1、江苏省扬州市2020届高三数学下学期6月最后一卷试题（含解析）（全卷满分160分，考试时间120分钟）注意事项：1答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方2试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1. 已知集合，则，则实数的值是_【答案】【解析】【分析】由得到，根据集合中的元素都在集合中，即可得出得值.【详解】因为，所以，又，所以，解得.故答案为：【点睛】本题主要考查集合间的基本关系，属于基础题.2. 已知复数满足(i为虚数单位)，则_【答案】5【解析】【分析】根据复数的代
2、数形式的四则运算法则可求出，再根据复数的模的计算公式即可求出【详解】因为，所以，即故答案为：5【点睛】本题主要考查复数的代数形式的四则运算法则和复数的模的计算公式的应用，属于容易题3. 某校在高一、高二、高三三个年级中招募志愿者50人，现用分层抽样的方法分配三个年级的志愿者人数，已知高一、高二、高三年级的学生人数之比为4:3:3，则应从高三年级抽取_名志愿者【答案】15【解析】【分析】根据分层抽样的特征可知，抽取人数等于样本容量乘以抽样比，即可求出【详解】高三年级抽取的人数为故答案为：15【点睛】本题主要考查分层抽样的特征的理解和运用，属于容易题4. 一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后
3、输出的的值为_【答案】15【解析】【分析】模拟程序运行的过程，即可得出程序运行后的输出结果.【详解】解：模拟程序运行的过程如下：第一步：，；第二步：，；第三步：，；第四步：不符合条件，所以输出.故答案为：15.【点睛】本题考查程序语言的应用问题，模拟程序运行的过程是常用的方法，属于基础题.5. 已知抛物线的准线也是双曲线的一条准线，则该双曲线的两条渐近线方程是_【答案】【解析】【分析】依据题意分别求出抛物线的准线方程和双曲线的左准线方程，即可解出，从而由双曲线的解析式得到其渐近线方程【详解】因为抛物线的准线方程为，双曲线的一条左准线方程为：，所以，解得，因此，双曲线的方程为，其渐近线方程是故答
4、案为：【点睛】本题主要考查抛物线和双曲线的简单几何性质的应用，属于基础题6. 某校机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名参加一个机器人大赛，则选出的人员中恰好有一名女生的概率为_【答案】【解析】【分析】由题意求出总的基本事件总数种，再计算恰有一名女生的基本事件数,利用古典概型计算即可.【详解】由题意，基本事件为机器人兴趣小组有男生3名，女生2名，现从中随机选出3名，共有种选法，其中选出的人员中恰好有一名女生的事件数为种，由古典概型可知选出的人员中恰好有一名女生的概率为，故答案为：【点睛】本题主要考查了概率的求法，考查了古典概型，组合的综合应用，属于容易题.7. 已知数列是等比数
5、列，是其前项之积，若，则的值是_【答案】1【解析】【分析】先设等比数列的公比为，根据题意，得到，再由等比数列的性质，即可求出结果.【详解】因为数列是等比数列，设公比为，由得，即，即，由等比数列的性质可得，故答案为：.【点睛】本题主要考查等比数列性质的应用，属于基础题型.8. 已知，则的解集为_【答案】【解析】【分析】由已知可得函数为偶函数，求导分析可得f（x）在0，+）上为增函数，结合函数的奇偶性可得原不等式等价于，解出x的取值范围，即可得答案【详解】由题知，所以为偶函数，当x0时，此时有，则在0，+）上为增函数，由，可得， 而函数为偶函数，可得，解得，即不等式的解集为.故答案为：【点睛】本题
6、考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及利用导数分析函数的单调性，属于中档题9. 如图，已知正是一个半球的大圆的内接三角形，点在球面上，且面，则三棱锥与半球的体积比为_【答案】【解析】【分析】是等边三角形的外心，设球半径为,等边三角形边长为得到，求体积可得.【详解】设球半径为,等边三角形边长为，由图知，,连接,面,由球的对称性知是等边三角形的外心， 故答案为：【点睛】与球有关外接问题的解题规律(1)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的.(2)正方体外接球的直径为正方体的体对角线的长此结论也适合长方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱柱或三棱锥(3)求多面体外接球半径
