1、2 三角形中的几何计算学习目标1会利用正弦定理、余弦定理的变式解题 2记住三角形的各种面积计算公式 3能利用正弦定理、余弦定理解决三角形中的一些简单的综合问题 课堂互动讲练 知能优化训练 2 三角形中的几何计算课前自主学案 课前自主学案 温故夯基 1正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即_.2余弦定理余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积asinA bsinB csinC的两倍，即a2_，b2_，c2_.3三角形的面积公式 S_.b2c22bccosAa2c22accosBa2b22abcosC12aha12absinCabc4R知新
2、益能 1正弦定理的变形(R 为外接圆半径)(1)a_，b_，c_.(2)sinA_，sinB_，sinC_.(3)abcsinAsinBsinC.2余弦定理的变形cosA_，cosB_，cosC_.2RsinA2RsinB2RsinCa2Rb2Rc2Rb2c2a22bca2c2b22aca2b2c22ab3几个重要结论(1)若 sinAsinB，则 A_B；(2)若 sin2Asin2B，则 AB 或 AB2；(3)若 cosAcosB，则 A_B；(4)若 a2b2c2，则ABC 为_；(5)若 a2b2c2，则ABC 为_；(6)若 a2b2c2 且 b2a2c2 且 c2a2b2，则AB
3、C 为_钝角三角形直角三角形锐角三角形问题探究 如何判断三角形的形状？提示：怎样判断三角形的形状呢？三角形形状的确定是解三角形中的一种常见题型，其基本方法是将条件中的边角关系全部转化为边的关系或角的关系，而“转化”的工具就是正弦定理和余弦定理等知识(1)确定三角形形状的两条途径 化边为角；化角为边(2)判断三角形形状的具体方法 通过正弦定理实施边角转换；通过余弦定理实施边角转换；通过三角变换找出角之间的关系；通过三角函数值的符号进行判断(3)若化角为边，则希望得到以下结果：a2b2c2(直角三角形)；a2b2c2且b2c2a2且c2a2b2(锐角三角形)；a2b2c2(钝角三角形)；ab(等腰
4、三角形)；abc(等边三角形).若化边为角，则希望得到以下结果：sin(AB)0或sinAsinB(等腰三角形)；sinC1或cosC0(直角三角形)(cos C0钝角三角形)课堂互动讲练 计算线段的长度 考点突破 有关线段的长度问题往往归结为求解三角形的边长，求三角形边长的问题一般会涉及正、余弦定理熟练应用正弦或余弦定理是解这类问题的关键 在ABC 中，B45，AC 10，cosC2 55.(1)求 BC 边的长；(2)记 AB 的中点为 D，求中线 CD 的长例1【思路点拨】对于(1)，已知ABC两角及一角对边要求另一角的对边，显然需用到正弦定理求解 对于(2)，由于D为AB中点，而BC已
5、求，BD又可求，B已知，运用余弦定理【解】(1)由 cosC2 55，得 sinC 55.sinAsin(18045C)22(cosCsinC)3 1010.由正弦定理知BC ACsinBsinA 10223 1010 3 2.(2)AB ACsinBsinC 1022 55 2.BD12AB1.由余弦定理知CD BD2BC22BDBCcosB118213 2 22 13.【名师点评】恰当地选择正弦或余弦定理可以起到简化计算的目的判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行思考，依据已知条件中的边角关系判断时，主要有如下两条途径：(1)利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配
6、方等得出边相等或满足勾股定理，从而判断三角形的形状；判断三角形的形状(2)利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用ABC这个结论在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解.在ABC中，已知b2sin2Cc2sin2B2bccosBcosC，试判断三角形的形状【思路点拨】解决本题，可分别利用正弦定理或余弦定理，把问题转化成角或边的关系求解例2【解】法一：由正弦定理 asinA bsinB csinC2R(R 为ABC 外接圆的半径)将原式化为8R2sin2Bsin2C8R2
