1、第3讲一元二次不等式的解法1一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2bxc0(a0)或ax2bxc0)(2)计算相应的判别式.(3)当0时，求出相应的一元二次方程的根(4)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集2三个二次之间的关系判别式b24ac000)的图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1000(a0)的解集x|xx2 Rax2bxc0)的解集x|x1x0(a0)恒成立的充要条件是：a0且b24ac0(xR)2ax2bxc0(a0)恒成立的充要条件是：a0且b24ac2，Tx|x23x40，则(R
2、S)T()A(2,1 B(，4C(，1 D1，)答案C解析由题意得Tx|4x1，根据补集定义，RSx|x2，所以(RS)Tx|x12不等式4x24x10的解集为()A BRC. D答案D解析因为4x24x1(2x1)2，所以4x24x10的解集为.3(2022临沂摸底)不等式0的解集是()A(，1)3，)B(，1(3，)C1,3)D1,3答案C解析01x3，所以不等式0的解集为1,3)4(2022滨州质检)若0t0的解集为()A.B.C.D.答案D解析因为0t1，所以t0(xt)0，解得tx0的解集是，则ab的值是_.答案14解析由题意知，是ax2bx20的两根，则解得所以ab14.6(202
3、2安徽芜湖模拟)不等式mx2mx10对一切xR恒成立，则实数m的取值范围是_.答案0,4)解析当m0时，显然成立；当m0时，由已知得解得0m4.综上知，实数m的取值范围是0,4)多角度探究突破考向一一元二次不等式的解法角度不含参数的一元二次不等式例1解下列不等式：(1)2x25x30；(4)x20，方程2x25x30有两个实数根，解得x13，x2，画出函数y2x25x3的图象，如图所示由图可得原不等式的解集为.(2)原不等式等价于3x26x20.120，方程3x26x20有两个实数根，解得x1，x2，画出函数y3x26x2的图象，如图所示，由图可得原不等式的解集为.(3) 0，方程9x26x1
4、0有两个相等的实数根，解得x1x2.画出函数y9x26x1的图象如图所示由图可得原不等式的解集为.(4) 原不等式可化为x26x100，40；(2)1x22x12.解(1)两边都乘以3，得3x26x20，且方程3x26x20的解是x11，x21，所以原不等式的解集是.(2)原不等式等价于即由得x(x2)0，所以x0；由得(x3)(x1)0，所以3x1.画出数轴，如图，可得原不等式的解集为x|3x2或00时，原不等式化为(x1)0，解得x或x1.当a1，即a2时，解得1x；当1，即a2时，解得x1满足题意；当1，即2a0时，不等式的解集为；当2a0时，不等式的解集为；当a2时，不等式的解集为1；
5、当a0.解原不等式化为(xa)(xa2)0.当a2a0，即a1或aa2或xa；当a2a0，即0a1时，解不等式，得xa；当a2a0，即a0或a1时，解不等式，得xa.综上，当a1或aa2或xa；当0a1时，不等式的解集为x|xa；当a0或a1时，不等式的解集为x|xa角度可化为一元二次不等式的分式不等式例3解关于x的不等式0)解10(a1)x1(x1)0.当a1时，容易解得x1时，原不等式可化为(x1)0，解得x1.当0a0，所以1，原不等式可化为(x1)0，解得x.综上知，当0a1时，原不等式的解集为；当a1时，原不等式的解集为x|x1时，原不等式的解集为.分式不等式的解法(1)化分式不等式
6、为标准型方法：移项，通分，右边化为0，左边化为的形式(2)将分式不等式转化为整式不等式求解，如：0f(x)g(x)0；0f(x)g(x)0；003.不等式1的解集是()A.B.C.D.答案B解析10x0的解集为x|2x0的解集为(4,1)，则不等式b(x21)a(x3)c0的解集为()A.B(，1)C(1,4)D(，2)(1，)答案A解析由不等式ax2bxc0的解集为(4，1)，知a0，即3x2x40，解得x0)有且只有一个零点，则()Aa2b24Ba24C若不等式x2axb0D若不等式x2axb0)有且只有一个零点，所以a24b0，即a24b0.对于A，a2b24等价于b24b40，等价于(