7、的关键是找到由球的半径构成的三角形，解三角形即可10. 已知，则_.【答案】【解析】【分析】利用倍角公式求出，再利用和差公式展开即可.【详解】故答案为：.【点睛】本题主要考查三角函数和差公式与倍角公式的应用，属于基础题.11. 设表示不超过实数的最大整数(如，)，则函数的零点个数为_.【答案】2【解析】【分析】函数的零点即方程的根，由可得.分、和讨论，求出方程的根，即得函数的零点个数.【详解】函数的零点即方程的根，函数的零点个数，即方程的根的个数.当时，.当时，或或（舍）.当时，方程无解.综上，方程的根为，1.所以方程有2个根，即函数有2个零点.故答案为：2.【点睛】本题考查函数与方程，准确分
8、类是关键属于中档题.12. 已知点是边长为2的正内一点，且，若，则 的最小值为_.【答案】【解析】【分析】取的中点，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，求得点的轨迹方程为，可设点，利用平面向量数量积的坐标运算可求得的最小值.【详解】取中点，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，则点、，设点，且，则，可得，由于点在正内，则，可得，则，所以，当时，取最小值.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积最值的求解，求出动点的轨迹是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.13. 已知等腰梯形中，若梯形上底上存在点，使得，则该梯形周长的最大值为_.【答案】【解析】【分析
9、】建立直角坐标系，设出点的坐标，用两点间距离公式表示出，计算出参数的取值范围，写出梯形的周长表达式再求最值即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系：设，则四边形是等腰梯形，且，假设存在点在上底上使得可设，其中整理得：上底上存在点使得，等价于方程在上有解令，又因为对称轴为解得又梯形的周长为，在单调递增当时，有.故答案为：.【点睛】本题主要考查两点间的距离计算和最值的求法，建立平面直角坐标系和条件间的转化是解题的关键.14. 锐角中，分别为角的对边，若，则的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】用正弦定理对等式进行边角转化，然后逆用两角差的正弦公式、正弦函数的性质得到之间的关系，再根据锐角三角形
10、的性质，结合三角形内角和定理求出的取值范围，最后利用正弦定理对进行边角转化，根据二倍角的正弦公式和两角和的正弦公式，结合换元法、构造对钩函数，利用对钩函数的单调性进行求解即可.【详解】由正弦定理可知；，所以由即，因为是锐角三角形，所以，因此有，而是锐角三角形，所以，而,所以.由正弦定理可知：，所以，而，所以 ，设，令，因此有，因为函数在 时是单调递增函数，所以，因此取值范围为.故答案为；【点睛】本题考查了正弦定理的应用，考查了利用对钩函数的单调性求代数式的取值范围问题，考查了二倍角的正弦公式和余弦公式的应用，考查了锐角三角形的性质，考查了数学运算能力.二、解答题：（本大题共6道题，计90分解答
11、应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 设函数，.（1）求的最小正周期和对称中心；（2）若函数，求函数在区间上的最值【答案】（1），对称中心为.（2），【解析】【分析】（1）把已知函数解析式变形，再由辅助角公式化积，利用周期公式求周期，再由求得值，可得函数的对称中心；（2）求出的解析式，得到函数在区间上的单调性，则最值可求【详解】（1）由已知，最小正周期为，令，解得，对称中心为（2） 当时，可得在区间上单调递增，【点睛】本题考查三角函数的恒等变换应用，考查型函数的图象和性质，是中档题16. 如图，四面体被一平面所截，平面与四条棱分别相交于四点，且截面是一个平行四边形，平面，. 求证：
12、（1）；（2）平面.【答案】（1）见详解；（2）见详解.【解析】【分析】（1）由题意，根据线面平行的判定定理可得平面，再根据线面平行的性质定理可得；（2）由平面，可得.由(1)知，可得，又，故，根据线面垂直的判定定理可得平面.【详解】（1）因为四边形为平行四边形，又平面，平面，平面， 又平面，平面平面，. （2）平面，平面， 由(1)知，. ，. 又，、平面， 平面.【点睛】本题考查线面平行的判定定理、性质定理和线面垂直的判定定理，属于基础题.17. 如图，边长为1的正方形区域OABC内有以OA为半径的圆弧.现决定从AB边上一点D引一条线段DE与圆弧相切于点E，从而将正方形区域OABC分成三块
