1、河北省唐山市唐山第十中学2021-2022年学年高三数学第三周测试（考试时间：120分钟 总分：150分）第部分（选择题，共60分）一单选题：每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合，则（ ）ABCD2（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设，则（ ）ABCD3（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）ABCD4平面向量，则向量夹角的余弦值为（ ）ABCD5有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同坐法的种数是（ ）A342B346C432D428
2、6当时，若，则的值为（ ）ABCD7.已知，则过点且与线段平行的直线方程为（ ）ABCD8（2020全国高三专题练习（文）已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则（ ）A2B1CD二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩（满分为150分）服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是（ ）A该市学生数学成绩的期望为100B该市学生数学成绩的标准差为100C该市学生数学成绩的及格率超过0.8D该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数
3、大致相等10点在圆上，点在圆上，则（ ）A的最小值为0B的最大值为7C两个圆心所在的直线斜率为D两个圆相交弦所在直线的方程为11已知函数，则下列说法正确的是（ ）A函数的周期为B函数图象的一条对称轴为直线C函数在上单调递增D函数的最小值为12已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且EF1，点Q是棱A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则下面结论中正确的是（ ）APQ与EF一定不垂直B二面角PEFQ的正弦值是CPEF的面积是D点P到平面QEF的距离是定值三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知点，则以线段为直径的圆的方程是_.14.若多项式，
4、则_.15若是奇函数，则实数_.16已知点为抛物线上一点，若点到两定点，的距离之和最小，则点的坐标为_四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知等差数列的前项和为，数列的前项和（1）求数列和的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和18已知的三个内角，的对边分别为，且.求角的大小；若，的面积为，求，的值.19如图，在长方体中，为的中点. 平面与棱交于点.（1）证明：平面；（2）点为棱上一点，且，求直线与平面所成角的大小.20从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图（1）求这500件产品质量指标值的
5、样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差利用该正态分布，求某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间内的产品件数，利用的结果，求附：21已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于、两点，设点关于轴对称点为. 直线与轴的交点是否为定点？请说明理由.22已知函数（其中为参数）.（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，都有成立，求实数的取值集合；（3）证明：（其中，为自然对数的底数）.
6、2022年高考高三数学阶段性测试试卷答案一单选题：每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1设集合，则（ ）ABCD【答案】B【解】因为，所以,故选：B.2（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）设，则（ ）ABCD【答案】C【解】设，则，则，所以，解得，因此，.故选：C.3（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）ABCD【答案】B【解】由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B4平面向量，则向量夹角的余弦值为（ ）ABCD【答案】A
7、【解】利用向量的夹角余弦公式求向量夹角的余弦值.【详解】 又， ，故选：A.5有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同坐法的种数是（ ）A342B346C432D428【答案】B【解】方法一：若2人都在前排左面4个座位，且不左右相邻，则有6种坐法，若2人都在前排右面4个座位，且不左右相邻，则有6种坐法，若2人分别在前排中间3个座位的左面和右面，则有种坐法，故2人都在前排，且不左右相邻，共有种坐法若2人都在后排，且不左右相邻，则有种坐法若2人分别在前后两排，则有种坐法故共有种坐法方法二：可坐的座位一共有20个，2个人
8、坐的方法数为，还需排除2人左右相邻的情况，把可坐的20个座位排成一排，将其中两个相邻座位看成一个整体，则相邻的坐法有，还应再加上，所以不同坐法的种数为故选：B.6当时，若，则的值为（ ）ABCD【答案】B【解】，故选：B7.已知，则过点且与线段平行的直线方程为（ ）ABCD【答案】B【解】因为，所以，则所求直线的斜率为，所以过点且与线段平行的直线方程为，即故选：B8（2020全国高三专题练习（文）已知过点的直线与圆相切，且与直线平行，则（ ）A2B1CD【答案】C【解】因为切线与直线平行，所以切线方程可设为，因为切线过点P(2，2)，所以，因为与圆相切，所以，故选：C.二、选择题：本题共4小题
