1、2.3.2平面与平面垂直的判定学 习 目 标核 心 素 养1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小(难点、易错点)2.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系(重点)3.熟悉线面垂直、面面垂直的转化(重点)1. 通过学习平面与平面垂直的判定，提升直观想象、逻辑推理的数学核心素养2. 通过学习二面角，提升直观想象、逻辑推理、数学运算的数学核心素养1二面角的概念(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形(2)相关概念：这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面 (3)记法：二面角l或AB或PlQ或PABQ.(4)二面角的
2、平面角：若有Ol；OA，OB；OAl，OBl，则二面角l的平面角是AOB(5)二面角的取值范围为0180当两个二面角的两个半平面重合时，规定二面角的大小为0，当两个二面角的两个半平面合成一个平面时，规定二面角的大小为180.思考：二面角的平面角的大小，是否与角的顶点在棱上的位置有关？提示无关如图，根据等角定理可知，AOBAOB，即二面角的平面角的大小与角的顶点的位置无关，只与二面角的大小有关2平面与平面垂直(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直(2)画法：(3)记作：(4)判定定理：文字语言一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直图形语言符
3、号语言l，l思考：两个平面垂直，则一个平面内的任何一条直线都垂直于另一个平面吗？提示不一定，只有在一个平面内垂直于交线的直线才垂直于另一个平面1如图所示的二面角可记为()AlBMlNClMN DlB根据二面角的记法规则可知B正确2已知直线l平面，则经过l且和垂直的平面()A有一个 B有两个C有无数个 D不存在C经过l的任一平面都和垂直3如图所示，三棱锥PABC中，PA平面ABC，BAC90，则二面角BPAC的大小等于_90PA平面ABC，PAAB，PAAC，BAC为二面角BPAC的平面角，又BAC90.所以所求二面角的大小为90.二面角的计算问题【例1】 如图，已知三棱锥ABCD的各棱长均为2
4、，求二面角ACDB的余弦值解如图，取CD的中点M，连接AM，BM，则AMCD，BMCD.由二面角的定义可知AMB为二面角ACDB的平面角设点H是BCD的重心，则AH平面BCD，且点H在BM上在RtAMH中，AM2，HM2，则cos AMB，即二面角的余弦值为.1求二面角的大小关键是作出平面角求二面角大小的步骤是：(1)找出这个平面角；(2)证明这个角是二面角的平面角；(3)作出这个角所在的三角形，解这个三角形，求出角的大小2确定二面角的平面角的方法定义法在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线垂面法过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条
5、交线所成的角，即为二面角的平面角1如图，AC平面BCD，BDCD, ACAD，求平面 ABD 与平面BCD 所成的二面角的大小证明因为AC平面 BCD，BD平面 BCD，所以BDAC.又因为BDCD，ACCDC，所以BD平面 ACD.因为AD平面 ACD，所以ADBD，所以ADC即为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角在RtACD中，ACAD，所以ADC30.平面与平面垂直的判定【例2】如图所示，在四面体ABCS 中，已知BSC90，BSACSA60，又SASBSC.求证：平面ABC平面SBC.证明(1)法一：(利用定义证明)因为BSACSA60，SASBSC，所以ASB和ASC是
6、等边三角形，则有SASBSCABAC，令其值为a，则ABC和SBC为共底边BC的等腰三角形取BC的中点D，如图所示，连接AD，SD，则ADBC，SDBC，所以ADS为二面角ABCS的平面角在RtBSC中，因为SBSCa，所以SDa，BDa.在RtABD中，ADa，在ADS中，因为SD2AD2SA2，所以ADS90，即二面角ABCS为直二面角，故平面ABC平面SBC.法二：(利用判定定理)因为SASBSC，且BSACSA60，所以SAABAC，所以点A在平面SBC上的射影为SBC的外心因为SBC为等腰直角三角形，所以点A在SBC上的射影D为斜边BC的中点，所以AD平面SBC.又因为AD平面ABC
7、，所以平面ABC平面SBC.证明面面垂直常用的方法定义法即说明两个半平面所成的二面角是直二面角判定定理法在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为线面垂直性质法两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面2如图所示，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE平面ABCD.证明连接AC，设ACBDO，连接OE.因为O为AC中点，E为PA的中点，所以EO是PAC的中位线，所以EOPC.因为PC平面ABCD，所以EO平面ABCD.又因为EO平面BDE，所以平面BDE平面ABCD.线面、面面垂直的综合探究问题1如图所示，如何作出
8、二面角PABQ的平面角？提示过点P作平面ABQ的垂线，垂足为H.过H作HO棱AB于点O，连接OP，则POH即为二面角PABQ的平面角2线面、面面垂直关系是如何转化的？提示欲证面面垂直，可转化为证明线面垂直，再转化为证明线线垂直即可【例3】如图所示，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点(1)求证：A1EBD；(2)当E恰为棱CC1的中点时，求证：平面A1BD平面EBD.思路探究：(1)欲证A1EBD，只需证明BD垂直A1E所在平面即可；(2)要证平面A1BD平面EBD，只需求出二面角为直二面角即可，或证明一个平面内的某一直线垂直于另一个面证明连接AC，设ACDBO，连接A1
9、O，OE，(1)因为AA1底面ABCD，所以BDA1A，又BDAC，A1AACA，所以BD平面ACEA1，因为A1E平面ACEA1，所以A1EBD.(2)在等边三角形A1BD中，BDA1O，因为BD平面ACEA1，OE平面ACEA1，所以BDOE，所以A1OE为二面角A1BDE的平面角在正方体ABCDA1B1C1D1中，设棱长为2a，因为E为棱CC1的中点，由平面几何知识，得EOa，A1Oa，A1E3a，满足A1E2A1O2EO2，所以A1OE90，即平面A1BD平面EBD.本例中，条件不变，试求二面角EBDC的正切值解连接AC交BD于O，连接OE(图略).由例题中(2)知，BDOE，BDOC
10、.EOC为二面角EBDC的平面角设正方体棱长为a，则CE，OCa.在RtOCE中，tan EOC.所以二面角EBDC的正切值为.线面、面面垂直的综合问题的解题策略(1)重视转化涉及线面垂直、面面垂直的综合问题的解题关键是转化，即证面面垂直转化为证线面垂直；证线面垂直转化为证线线垂直.(2)充分挖掘线面垂直关系解答线面垂直、面面垂直的综合问题时，通常要先证出一个关键的线面垂直关系，由此出发才能证出其他线线垂直、线面垂直关系，因此要注意线面垂直在解题过程中的枢纽作用1求二面角大小的步骤 简称为“一作、二证、三求”2平面与平面垂直的判定定理的应用思路(1)本质：通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直
11、，即线面垂直面面垂直(2)证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决1直线l平面，l平面，则与的位置关系是()A平行B可能重合C相交且垂直 D相交不垂直C由面面垂直的判定定理，得与垂直，故选C.2从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角的关系是()A互为余角 B相等C其和为周角 D互为补角D画图知从二面角内一点分别向二面角的两个面引垂线，则这两条垂线所夹的角与二面角的平面角互为补角，所以选D.3在正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABCA1的平面角等于_45根据长方体中的位置关系可知，ABBC，A1BBC，根据二面角的平面角定义可知，ABA1 即为二面角ABCA1的平面角. 又ABAA1，且ABAA1，所以ABA1 45.4如图，棱柱ABCA1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1CA1B.证明：平面AB1C平面A1BC1.证明因为BCC1B1是菱形，所以B1CBC1，又B1CA1B，且BC1A1BB，所以B1C平面A1BC1，又B1C平面AB1C，所以平面AB1C平面A1BC1.