13、：扇形COE为区域I，四边形OADE为区域II，剩下的CBDE为区域III.区域I内栽树，区域II内种花，区域III内植草.每单位平方的树、花、草所需费用分别为、，总造价是W，设（1）分别用表示区域I、II、III的面积；（2）将总造价W表示为的函数，并写出定义域；（3）求为何值时，总造价W取最小值？【答案】（1），（2），定义域为（3）【解析】【分析】（1）首先用扇形面积公式求出区域I，区域II为两个全等的三角形，所以只需用表示出，即可求出三角形面积，进而求出区域II的面积，区域III用大正方形面积做差即可.（2）将单位面积造价分别乘以面积数再求和，即可求出总造价，定义域保证每个角度大于零即
14、可.（3）对总造价求导，结合定义域，求出总造价的单调性，则可求出总造价最小时的值.【详解】解：(1)如图，；连接OD，则，； . （2），由，知，所以函数的定义域为 (3) ， 由，得或（舍去）又，所以 当时， ，函数在上单调递减，当时，函数在上单调递增，所以当时，取最小值.答：时，总造价W取最小值【点睛】本题考查实际问题的优化问题，涉及函数的实际应用，同时考查了函数导数的应用，考查了学生的转化能力以及计算能力，属于难题.18. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的右准线为直线，左顶点为，右焦点为. 已知斜率为2的直线经过点，与椭圆相交于两点，且到直线的距离为 （1）求椭圆的标准方程；（2）若过的
15、直线与直线分别相交于两点，且，求的值.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）根据准线方程和原点到直线的距离可求出，从而可得椭圆的标准方程.（2）设，联立直线和直线的方程可得的坐标，同理可得的坐标，根据可得的坐标关系，联立直线和椭圆的方程，利用韦达定理化简前述关系可求斜率的值.【详解】解：（1）设椭圆的焦距为，则直线的方程为，即.因为到直线的距离为，故，所以，则. 因为椭圆的右准线的为直线，则，所以，故椭圆的标准方程为.（2）由(1)知：，设，.由得，则 .由，可知，由得，同理.因，所以，由图可知， 所以，即，所以 .【点睛】求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数法、定义法等
16、.直线与圆锥曲线的位置关系中的弦长、面积等问题，可以利用韦达定理把弦长、面积等表示为直线方程中某参数的函数关系式和方程 等，进而把弦长、面积等问题归结为方程的解或函数的值域等问题.19. 已知函数. （1）若曲线与直线在处相切.求的值；求证：当时，；（2）当且时，关于的不等式有解，求实数的取值范围.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）求出导函数，由可求得，再由可求得，从而得；引入函数，利用导数求函数的最小值（需二次求导确定），确定最小值是，从而证得不等式成立；（2）不等式分离参数得，原题等价于时，有解.求出的最小值即可得，为此先证明不等式，仍然构造新函数，利用导数研究新函数的单调性
17、与最值得出结论应用刚证的不等式可得结论【详解】解：（1）因为，所以.因为曲线与直线在处相切，所以，所以.所以，所以. 又切点在直线上，所以，所以，所以 由知，可设，则，当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，由，所以，所以存在，使得， 所以当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.因为，所以，即，当且仅当时取等号，所以当时， 故当时， (3）先证. 构造函数，则.故当时，在上递增，当时，在上递减，所以，即 又当，且时，等价于故原题等价于时，有解.因为（当时取等号），所以.【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数证明不等式，研究不等式有解问题利用导数解决不等式的恒成立问题的
18、策略：1首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围.2也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.3“恒成立”与“存在性”问题的求解是“互补”关系，即对于恒成立，应求的最小值；若存在，使得成立，应求的最大值.应特别关注等号是否成立问题20. 已知数列的各项均为非零实数，其前项和为，且. （1）若，求的值；（2）若，求证：数列是等差数列； （3）若，是否存在实数，使得对任意正整数恒成立，若存在，求实数的取值范围，若不存在，说明理由.【答案】（1）（2）见解析（3）不存在满足条件的实数，见解析【解析】【分析】（1）由题得，所以，