9、，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9在某市的一次学情检测中，学生的数学成绩（满分为150分）服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是（ ）A该市学生数学成绩的期望为100B该市学生数学成绩的标准差为100C该市学生数学成绩的及格率超过0.8D该市学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等【答案】AC【解】依题意，知，.易知A说法正确，B说法错误；，所以，故C说法正确；，所以该市学生数学成绩不及格的人数大于优秀的人数，D说法错误.故选：AC.10点在圆上，点在圆上，则（ ）A的最小
10、值为0B的最大值为7C两个圆心所在的直线斜率为D两个圆相交弦所在直线的方程为【答案】BC【解】解：根据题意，圆，其圆心，半径，圆，即，其圆心，半径，圆心距，则的最小值为，最大值为，故A错误，B正确；对于C，圆心，圆心，则两个圆心所在的直线斜率，C正确，对于D，两圆圆心距，有，两圆外离，不存在公共弦，D错误故选：BC11已知函数，则下列说法正确的是（ ）A函数的周期为B函数图象的一条对称轴为直线C函数在上单调递增D函数的最小值为【答案】ABD【解】解：函数.所以函数的周期为，故A选项正确；当时，所以直线是函数图象的一条对称轴，故B选项正确；当，则，由正弦函数性质可知，此时单调递减，故C选项错误；
11、由可知，当时，取得最小值为，故D选项正确.故选：ABD.12已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且EF1，点Q是棱A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则下面结论中正确的是（ ）APQ与EF一定不垂直B二面角PEFQ的正弦值是CPEF的面积是D点P到平面QEF的距离是定值【答案】BCD【解】解：对于A，当与点重合时，故选项A错误；对于B，由于点是棱上的动点，是棱上的一条线段，所以平面即平面，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，0，4，所以，平面即平面，设平面的法向量为，则，即，令，则，同理可求得平面的法向量为，设二面角为，所以，故，故选项B正确；对于C
12、，由于平面，又平面，所以，所以，所以是的高，所以，故选项C正确；对于D，由于，且平面，平面，所以平面，又点在上，所以点到平面的距离为常量，故选项D正确故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13已知点，则以线段为直径的圆的方程是_.【答案】【解】因点，则线段的中点，即所求圆的圆心为点，圆的半径，所以以线段为直径的圆的方程是：.故答案为：14.若多项式，则_.【答案】【解】由展开式的通项为，令，解得，则，故答案为：15若是奇函数，则实数_.【答案】【解】解：是奇函数，即得，又当时，有，此时是奇函数.故答案为：2.16已知点为抛物线上一点，若点到两定点，的距离之和最小，则点的坐
13、标为_【答案】【解】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，由抛物线的定义，知点到焦点的距离与点到准线的距离相等，即，所以，易知当，三点共线时，取得最小值，所以，此时点的坐标为故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17已知等差数列的前项和为，数列的前项和（1）求数列和的通项公式；（2）若数列满足，求数列的前项和【答案】（1）；（2）【解】（1）设等差数列的公差为，解得：，的项和，当时，也符合上式（2），数列的前项和18已知的三个内角，的对边分别为，且.求角的大小；若，的面积为，求，的值.【答案】；，或.【解】解：，由正弦定理得，又，.即，或.19如图，在
14、长方体中，为的中点. 平面与棱交于点.（1）证明：平面；（2）点为棱上一点，且，求直线与平面所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解】（1）由长方体的性质知：面面，且、面，面，平面.（2）构建以D为原点，为x、y、z轴正方向的空间直角坐标系，则，平面与棱交于点，易知，而为的中点，为中点，则，若为面的一个法向量，则，令，即，又，则，直线与平面所成角为.20从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图（1）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的
15、质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差利用该正态分布，求某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间内的产品件数，利用的结果，求附：【答案】（1）=200，=150；（2）0.683；.【解】解：（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为，所以=200，=150；（2）由（1），知，从而由，知一件产品的质量指标值位于区间内的概率约为0.683，依题意知，所以21已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的直线（不与坐标轴垂直）与椭圆交于、两点，设点关于轴对称点为. 直线与轴的交点是否为定点？请说明理由.
16、【答案】（1）；（2）.【解】（1）因为椭圆的离心率为，点在椭圆上，所以，解得，所以椭圆的标准方程；（2），直线AB的方程为，联立，消去y得，由韦达定理得，直线的方程为，令，得，又，所以，所以直线与轴的交点是定点，其坐标是.22已知函数（其中为参数）.（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，都有成立，求实数的取值集合；（3）证明：（其中，为自然对数的底数）.【答案】（1）答案见解析；（2）；（3）证明见解析.【解】（1），当时，在上递增，当时，令，得，时，单调递减，时，单调递增；综上：时，在上递增，无减区间，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）由（1）知时，在上递增，而，所以时，此时不成立，故，由（1）得：.对任意，都有恒成立，.，当时，当，所以在上为增函数，在为减函数，考虑当时，所以，实数的取值集合为.（3）由（2）可得，令，则即，所以，故.由（2）可得，令，则即，所以，故.综上，.