1、(教师独具)一、柱体、锥体、台体和球体的侧面积和体积公式 面积体积圆柱S侧2rlVShr2h圆锥S侧rlVShr2hr2圆台S侧(r1r2)lV(S上S下)h(rrr1r2)h直棱柱S侧ChVSh正棱锥S侧ChVSh正棱台S侧(CC)hV(S上S下)h球S球面4R2VR3二、空间中的线线、线面、面面关系1空间中线线关系空间中两条直线的位置关系有且只有相交、平行、异面三种情况两直线垂直有“相交垂直”与“异面垂直”两种情况(1)证明线线平行的方法线线平行的定义；公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行；线面平行的性质定理：a，a，bab；线面垂直的性质定理：a，bab；面面平行的性质定理：，a，
2、bab(2)证明线线垂直的方法线线垂直的定义：两条直线所成的角是直角(在研究异面直线所成的角时，要通过平移把异面直线转化为相交直线)；线面垂直的性质1：a，bab；线面垂直的性质2：a，bab2空间中线面关系直线与平面之间的位置关系有且只有线在面内、相交、平行三种(1)证明直线与平面平行的方法线面平行的定义；判定定理：a，b，aba；平面与平面平行的性质：，aa(2)证明直线与平面垂直的方法线面垂直的定义；判定定理1：l；判定定理2：ab，ab；面面平行的性质定理：，aa；面面垂直的性质定理：，l，a，ala.3空间中面面关系两个平面之间的位置关系有且只有平行、相交两种(1)证明面面平行的方法
3、面面平行的定义； 面面平行的判定定理：a，b，a，b，abA；线面垂直的性质定理：a，a；公理4的推广：，.(2)证明面面垂直的方法面面垂直的定义：两个平面相交所成的二面角是直二面角；面面垂直的判定定理：a，a.三、两直线的位置关系 1求直线斜率的基本方法(1)定义法：已知直线的倾斜角为，且90，则斜率ktan_(2)公式法：已知直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1x2，则斜率k2判断两直线平行的方法(1)若不重合的直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1k2l1l2(2)若不重合的直线l1与l2的斜率都不存在，其倾斜角都为90，则l1l2.3判断两直线垂直的
4、方法(1)若直线l1与l2的斜率都存在，且分别为k1，k2，则k1k21l1l2.(2)已知直线l1与l2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l1l2.四、直线方程1直线方程的五种形式名称方程常数的几何意义适用条件点斜式一般情况yy0k(xx0)(x0，y0)是直线上的一个定点，k是斜率直线不垂直于x轴斜截式ykxbk是斜率，b是直线在y轴上的截距直线不垂直于x轴两点式一般情况(x1，y1)，(x2，y2)是直线上的两个定点直线不垂直于x轴和y轴截距式1a，b分别是直线在x轴，y轴上的两个非零截距直线不垂直于x轴和y轴，且不过原点一般式AxByC0A，B不同时为0A，B，C为
5、系数任何情况2.常见的直线系方程(1)经过两条直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20交点的直线系方程为A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，其中是待定系数在这个方程中，无论取什么实数，都不能得到A2xB2yC20，因此它不能表示直线l2.(2)平行直线系方程：与直线AxByC0(A，B不同时为0)平行的直线系方程是AxBy0(C).(3)垂直直线系方程：与直线AxByC0(A，B不同时为0)垂直的直线系方程是BxAy0.五、圆的方程(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F0).(3)若圆经过两已知圆的交点或一已知圆与一
6、已知直线的交点，求圆的方程时可用相应的圆系方程加以求解：求两圆C1：x2y2D1xE1yF10，C2：x2y2D2xE2yF20交点的圆系方程为x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0(为参数，1)，该方程不包括圆C2；过圆C：x2y2DxEyF0与直线l：AxByC0交点的圆系方程为x2y2DxEyF(AxByC)0(为参数，R).六、直线与圆的位置关系1直线与圆位置关系的判断方法(1)几何法：设圆心到直线的距离为d，圆的半径长为r.若dr，则直线和圆相交；若dr，则直线和圆相切；若dr，则直线和圆相离(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，
7、其判别式为，0直线与圆相切；0直线与圆相交；0直线与圆相离2过圆外一点(x0，y0)与圆相切的切线方程的求法当切线斜率存在时，设切线方程为yy0k(xx0)，化成一般式kxyy0kx00，利用圆心到直线的距离等于半径长，解出k；当切线斜率存在时，设切线方程为yy0k(xx0)，与圆的方程(xa)2(yb)2r2联立，化为关于x的一元二次方程，利用判别式为0，求出k.当切线斜率不存在时，可通过数形结合思想，在平面直角坐标系中作出其图象，求出切线的方程3圆中弦长的求法(1)直接求出直线与圆或圆与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式求解(2)利用圆的弦长公式l|x1x2|(其中x1，x2为两交点的横
8、坐标).(3)利用垂径定理：分别以圆心到直线的距离d、圆的半径r与弦长的一半为线段长的三条线段构成直角三角形，故有l24圆与圆的位置关系 (1)利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系(2)若圆C1：x2y2D1xE1yF10与圆C2：x2y2D2xE2yF20相交则两圆方程相减后得到的新方程：(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0表示的是两圆公共弦所在直线的方程1有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥()提示，根据棱锥定义，其余各面必须是有公共顶点的三角形2夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱()提示，两个平行平面必须与圆柱底面平行才是圆柱3上、下底面是两