7、sinBsinC cosBcosC.sinBsinC0，sinB sinCcosBcosC，即 cos(BC)0，BC90，A90.故ABC 为直角三角形法二：将已知等式变为b2(1cos2C)c2(1cos2B)2bccosBcosC.由余弦定理可得b2c2b2(a2b2c22ab)2c2(a2c2b22ac)22bca2b2c22aba2c2b22ac，即 b2c2a2b2c2a2c2b224a2，也即 b2c2a2.故ABC 为直角三角形【名师点评】利用正弦、余弦定理证明有关三角形的三角函数恒等式和判定三角形的形状，主要是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系一般地，利用公式
8、a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC，可将边转化为角的三角函数关系，然后利用三角函数等式进行化简，其中往往用到三角形内角和定理 ABC.利用公式 cosAb2c2a22bc，cosBa2c2b22ac，cosCa2b2c22ab，可将有关三角形中的角的关系化为边的关系，然后充分利用代数知识来解决问题解：法一：(化角为边)由正弦定理，得sinCsinBcb，又 2cosAsinBsinC，cosA sinC2sinB c2b.自我挑战 在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边，且满足(abc)(abc)3ab,2cosAsinBsinC，试判断ABC的形状又由余弦定理的推论，得 c
9、osAb2c2a22bc，b2c2a22bc c2b，即 b2c2a2c2，b2a2，ab.又(abc)(abc)3ab，(ab)2c23ab，由 ab 得 4b2c23b2，b2c2，bc，abc.故ABC 是等边三角形法二：(化边为角)由(abc)(abc)3ab，得(ab)2c23ab，即 a2b2c2ab，由余弦定理的推论得 cosCa2b2c22ab12，C60.又 2cosAsinBsinCsin(AB)sinAcosBcosAsinB，sinAcosBcosAsinB0，即 sin(AB)0，AB，ABC60，ABC 是等边三角形三角形中的综合问题 由于正弦定理、余弦定理阐述了三
10、角形的边角之间的关系，因此对于三角形中的综合问题可以运用正弦定理、余弦定理以及三角变换公式、面积公式等知识解决在ABC 中，内角 A，B，C 对边的边长分别是 a，b，c.已知 c2，C3.(1)若ABC 的面积等于 3，求 a，b 的值；(2)若 sinB2sinA，求ABC 的面积例3【思路点拨】解答本题(1)可先利用余弦定理，求出 a2b2ab4，再利用 S12absinC 构造方程组求解解答本题(2)可先把 sinB2sinA 利用正弦定理化为 b2a，再结合 a2b2ab4，联立方程组求出 a、b，最后利用 S12absinC 求面积【解】(1)由余弦定理及已知条件得 a2b2ab4
11、.又因为ABC 的面积等于 3，所以12absinC 3，得 ab4.联立方程组a2b2ab4ab4，解得 a2，b2.(2)由正弦定理及已知条件得 b2a，联立方程组a2b2ab4b2a，解得 a2 33，b4 33，所以ABC 的面积 S12absinC2 33.【名师点评】(1)利用正、余弦定理可以实现三角形中的边角关系的转化(2)要熟记三角形的面积公式S12absinC12bcsinA12acsinB.(3)要熟练掌握三角恒等变换公式及三角函数性质和诱导公式互动探究 本例中的条件不变，若sinCsin(BA)2sin2A，求ABC的面积解：由题意得sin(BA)sin(BA)4sinA
12、cosA，即 sinBcosA2sinAcosA.当 cosA0 时，A2，B6，a4 33，b2 33.当 cosA0 时，得 sinB2sinA，由正弦定理得 b2a，联立方程组a2b2ab4b2a，解得 a2 33，b4 33.所以ABC 的面积 S12absinC2 33.方法感悟 1正弦定理、余弦定理研究的是任意三角形中边与角之间的关系，应用它们可以解以下四种斜三角形：(1)已知两边和夹角，运用余弦定理求第三边；(2)已知三边，运用余弦定理的第二种形式求角;(3)已知两角和其中一角的对边，运用正弦定理求另外一角的对边；(4)已知两边和其中一边的对角，运用正弦定理求另一边的对角.在以上四种类型的三角形中，前三种可能是一解或者无解，第四类的三角形可能无解、一解或两解 2对于平面图形的计算问题，首先要把所求的量转化到三角形中，然后选用正弦定理、余弦定理解决，构造三角形时，要注意尽量含有多个已知量，这样可以简化运算 3在判断三角形的形状时，要根据题目本身的特点，决定是将边转化成角还是将角转化成边，此时要特别注意正弦定理、余弦定理及三角公式的灵活应用