1、第7节 函数的图象考试要求 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题.知 识 梳 理 1.利用描点法作函数的图象 步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线.2.利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换 f(x)-k(2)对称变换yf(x)的图象关于x轴对称 y_的图象；yf(x)的图象关于y轴对称 y_的图象；yf(x)的
2、图象关于原点对称 y_的图象；yax(a0，且 a1)的图象关于直线yx对称 y_(a0，且 a1)的图象.f(x)f(x)f(x)logax(3)伸缩变换yf(x)纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a（a0）倍yf(ax).yf(x)横坐标不变各点纵坐标变为原来的A(A0)倍yAf(x).(4)翻折变换yf(x)的图象x轴下方部分翻折到上方x轴及上方部分不变y_图象；yf(x)的图象y轴右侧部分翻折到左侧原y轴左侧部分去掉，右侧不变 y_的图象.|f(x)|f(|x|)常用结论与微点提醒 1.记住几个重要结论(1)函数yf(x)与yf(2ax)的图象关于直线xa对称.(2)函数yf(x)与y2
3、bf(2ax)的图象关于点(a，b)中心对称.(3)若函数yf(x)对定义域内任意自变量x满足：f(ax)f(ax)，则函数yf(x)的图象关于直线xa对称.2.图象的左右平移仅仅是相对于x而言，如果x的系数不是1，常需把系数提出来，再进行变换.3.图象的上下平移仅仅是相对于y而言的，利用“上减下加”进行.诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)当x(0，)时，函数y|f(x)|与yf(|x|)的图象相同.()(2)函数yaf(x)与yf(ax)(a0且a1)的图象相同.()(3)函数yf(x)与yf(x)的图象关于原点对称.()(4)若函数yf(x)满足f(1x)f
4、(1x)，则函数f(x)的图象关于直线x1对称.()解析(1)令f(x)x，当x(0，)时，y|f(x)|x，yf(|x|)x，两者图象不同，(1)错.(2)中两函数当a1时，yaf(x)与yf(ax)是由yf(x)分别进行振幅与周期变换得到，两图象不同，(2)错.(3)yf(x)与yf(x)图象关于x轴对称，(3)错.(4)中，f(2x)f1(1x)f1(1x)f(x)，所以yf(x)的图象关于直线x1对称，(4)正确.答案(1)(2)(3)(4)解析 其图象是由yx2图象中x0的部分和yx1图象中x0的部分组成.答案 C 2.(老教材必修 1P24A7 改编)下列图象是函数 yx2，x0，
5、排除 B，C，只有 D 满足.答案(2，8 6.(2020兰州联考)已知函数 f(x)的图象如图所示，则函数 g(x)log2f(x)的定义域是_.解析 当 f(x)0 时，函数 g(x)log2f(x)有意义，由函数 f(x)的图象知满足 f(x)0 时，x(2，8.考点一 作函数的图象【例1】作出下列函数的图象：(1)y12|x|；(2)y|log2(x1)|；(3)yx22|x|1.解(1)先作出 y12x的图象，保留 y12x图象中 x0 的部分，再作出 y12x的图象中 x0 部分关于 y 轴的对称部分，即得 y12|x|的图象，如图实线部分.(2)将函数ylog2x的图象向左平移一
6、个单位，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y|log2(x1)|的图象，如图.(3)yx22x1，x0，x22x1，x0，且函数为偶函数，先用描点法作出0，)上的图象，再根据对称性作出(，0)上的图象，得图象如图.规律方法 作函数图象的一般方法(1)直接法.当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出.(2)图象变换法.若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响.【训练1】分别作出下列函数的图象：(1)y|lg x|；(2)ysin|x|
7、.解(1)先作出函数ylg x的图象，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得函数y|lg x|的图象，如图实线部分.(2)当x0时，ysin|x|与ysin x的图象完全相同，又ysin|x|为偶函数，图象关于y轴对称，其图象如图.考点二 函数图象的辨识【例 2】(1)(2019全国卷)函数 y2x32x2x在6，6的图象大致为()(2)(2020深圳模拟)函数 f(x)1x2lg|x|的图象大致为()解析(1)因为 yf(x)2x32x2x，x6，6，所以 f(x)2（x）32x2x 2x32x2xf(x)，所以f(x)是奇函数，排除选项C.当 x4 时，y 2432424 12816 1
8、16(7，8)，排除 A，D 项，B 正确.所以f(x)的定义域为(1，0)(0，1)，关于原点对称.又f(x)f(x)，所以函数f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除A；当0 x1时，lg|x|0，f(x)0且x0时，f(x)0，排除D，只有B项符合.答案(1)B(2)B(2)由1x20，|x|0且|x|1，得1x0 或 0 x0，排除 D，当 x时，3x，则 f(x)，排除 C，选项 B 符合.法二 当x1时，f(1)11sin 12sin 12，排除A，C；又当x时，y，排除B，而D满足.答案(1)B(2)D(2)法一 易知 g(x)xsin xx2 为奇函数，故 y1xsin xx2
9、 的图象关于点(0，1)对称，排除 C；当 x(0，1)时，y0，排除 A；当 x 时，y1，排除 B，选项 D 满足.考点三 函数图象的应用 多维探究 角度1 研究函数的性质【例31】已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数，递增区间是(0，)B.f(x)是偶函数，递减区间是(，1)C.f(x)是奇函数，递减区间是(1，1)D.f(x)是奇函数，递增区间是(，0)答案 C 解析 将函数 f(x)x|x|2x 去掉绝对值得 f(x)x22x，x0，x22x，x0，画出函数 f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数 f(x)的图象关于原点对称，故函数 f(x)为奇