19、得，即得的值；（2）利用累乘法得到，所以数列是等差数列，首项为，公差为，求出，所以，再证明数列是等差数列；（3）原题等价于，不妨设，即对任意正整数（）恒成立，即对任意正整数恒成立，再证明当且时，即得解.【详解】（1）解：由，令，得，因为数列的各项均为非零实数，所以，所以，所以. （2）证明：由得：，相乘得：，因为数列的各项均为非零实数，所以，当时：，所以，即，即，因为，所以，所以数列是等差数列，首项为，公差为，所以，所以，所以，所以，所以，所以数列是等差数列. (3) 解：当，时，由(2)知，所以，即，不妨设，则，所以，即对任意正整数（）恒成立，则，即对任意正整数恒成立，设，时，；时，；时，；
20、时，；时，；当时，所以时，.所以时，令或（舍去）.所以当且时，所以不存在满足条件的实数.【点睛】本题主要考查数列性质的证明，考查数列的和与通项关系的应用，考查数列不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.扬州市2020届高三考前调研测试数学（全卷满分40分，考试时间30分钟）21. 已知矩阵，求矩阵的逆矩阵的特征值【答案】，【解析】【分析】求出矩阵的逆矩阵，列出矩阵的特征多项式，然后解方程，即可得出矩阵的特征值.【详解】设矩阵的逆矩阵为，则，即，故，所以矩阵A的逆矩阵为. 矩阵的特征多项式为.令，解得的特征值为，【点睛】本题考查矩阵的逆矩阵的求解，同时也考查了矩阵
21、的特征值的计算，考查计算能力，属于基础题.22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程是：（为参数）.以为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为若直线与曲线相交于两点，且，求实数的值.【答案】或【解析】【分析】分别求出曲线和直线的直角坐标方程，利用点到直线的距离公式和勾股定理求出，解方程即可.【详解】曲线的直角坐标方程为，表示圆心为，半径为的圆由，得，所以直线的直角坐标方程为 设圆心到直线的距离为，则，所以，因为所以，解得或【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，将极坐标方程和参数方程转化为直角坐标方程再求解是常规方法.23. 如图，在三棱锥中，已知都是边长为的等边三角形，为中点，且
22、平面，为线段上一动点，记.（1）当时，求异面直线与所成角的余弦值；（2）当与平面所成角的正弦值为时，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】连接CE，以分别为轴，建立如图空间直角坐标系，写出点的坐标;(1)当时，确定点的坐标,代入向量的夹角公式中计算得出答案;(2) 求出平面的一个法向量,代入线面角公式中计算可得答案.【详解】连接CE，以分别为轴，建立如图空间直角坐标系，则，因为F为线段AB上一动点，且，则， 所以（1）当时，所以 （2），设平面的一个法向量为=由,得，化简得，取 设与平面所成角为，则.解得或（舍去），所以【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建
23、系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.24. 一个笼子里关着只猫，其中有只白猫，只黑猫把笼门打开一个小口，使得每次只能钻出只猫猫争先恐后地往外钻.如果只猫都钻出了笼子，以表示只白猫被只黑猫所隔成的段数例如，在出笼顺序为“”中，则（1）求三只黑猫挨在一起出笼的概率；（2）求的分布列和数学期望.【答案】（1）；（2）见解析.【解析】分析】（1）利用捆绑法计算三只黑猫挨在一起出笼的情况种数，再利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）由题意可知，随机变量的可能取值有、，利用排列组合思想求出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，利用数学期望公式可求得随机变量的数学期望.【详解】（1）设“三只黑猫挨在一起出笼”为事件，将三只黑猫捆绑在一起，与其它只白猫形成个元素，所以，因此，三只黑猫挨在一起出笼的概率为；（2）由题意可知，随机变量的取值为、，其中时，只白猫相邻，则，；，所以，随机变量的分布列如下表所示：因此，.【点睛】本题考查古典概型概率的计算，同时也考查了随机变量分布列与数学期望的计算，涉及捆绑法与插空法的应用，考查计算能力，属于中等题.
