1、(时间：100分钟；满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知a(1,0,2)，b(6,21,2)，若ab，则与的值分别为()A.， B5,2C， D5，2解析：选A.ab，则存在mR，使得amb，又a(1,0,2)，b(6,21,2)，则有可得2已知A(1，2,11)，B(4,2,3)，C(6，1,4)三点，则ABC是()A直角三角形 B钝角三角形C锐角三角形 D等腰三角形解析：选A.(3,4，8)，(2，3,1)，(5，1,7)，10370.BCCA.ABC是直角三角形3已知在空间四边形OABC中，a，b，c，点M在OA上，且O
2、M2MA，N为BC中点，则等于()A.abcBabcC.abcD.abc解析：选B.因()bca.4已知a(1,0,1)，b(2，1,1)，c(3,1,0)，则|ab2c|等于()A3 B2C. D5解析：选A.|ab2c|，ab2c(1,0,1)(2，1,1)2(3,1,0)(9,3,0)，|ab2c|3.5给出下列命题：已知ab，则a(bc)c(ba)bc；A、B、M、N为空间四点，若、不能构成空间的一个基底，则A、B、M、N四点共面；已知ab，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；已知a，b，c是空间的一个基底，则基向量a，b可以与向量mac构成空间另一个基底其中正确命题的个数是(
3、)A1 B2C3 D4解析：选C.当ab时，ab0，a(bc)c(ba)abaccbcacbbc，故正确；当向量、不能构成空间的一个基底时，、共面，从而A、B、M、N四点共面，故正确；当ab时，a，b不共线，任意一个与a，b不共面的向量都可以与a，b构成空间的一个基底，故错误；当a，b，c是空间的一个基底时，a，b，c不共面，所以a，b，m也不共面，故a，b，m可构成空间的另一个基底，故正确6在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是()A.2B.C.0D.0解析：选C.空间的四点M、A、B、C共面只需满足xyz，且xyz1，或存在实数x，y使得xy.7在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k分
4、别是x轴、y轴、z轴的方向向量，设a为非零向量，且a，i45，a，j60，则a，k()A30 B45C60 D90解析：选C.如图所示，设|a|m(m0)，a，PA平面xOy，则在RtPBO中，|PB|cosa，im，在RtPCO中，|OC|cosa，j，|AB|，在RtPAB中，|PA|，|OD|，在RtPDO中，cosa，k，又0a，k180，a，k60.8已知点A(3,4,3)，O为坐标原点，则OA与坐标平面yOz所成角的正切值为()A. B.C. D1解析：选B.A点在面yOz上的射影为B(0,4,3)且|OB|5，所以OA与平面yOz所成角满足tan .9.如图所示，在正方体ABCD
5、A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中能作为平面AEF的法向量的是()A(1，2,4)B(4,1，2)C(2，2,1)D(1,2，2)解析：选B.设平面AEF的法向量为n(x，y，z)，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，则A(1,0,0)，E(1,1，)，F(，0,1)故(0,1，)，(，0,1)由即所以当z2时，n(4,1，2)，故选B.10正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1B1的大小为()A90 B60C120 D45解析：选C.如图，以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz，设正方体的边长为a，则A(a，a,
6、0)，B(a,0,0)，D1(0，a，a)，B1(a,0，a)，于是(0，a,0)，(a，a，a)，(0,0，a)设平面ABD1的法向量为n(x，y，z)，则n(x，y，z)(0，a,0)ay0，n(x，y，z)(a，a，a)axayaz0.a0，y0，xz.令xz1，则n(1,0,1)，同理，平面B1BD1的法向量m(1，1,0)由于cosn，m，而二面角ABD1B1为钝角，故为120.二、填空题(本大题共5小题，把答案填在题中横线上)11已知a(2，1,0)，b(k,0,1)，若a，b120，则k_.解析：cosa，b 0，k0，且k2.k.答案：12若a(2,3，1)，b(2,1,3)，
7、则以a，b为邻边的平行四边形的面积为_解析：cosa，b，得sina，b，由公式S|a|b|sina，b可得结果答案：613.如图，空间四边形OABC，点M，N分别为OA，BC的中点，且a，b，c，用a，b，c表示，则_.解析：()abc.答案：abc14点P是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1内一点，且满足，则点P到棱AB的距离为_解析：如图所示，过P作PQ平面ABCD于Q，过Q作QEAB于E，连接PE.，PQ，EQ，点P到棱AB的距离为PE.答案：15如图所示，在棱长为4的正方体ABCDA1B1C1D1中，点E是棱CC1的中点，则异面直线D1E与AC所成的角的余弦值是_解析：如图，建
8、立空间直角坐标系，则A(4,0,0)，C(0,4,0)，D1(0,0,4)，E(0,4,2)，(4,4,0)，(0,4，2)cos，.异面直线D1E与AC所成角的余弦值为.答案：三、解答题(本题共5小题，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，CM2MA，A1N2ND，且a，b，c，试用a，b，c表示向量.解：()()abc，abc.17在正方体ABCDA1B1C1D1中，P为DD1的中点，M为四边形ABCD的中心求证：对A1B1上任一点N，都有MNAP.证明：建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，P，M
9、，N(1，y,1)，.(1)010，即A1B1上任意一点N都有MNAP.18.如图所示，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD2，AB1，BMPD于点M.(1)求证：AMPD；(2)求直线CD与平面ACM所成角的余弦值解：(1)证明：PA平面ABCD，AB平面ABCD，PAAB.ABAD，ADPAA，AB平面PAD.PD平面PAD，ABPD，又BMPD，ABBMB，PD平面ABM.AM平面ABM，AMPD.(2)如图所示，以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0，2,0)AMPD
10、，PAAD，M为PD的中点，M的坐标为(0,1,1)(1,2,0)，(0,1,1)，(1,0,0)设平面ACM的一个法向量为n(x，y，z)，由n，n可得，令z1，得x2，y1.n(2，1,1)设直线CD与平面ACM所成的角为，则sin .cos ，即直线CD与平面ACM所成角的余弦值为.19.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD.(1)证明：PABD；(2)若PDAD，求二面角APBC的余弦值解：(1)证明：因为DAB60，AB2AD，由余弦定理得BDAD，从而BD2AD2AB2，故BDAD.又因为PD底面ABCD，可得BDPD.又因为
11、ADPDD，所以BD平面PAD，故PABD.(2)如图，以D为坐标原点，AD的长为单位长，射线DA为x轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz，则A(1,0,0)，B(0，0)，C(1，0)，P(0,0,1)，(1，0)，(0，1)，(1,0,0)设平面PAB的法向量为n(x，y，z)，则即因此可取n(，1，)设平面PBC的法向量为m，则可取m(0，1，)，m，n等于二面角APBC的平面角，cosm，n.故二面角APBC的余弦值为.20.如图，在四棱锥PABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PAPD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD，ABAD，AD2AB2BC2，O为AD中点(1)求证：PO
12、平面ABCD；(2)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；(3)求点A到平面PCD的距离解：(1)证明：如图所示，以O为坐标原点，、的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.则A(0，1,0)，B(1，1,0)，C(1,0，0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)所以(0,0,1)，(0,2,0)，0，所以，POAD，又侧面PAD底面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，PO平面PAD，所以PO平面ABCD.(2)(1,1,0)，(1，1，1)，所以cos，所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.(3)设平面PCD的法向量为n(x0，y0，z0)，(1,0,1)，(1,1,0)，由，得，即x0y0z0，取x01，得平面PCD的一个法向量为n(1,1,1)又(1,1,0)，从而点A到平面PCD的距离d.