9、个平行的圆面的旋转体是圆台()提示，圆台的母线延长后交于一点4球的体积之比等于半径比的平方()提示，由球的体积公式可知球的体积之比等于半径比的立方5台体的体积可转化为两个锥体的体积之差()提示，根据台体与锥体之间的关系可知正确6圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2S()提示，由条件可知，圆柱的底面周长为正方形的边长，设圆柱的底面半径为r，则有Sr2，从而圆柱侧面积为4S.7两个平面，有一个公共点A，就说，相交于过A点的任意一条直线()提示，由公理3可知错误8两两相交的三条直线最多可以确定三个平面()提示，如空间直角坐标系中三条坐标轴可以确定三个平面9若直线a不
10、平行于平面，且a，则内的所有直线与a异面()提示，由条件知直线a与平面相交，则平面内凡过交点的直线都与a相交10没有公共点的两条直线是异面直线()提示，没有公共点的两条直线可能平行或异面.11若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面()提示，根据直线与平面平行的判定定理可知该结论错误12若一条直线平行于一个平面，则这条直线平行于这个平面内的任一条直线()提示，根据线面平行的性质定理可知，此直线与平面内的无数条直线平行而不是与任一条直线平行13若直线a与平面内无数条直线平行，则a()提示，若直线a与平面内无数条直线平行，则a或a.14若直线a，P，则过点P且平行于a的直线有
11、无数条()提示，直线a与点P确定一个平面，若b，则ab.15如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行. ()提示，如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行或相交16如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面. ()提示，分别在两个平面内的两条直线没有公共点，则它们平行或异面.17直线l与平面内无数条直线都垂直，则l()提示，根据直线与平面垂直的定义可知此结论错误18直线a，b，c，若ab，bc，则ac()提示，在空间中垂直于同一条直线的两条直线的位置关系可能是平行、相交或异面19若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则()提示，此
12、直线不一定与平面垂直，因此两平面不一定垂直.20若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面()提示，根据面面垂直的性质定理可知该结论错误.21设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，若mn，m，则n. ()提示，两条平行线中一条与一个平面垂直，则另一条也与该平面垂直22确定圆的几何要素是圆心与半径()提示，根据圆的概念可知确定圆的几何要素是圆心与半径23方程(xa)2(yb)2t2(tR)表示圆心为(a，b)，半径为t的一个圆()提示，方程(xa)2(yb)2t2中当t20时才表示圆心为(a, b)，半径为|t|的一个圆24若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，
13、则xyDx0Ey0F0()提示，若点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，则必有xyDx0Ey0F0成立25过圆O：x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2()提示，过圆O：x2y2r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程是x0xy0yr2，这一结论需记住26如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切()提示，如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切或内切27如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()提示，如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交、内切或内含28圆C1：x2y22x2y20与圆C2：x2y24x2y10的公
14、切线有且仅有2条()提示，由于两圆相交，故其公切线有且仅有两条29两平行直线2xy10，4x2y10间的距离是0. ()提示，只有当x，y对应项系数相等时才能用公式求距离1在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AC1与平面BB1C1C所成的角为30，则该长方体的体积为()A8B6C8 D8C连接AC1，AC，BC1，因为AB平面BB1C1C，所以AC1B30，ABBC1，所以ABC1为直角三角形又AB2，所以BC12.又B1C12，所以BB12，故该长方体的体积V2228.2设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9，则三棱锥DABC体积的最大值
15、为()A12 B18C24 D54B设等边三角形ABC的边长为x，则x2sin 609，得x6.设ABC的外接圆半径为r，则2r，解得r2，所以球心到ABC所在平面的距离d2，则点D到平面ABC的最大距离d1d46，所以三棱锥DABC体积的最大值VmaxSABC69618.3在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为()A BC DC如图，连接BE，AE.因为ABCD，所以异面直线AE与CD所成的角等于相交直线AE与AB所成的角，即EAB.不妨设正方体的棱长为2，则CE1，BC2，由勾股定理得BE.又由AB平面BCC1B1可得ABBE，所以ta
16、n EAB.故选C.4已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45.若SAB的面积为5，则该圆锥的侧面积为_40如图，设圆锥底面半径为r，母线长为l，母线SA，SB的夹角为，由cos ，得sin ，由SAB的面积为l2sin 5，得l4，又SA与圆锥底面所成角为45，所以rl2，所以该圆锥的侧面积为rl2440.5已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30.若SAB的面积为8，则该圆锥的体积为_8由题意画出图形，如图，设AC是底面圆O的直径，连接SO，则SO是圆锥的高设圆锥的母线长为l，则由SASB，SAB的面积为8，得l28，得l4.在RtASO中，由题意知SAO30，所以SOl2，AOl2.故该圆锥的体积VAO2SO(2)228.6直线yx1与圆x2y22y30交于A，B两点，则|AB|_2由题意知圆的方程为x2(y1)24，所以圆心坐标为(0，1)，半径为2，则圆心到直线yx1的距离d，所以|AB|22.