1、上一页返回首页下一页阶段一阶段二阶段三学业分层测评5 简单复合函数的求导法则 上一页返回首页下一页1.了解复合函数的概念.(难点)2.掌握复合函数的求导法则.(重点)3.能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数.(重点、难点)上一页返回首页下一页基础初探教材整理 1 复合函数的概念阅读教材 P49 倒数第 2 行以上部分，完成下列问题.一般地，对于两个函数 yf(u)和 u(x)axb，给定 x 的一个值，就得到了 u 的值，进而确定了 y 的值，这样 y 可以表示成，我们称这个函数为函数 yf(u)和 u(x)的，记作，其中 u 为中间变量.x的函数yf(x)复合函数上一页返回首页下一页
2、下列函数不是复合函数的是()A.yx31x1B.ycosx4C.y 1ln xD.y(2x3)4上一页返回首页下一页【解析】A 中的函数是一个多项式函数，B 中的函数可看作函数 ux4，ycos u 的复合函数，C 中的函数可看作函数 uln x，y1u的复合函数，D 中的函数可看作函数 u2x3，yu4 的复合函数，故选 A.【答案】A上一页返回首页下一页教材整理 2 复合函数的求导法则阅读教材 P49 最后两行至 P50 部分，完成下列问题.复合函数 yf(x)的导数和函数 yf(u)，u(x)的导数间的关系为 yxyuux.即 y 对 x 的导数是 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导
3、数的乘积.上一页返回首页下一页(ln 2x)等于()A.12xB.1x C.1xln 2 D.ln 2x【解析】(ln 2x)12x(2x)1x.【答案】B上一页返回首页下一页质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问 1：_解惑：_疑问 2：_解惑：_疑问 3：_解惑：_上一页返回首页下一页小组合作型复合函数的定义 指出下列函数是怎样复合而成的.(1)y(35x)2；(2)ylog3(x22x5)；(3)ycos 3x.【精彩点拨】分析函数的复合过程主要是设出中间变量 u，分别找出 y 和u 的函数关系，u 和 x 的函数关系.上一页返回首页下一页【自主解答】(1)
4、y(35x)2 是由函数 yu2，u35x 复合而成的.(2)ylog3(x22x5)是由函数 ylog3u，ux22x5 复合而成的.(3)ycos 3x 是由函数 ycos u，u3x 复合而成的.上一页返回首页下一页判断复合函数的复合关系的一般方法是从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要结构的，各层的中间变量结构也都是基本函数关系，这样一层一层分析，里层应是关于自变量 x 的基本函数或关于自变量 x 的基本函数经过有限次运算而得到的函数.上一页返回首页下一页再练一题1.指出下列函数由哪些函数复合而成.(1)yln x；(2)yesin x；(3)ycos(3x1).【解】(
5、1)yln u，u x.(2)yeu，usin x.(3)ycos u，u 3x1.上一页返回首页下一页求复合函数的导数 求下列函数的导数.(1)ye2x1；(2)y1（2x1）3；(3)y5log2(1x)；(4)ysin3xsin 3x.【精彩点拨】先分析函数是怎样复合而成的，找出中间变量，分层求导.上一页返回首页下一页【自主解答】(1)函数 ye2x1 可看作函数 yeu 和 u2x1 的复合函数，yxyuux(eu)(2x1)2eu2e2x1.(2)函数 y1（2x1）3可看作函数 yu3 和 u2x1 的复合函数，yxyuux(u3)(2x1)6u4 6(2x1)46（2x1）4.上
6、一页返回首页下一页(3)函数 y5log2(1x)可看作函数 y5log2u 和 u1x 的复合函数，yxyuux(5log2u)(1x)5uln 25（x1）ln 2.(4)函数 ysin3x 可看作函数 yu3 和 usin x 的复合函数，函数 ysin 3x可看作函数 ysin v 和 v3x 的复合函数.yx(u3)(sin x)(sin v)(3x)3u2cos x3cos v 3sin2x cos x3cos 3x.上一页返回首页下一页1.解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成.上一页返回首