7、b2)20，显然成立，故A正确；对于B，a24b24，当且仅当4b即b时等号成立，故B正确；对于C，因为不等式x2axb0的解集为(x1，x2)，所以x1，x2是方程x2axb0的根，所以x1x2b0，故C错误；对于D，因为不等式x2axb0的解集是x|x2或x1B不等式6x2x20的解集是C若不等式ax28ax210的解集是x|7x1，那么a的值是3D关于x的不等式x2px20得(2x1)(x1)0，解得x1或x0的解集为，则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是_.答案(2，1)(答案不唯一)解析不等式(axb)(x2)0的解集为，方程(axb)(x2)0的实数根为和2，且即a2b0
8、，则满足条件的一组有序实数对(a，b)的值可以是(2，1)多角度探究突破考向三一元二次不等式恒成立问题角度在R上的恒成立问题例5(1)(2022豫西南五校联考)已知关于x的不等式kx26kxk80对任意xR恒成立，则k的取值范围是()A0,1B(0,1C(，0)(1，)D(，01，)答案A解析当k0时，不等式kx26kxk80可化为80，其恒成立；当k0时，要满足关于x的不等式kx26kxk80对任意xR恒成立，只需解得0k1.综上，k的取值范围是0,1(2)若关于x的不等式(a2)x22(a2)x40对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是()A(，2 B(，2)C(2,2) D(2,2答案
9、D解析当a2时，不等式(a2)x22(a2)x40可化为40，恒成立；当a2时，要使关于x的不等式(a2)x22(a2)x40恒成立，只需解得2a2.故20a0，0，0ax2bxc0a0，0ax2bxc0a0，06.(2022石家庄月考)在R上定义运算：xyx(1y)，若不等式(xa)(xa)1对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为()A1a1 BaCa D0a2答案B解析由题意，可知(xa)(xa)(xa)(1xa)0对任意实数x恒成立，所以14(a2a1)0，即4a24a30，解得a.角度在给定区间上的恒成立问题例6(1)已知函数f(x)x2mx1，若对于任意xm，m1，都有f(x)0成
10、立，则实数m的取值范围为()A. BC. D答案D解析对于任意xm，m1，都有f(x)0，所以解得m0，即实数m的取值范围是.(2)若对于x1,3，mx2mxm60(m0)恒成立，则m的取值范围是_.答案解析由已知得，m2m60(m0)在x1,3上恒成立解法一：令g(x)m2m6(m0)，x1,3当m0时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x)maxg(3)7m60.所以m，则0m.当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60.所以m6，所以m0.综上所述，m的取值范围是.解法二：因为x2x120，又因为m(x2x1)60，所以m.因为函数y在1,3上的最小值为，所
11、以只需m即可因为m0，所以m的取值范围是.(3)若mx2mx10对于m1,2恒成立，则实数x的取值范围为_.答案解析设g(m)mx2mx1(x2x)m1，其图象是直线，当m1,2时，图象为一条线段，则即解得x0在集合A中恒成立，即集合A是不等式f(x)0的解集的子集，可以先求解集，再由子集的含义求解参数的值(或范围)(2)转化为函数值域问题，即已知函数f(x)的值域为m，n，则f(x)a恒成立f(x)mina，即ma；f(x)a恒成立f(x)maxa，即na.(3)对于以下两种题型，可以利用二次函数在端点m，n处的取值特点确定不等式求范围ax2bxc0)对xm，n恒成立；ax2bxc0(a0恒
12、成立，则实数a的取值范围是()A(0,2) B(2，)C(0，) D(0,4)答案A解析二次函数图象开口向上，对称轴为直线x.x1,1时，f(x)x2ax0恒成立，即f(x)min0.当1，即a2时，f(x)minf(1)1a0，解得a，与a2矛盾；当1，即a2时，f(x)minf(1)1a0，解得a2，与a2矛盾；当11，即2a0，解得0a2.综上可得，实数a的取值范围是(0,2)8(2022山东济宁月考)已知函数f(x)x24x4.若f(x)1在区间(m1，2m)上恒成立则实数m的取值范围是_.答案解析f(x)x24x4且f(x)1，即x24x41，解得1x5，即x(1,5)因为f(x)1