10、函数，且在(1，1)上是递减的.角度2 函数图象在不等式中的应用【例32】(1)(2020哈尔滨模拟)已知函数f(x)2|x|，若关于x的不等式f(x)x2xm的解集中有且仅有1个整数，则实数m的取值范围为()A.3，1)B.(3，1)C.2，1)D.(2，1)(2)函数 f(x)是定义在4，4上的偶函数，其在0，4上的图象如图所示，那么不等式f（x）cos x 0 的解集为_.解析(1)在同一平面直角坐标系中作出函数yf(x)，yx2xm的图象如图所示.故f（0）00m，f（1）11m，解得2m0.当 x2，4 时，ycos x0.结合 yf(x)，x0，4上的图象知，当 1x2时，f（x）
11、cos x 0.又函数 yf（x）cos x 为偶函数，所以在4，0上，f（x）cos x 0 的解集为2，1，所以f（x）cos x 0，若只存在两个整数x，使得f(x)0，则a的取值范围是_.解析 f(x)|x22x|axa0，则|x22x|axa，分别画出y|x22x|与ya(x1)的图象，如图所示.只存在两个整数x，使得f(x)0，当x1时，|122|1，令2a1，解得 a12，此时有 2 个整数使 f(x)0，即 x0 或 x1，结合图象可得 a 的取值范围为0，12.答案 0，12规律方法 1.利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、
12、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.2.利用函数的图象可解决某些方程和不等式的求解问题，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标；不等式f(x)g(x)的解集是函数f(x)的图象位于g(x)图象下方的点的横坐标的集合，体现了数形结合思想.A.函数f(x)的图象关于点(1，0)中心对称 B.函数f(x)在(，1)上是增函数 C.函数f(x)的图象关于直线x1对称 D.函数f(x)的图象上至少存在两点A，B，使得直线ABx轴(2)(角度2)已知函数yf(x)的图象是如图所示的折线ACB，且函数g(x)log2(x1)
13、，则不等式f(x)g(x)的解集是()A.x|1x0B.x|1x1 C.x|1x1D.x|1x2【训练 3】(1)(角度 1)已知函数 f(x)2x1，则下列结论正确的是()(3)(角度 3)已知函数 f(x)kx1，g(x)ex1(1x1)，若 f(x)与 g(x)的图象上分别存在点 M，N，使得点 M，N 关于直线 y1 对称，则实数 k 的取值范围是()A.1e，B.e，1eC.e，)D.，e 1e，解析(1)由题知，函数 f(x)2x1的图象是由函数 y2x的图象向右平移 1 个单位长度得到的，可得函数 f(x)的图象关于点(1，0)中心对称，A 正确；函数 f(x)在(，1)上是减函
14、数，B 错误；易知函数 f(x)2x1的图象不关于直线 x1 对称，C 错误；由函数 f(x)的单调性及函数 f(x)的图象，可知函数 f(x)的图象上不存在两点 A，B，使得直线 ABx 轴，D 错误.(2)令g(x)ylog2(x1)，作出函数g(x)的图象如图，结合图象知不等式f(x)log2(x1)的解集为x|10 时，f(x)e|x|x 0，这与函数的图象不符，因此只有 C 项 f(x)ln|x|x 可能适合.有兴趣的同学可研究函数的性质作出判断(略).类型2 利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)
15、常借助图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系.【例2】已知f(x)2x1，g(x)1x2，规定：当|f(x)|g(x)时，h(x)|f(x)|；当|f(x)|g(x)时，h(x)g(x)，则h(x)()A.有最小值1，最大值1 B.有最大值1，无最小值 C.有最小值1，无最大值 D.有最大值1，无最小值 解析 画出y|f(x)|2x1|与yg(x)1x2的图象，它们交于A，B两点.由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|g(x)，故h(x)|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|g(x)，故h(x)g(x).综上可知，yh(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值1，无最大值.答
16、案 C A.5B.6C.7D.8【例 3】(2020太原调研)已知函数 g(x)12|x1|，h(x)cos x，当 x(2，4)时，函数 g(x)与 h(x)的交点横坐标分别记为 xi(i1，2，n)，则ni1xi()解析 易知 g(x)12|x1|的图象关于 x1 对称，h(x)cos x 的图象关于x1对称.作出两个函数的图象，如图所示.根据图象知，两函数有 7 个交点，其中一个点的横坐标为 x1，另外 6 个交点关于直线 x1 对称，因此7i1xi3217.答案 C 思维升华 求解图象交点横、纵坐标之和的问题，常利用图象的对称性求解，即找出两图象的公共对称轴或对称中心，从而得出各交点的公共对称轴或对称中心，由此得出定值求解.类型3 利用函数的图象求解方程或不等式 若研究的方程(不等式)不能用代数法求解，但其与基本初等函数有关，常将方程(不等式)问题转化为两函数图象的交点或图象的上下位置关系，然后由图象的几何直观数形结合求解.【例 4】函数 f(x)2sin xsinx2 x2的零点个数为_.解析 f(x)2sin xcos xx2sin 2xx2，函数f(x)的零点个数可转化为函数y1sin 2x与y2x2图象的交点个数，在同一坐标系中画出y1sin 2x与y2x2的图象如图所示：由图可知两函数图象有2个交点，则f(x)的零点个数为2.答案 2