每吨产品的价格p
12、(元/吨)之间的关系式为：p24 20015x2，且生产 x 吨的成本为 R50 000200 x(元).问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？上一页返回首页下一页【解】每月生产 x 吨时的利润为 f(x)24 20015x2 x(50 000200 x)15x324 000 x50 000(x0)，由 f(x)35x224 0000，解得 x200 或 x200(舍去).因为 f(x)在0，)内只有一个点 x200 使 f(x)0，故它就是最大值点，且最大值为 f(200)15200324 00020050 0003 150 000(元)，故每月生产 200 吨产品时利
13、润达到最大，最大利润为 315 万元.上一页返回首页下一页探究共研型与最值有关的恒成立问题 探究 1 已知函数 f(x)ax22ln x，若当 a0 时，f(x)2 恒成立，如何求实数 a 的取值范围？上一页返回首页下一页【提示】由 f(x)ax22ln x 得 f(x)2（x2a）x3，又函数 f(x)的定义域为(0，)，且 a0，令 f(x)0，得 x a(舍去)或 x a.当 0 x a时，f(x)a时，f(x)0.故 x a是函数 f(x)的极小值点，也是最小值点，且 f(a)ln a1.要使 f(x)2 恒成立，需 ln a12 恒成立，则 ae.故 a 的取值范围为e，).上一页返
14、回首页下一页探究 2 函数最值和“恒成立”问题有什么联系？【提示】解决“恒成立”问题，可将问题转化为函数的最值问题.如 f(x)0 恒成立，只要 f(x)的最小值大于 0 即可.如 f(x)0).(1)求 f(x)的最小值 h(t)；(2)若 h(t)0)，当 xt 时，f(x)取最小值 f(t)t3t1，即 h(t)t3t1.(2)令 g(t)h(t)(2tm)t33t1m，由 g(t)3t230，得 t1 或 t1(不合题意，舍去).当 t 变化时，g(t)，g(t)的变化情况如下表：t(0，1)1(1，2)g(t)0 g(t)单调递增极大值 1m单调递减 上一页返回首页下一页g(t)在(
15、0，2)内有最大值 g(1)1m.h(t)2tm 在(0，2)内恒成立等价于 g(t)0 在(0，2)内恒成立，即等价于 1m0，得 x23，又 x0，2，所以 g(x)在0，23 上是单调递减函数，在23，2 上是单调递增函数，所以 g(x)ming23 8527，g(x)maxg(2)1.故g(x1)g(x2)maxg(x)maxg(x)min11227 M，则满足条件的最大整数 M4.上一页返回首页下一页(2)对于任意的 s，t12，2，都有 f(s)g(t)成立，等价于在12，2 上，函数f(x)ming(x)max.由(1)可知在12，2 上，g(x)的最大值为 g(2)1.在12，
16、2 上，f(x)axxln x1 恒成立等价于 axx2ln x 恒成立.设 h(x)xx2ln x，h(x)12xln xx，可知 h(x)在12，2 上是减函数，又 h(1)0，所以当 1x2 时，h(x)0；当12x0.即函数 h(x)xx2ln x 在12，1 上单调递增，在1，2上单调递减，所以 h(x)maxh(1)1，即实数 a 的取值范围是1，).上一页返回首页下一页构建体系函数的最大（小）值与导数 最值 最大值 最小值求最值的步骤与方法导数在实际问题中的应用 实际问题中导数的意义上一页返回首页下一页1.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第 x小时，原油
17、温度(单位：)为 f(x)13x3x28(0 x5)，那么原油温度的瞬时变化率的最小值是()A.8 B.203C.1D.8上一页返回首页下一页【解析】原油温度的瞬时变化率为 f(x)x22x(x1)21(0 x5)，所以当 x1 时，原油温度的瞬时变化率取得最小值1.【答案】C上一页返回首页下一页2.函数 yx44x3 在区间2，3上的最小值为()【导学号：94210064】A.72B.36C.12D.0【解析】因为 yx44x3，所以 y4x34.令 y0，解得 x1.当 x1时，y0，函数单调递减；当 x1 时，y0，函数单调递增，所以函数 yx44x3 在 x1 处取得极小值 0.而当
18、x2 时，y27，当 x3 时，y72，所以当 x1 时，函数 yx44x3 取得最小值 0.【答案】D上一页返回首页下一页3.函数 yxex在0，2上的最大值为_.【解析】yxexx（ex）（ex）21xex，令 y0，得 x10，2.f(1)1e，f(0)0，f(2)2e2，f(x)maxf(1)1e.【答案】1e上一页返回首页下一页4.某产品的销售收入 y1(万元)是产量 x(千台)的函数：y117x2(x0)，生产成本 y2(万元)是产量 x(千台)的函数：y22x3x2(x0)，为使利润最大，应生产_千台.【解析】设利润为 y，则 yy1y217x2(2x3x2)2x318x2(x0
19、)，y6x236x6x(x6).令 y0，解得 x0 或 x6，经检验知 x6 既是函数的极大值点又是函数的最大值点.【答案】6上一页返回首页下一页5.已知 a 为实数，f(x)(x24)(xa).(1)求导数 f(x)；(2)若 f(1)0，求 f(x)在2，2上的最大值和最小值.上一页返回首页下一页【解】(1)由原式得 f(x)x3ax24x4a，f(x)3x22ax4.(2)由 f(1)0，得 a12，此时有 f(x)(x24)x12，f(x)3x2x4.由 f(x)0，得 x43或 x1.上一页返回首页下一页又 f43 5027，f(1)92，f(2)0，f(2)0，f(x)在2，2上的最大值为92，最小值为5027.上一页返回首页下一页我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_上一页返回首页下一页学业分层测评（十四）点击图标进入