13、在区间(m1，2m)上恒成立，(m1，2m)(1,5)解得0m，即m.角度不等式能成立或有解问题例7(2021浙江五校联考)已知关于x的不等式ax22x3a0在(0,2上有解，则实数a的取值范围是()A. BC. D答案A解析解法一：当x(0,2时，不等式可化为ax2.当a0时，不等式为00时，不等式化为xx22，当且仅当x时取等号要使xmin即可，即2，a，故0a；当a恒成立综上所述，实数a的取值范围是.故选A.解法二：设g(x)ax22x3a，x(0,2当a0时，g(x)2x0，满足题意；当a0时，函数yg(x)图象的对称轴为直线x，又0，所以g(x)在(0,2上为减函数，又g(0)3a0
14、，所以g(x)0时，应满足或即可，解得a或0f(x)能成立af(x)min；af(x)能成立af(x)max.9.(2022湖南长沙月考)设aR，若关于x的不等式x2ax10在区间1,2上有解，则()Aa2 Ba2 Ca Da答案D解析关于x的不等式x2ax10在区间1,2上有解，ax在x1,2上有解amax，x1,2，函数yx在1,2上单调递增，f(x)max，a.分类讨论思想在不等式中的应用已知关于x的不等式x2axb0.(1)若该不等式的解集为(4,2)，求a，b的值；(2)若ba1，求此不等式的解集解(1)根据题意得解得a2，b8.(2)当ba1时，x2axb0x2ax(a1)0，即x
15、(a1)(x1)0.当a11，即a2时，原不等式的解集为；当a11，即a1，即a2时，原不等式的解集为(1，a1)综上，当a2时，不等式的解集为(1，a1)答题启示解一元二次不等式时，心中要有对应一元二次函数的图象(抛物线)，主要是弄清抛物线的开口方向、与x轴交点的横坐标由此想到解含参数的一元二次不等式，首先按二次项系数为正、负、零三类讨论，二次项系数非零时，再按判别式为正、负、零三类讨论，判别式非负时(如本例)，再按对应一元二次方程的两个根的大小关系分类讨论对点训练(2021厦门模拟)求不等式12x2axa2(aR)的解集解原不等式可化为12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4x
16、a)(3xa)0，解得x1，x2.当a0时，不等式的解集为；当a0时，不等式的解集为(，0)(0，)；当a0Cx26x100 D2x23x40答案C解析在C项中，对于方程x26x100，因为364040的解集为R.2(2022山东枣庄联考)不等式2的解集是()A. BC.(1,3 D(1,3答案D解析不等式可化为0，即0，解得x1或1x3.3(2022淄博二模)已知某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y300020x0.1x2，x(0,240)若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()A100台 B120台 C150台 D180台答
17、案C解析由已知得，产量为x台时，总售价为25x.欲使生产者不亏本，必须满足25x300020x0.1x2，即x250x300000，解得x150或x200(舍去)，故欲使生产者不亏本，最低产量是150台故选C.4(2022大连质检)设f(x)则不等式f(x)0时，f(x)x2，代入不等式f(x)x2得x20，解得x2或x1，所以不等式f(x)x2的解集为(2，)；当x0时，f(x)x2，代入不等式f(x)x2得x2x2，解得xR，所以不等式f(x)x2的解集为(，0综上，不等式f(x)1，则关于x的不等式(1a)(xa)1，所以1a，原不等式可化为(xa)0，解集为(a，)6(2021皖南八校