7、页下一页2.复合函数求导的步骤 上一页返回首页下一页再练一题2.求下列函数的导数.(1)y(2x1)4；(2)y112x；(3)ysin2x3；(4)y102x3.上一页返回首页下一页【解】(1)原函数可看作 yu4，u2x1 的复合函数，则 yxyuux(u4)(2x1)4u328(2x1)3.(2)y112x(12x)-12可看作 yu12，u12x 的复合函数，则 yxyuux12 u-32(2)(12x)-321（12x）12x.上一页返回首页下一页(3)原函数可看作 ysin u，u2x3的复合函数，则 yxyuuxcos u(2)2cos2x3 2cos2x3.(4)原函数可看作
8、y10u，u2x3 的复合函数，则 yxyuux102x3ln 102(2ln 10)102x3.上一页返回首页下一页探究共研型复合函数导数的应用 探究 1 求曲线 ycos2x6 在 x6处切线的斜率.【提示】y2sin2x6，切线的斜率 k2sin266 2.上一页返回首页下一页探究 2 求曲线 yf(x)e2x1 在点12，1 处的切线方程.【提示】f(x)e2x1(2x1)2e2x1，f12 2，曲线 ye2x1 在点12，1 处的切线方程为 y12x12，即 2xy20.上一页返回首页下一页 已知函数 f(x)ax22ln(2x)(aR)，设曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线
9、为 l，若直线 l 与圆 C：x2y214相切，求实数 a 的值.【精彩点拨】求出导数 f(1)，写出切线方程，由直线 l 与圆 C 相切，建立方程求解.上一页返回首页下一页【自主解答】因为 f(1)a，f(x)2ax 2x2(x2)，所以 f(1)2a2，所以切线 l 的方程为 2(a1)xy2a0.因为直线 l 与圆相切，所以圆心到直线 l 的距离等于半径，即 d|2a|4（a1）2112，解得 a118.上一页返回首页下一页关于复合函数导数的应用及其解决方法1.应用 复合函数导数的应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用.2.方法 先求出复
10、合函数的导数，若切点已知，则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标.总之，在解决此类问题时切点起着至关重要的作用.上一页返回首页下一页再练一题3.曲线 yf(x)esin x 在(0，1)处的切线与直线 l 平行，且与 l 的距离为 2，求直线 l 的方程.【导学号：94210048】上一页返回首页下一页【解】设 usin x，则 f(x)(esin x)(eu)(sin x)cos xesin x.f(0)1.则切线方程为 y1x0，即 xy10.若直线 l 与切线平行可设直线 l 的方程为 xyc0.两平行线间的距离 d|c1|2 2c3
11、 或 c1.故直线 l 的方程为 xy30 或 xy10.上一页返回首页下一页构建体系复合函数的求导 复合函数的概念 复合函数的求导法则 应用上一页返回首页下一页1.函数 ycos(x)的导数是()A.cos xB.cos xC.sin xD.sin x【解析】ysin(x)(x)sin x.【答案】C上一页返回首页下一页2.若 f(x)e2xln 2x，则 f(x)()A.e2xln 2xe2x2xB.e2xln 2xe2xxC.2e2xln 2xe2xxD.2e2x1x【解析】f(x)(e2x)ln 2xe2x(ln 2x)2e2xln 2xe2xx.【答案】C上一页返回首页下一页3.已知
12、 f(x)ln(3x1)，则 f(1)_.【解析】f(x)13x1(3x1)33x1，f(1)32.【答案】32上一页返回首页下一页4.设曲线 yeax 在点(0，1)处的切线与直线 x2y10 垂直，则 a_.【导学号：94210049】【解析】令 yf(x)，则曲线 yeax 在点(0，1)处的切线的斜率为 f(0)，又切线与直线 x2y10 垂直，所以 f(0)2.因为 f(x)eax，所以 f(x)(eax)(eax)(ax)aeax，所以 f(0)ae0a，故 a2.【答案】2上一页返回首页下一页5.求下列函数的导数.(1)ycos(x3)；(2)y(2x1)3；(3)ye2x1.上一页返回首页下一页【解】(1)函数 ycos(x3)可以看做函数 ycos u 和 ux3 的复合函数，由复合函数的求导法则可得 yxyuux(cos u)(x3)sin u1sin usin(x3).上一页返回首页下一页(2)函数 y(2x1)3 可以看做函数 yu3 和 u2x1 的复合函数，由复合函数的求导法则可得 yxyuux(u3)(2x1)3u226u26(2x1)2.(3)ye2x1(2x1)2e2x1.上一页返回首页下一页我还有这些不足：(1)_(2)_我的课下提升方案：(1)_(2)_上一页返回首页下一页学业分层测评（十一）点击图标进入