18、联考)若集合Ax|x25x40，Bx|xa|1，则“a(2,3)”是“BA”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析Ax|1x4，Bx|a1xb，cd.若f(x)2022(xa)(xb)的零点为c，d，则下列不等式正确的是()Aacbd BabcdCcdab Dcabd答案D解析f(x)2022(xa)(xb)x2(ab)xab2022，又f(a)f(b)2022，c，d为函数f(x)的零点，且ab，cd，所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象，如图所示由图可知cabd，故选D.8(2021青岛模拟)若不等式x2px4xp3，当0p4时恒成立
19、，则x的取值范围是()A1,3B(，1C3，)D(，1)(3，)答案D解析由题意知不等式x2(x1)p4x30在p0,4上恒成立，即f(p)(x1)px24x30在p0,4上恒成立所以即解得x3.二、多项选择题9下列四个不等式中，解集为的是()Ax2x10B2x2x30(a0)答案BCD解析对于A，x2x10对应函数yx2x1，开口向下，显然解集不为；对于B,2x2x30对应的函数开口向上，124230，其解集为；对于C，x23x100对应的函数开口向上，9400(a0)对应的函数开口向下，16416420，当且仅当a2时取等号，其解集为.故选BCD.10(2021德州模拟)关于x的不等式(a
20、x1)(x2a1)0的解集中恰有3个整数，则a的值可以为()A B1 C1 D2答案AC解析由题意，知a0，即(x2)(x2)0，解得2x0，即(x1)(x3)0，解得1x0，即(2x1)(x5)0，解得x5，有5个整数，不符合题意故选AC.11(2021淄博二模)设x表示不小于实数x的最小整数，则满足关于x的不等式x2x120的解可以为()A. B3 C4.5 D5答案BC解析因为不等式x2x120，所以(x3)(x4)0，所以4x3，又因为x表示不小于实数x的最小整数，所以不等式x2x120的解可以为3，4.5.故选BC.12已知关于x的不等式kx22x6k0(k0)，则下列说法正确的是(
21、)A若不等式的解集为x|x2，则kB若不等式的解集为，则kC若不等式的解集为R，则kD若不等式的解集为，则k答案ACD解析对于A，不等式的解集为x|x2，k0，且3与2是方程kx22x6k0的两根，(3)(2)，解得k，故A正确；对于B，不等式的解集为，解得k，故B错误；对于C，由题意，得解得k0的解集为_.答案x|x5解析2x23|x|3502|x|23|x|350(|x|5)(2|x|7)0|x|5或|x|5或x5.14(2022湖南长沙调研)若a0，则关于x的不等式组的解集为_.答案(a，a)解析因为a0，所以由axa2a(xa)a，由x2ax2a2(x2a)(xa)0，得2axa.所以
22、原不等式组的解集为(a，a)15(2022福建莆田月考)若不等式x2ax20在区间1,5上有解，则a的取值范围是_.答案(，1)解析不等式x2ax20在区间1,5上有解，即ax，x1，5有解，显然g(x)x在1,5上单调递减，g(x)maxg(1)1，a1.16(2022河北衡水调研)已知集合A，BxR|(x2a)(xa21)0，所以即a0且a1.综上所述，实数a的取值范围是0，)四、解答题17设函数f(x)x2axb.(1)若不等式f(x)0的解集是x|2x0的解集；(2)当b3a时，对任意的x(1,0都有f(x)0成立，求实数a的取值范围解(1)因为不等式x2axb0的解集是x|2x0为6
23、x25x10.解不等式6x25x10，得其解集为.(2)当b3a时，f(x)0在区间(1,0上恒成立转化为x2ax3a0在区间(1，0上恒成立，即a(x1)x23在区间(1,0上恒成立，等价于a，则amin.设tx1，t(0,1，ut2，由对勾函数的单调性知，当t(0,1时，u关于t单调递减，所以min1423，即实数a的取值范围为(，318(2022鞍山质检)已知f(x)2x2bxc，不等式f(x)0的解集是(0,5)(1)若不等式组的正整数解只有一个，求实数k的取值范围；(2)若对于任意x1,1，不等式tf(x)2恒成立，求t的取值范围解(1)因为不等式f(x)0的解集是(0,5)，所以0,5是一元二次方程2x2bxc0的两个实数根，可得解得所以f(x)2x210x.不等式组即解得因为不等式组的正整数解只有一个，可得该正整数解为6，可得65k7，解得2k0时，有即解得t，所以0t；当t0时，函数ytx25tx1在1,1上单调递增，所以只要其最大值满足条件即可，所以t5t10，解得t，即t0，综上，t的取值范围是.