1、专题（18）万有引力定律及应用考点一 1行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理. 2开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动3开普勒第三定律k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同故该定律只能用在同一中心天体的星体之间题型1对开普勒定律的理解【典例1】(多选)如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中()A从P到M所用的时间等于B从Q到N阶段，机械能逐渐变大C从P到Q阶段，速率逐渐变小D从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做
2、正功【答案】CD【解析】由开普勒第二定律可知，海王星在PM段的速度大小大于MQ段的速度大小，则P到M所用时间小于M到Q所用时间，所以P到M所用的时间小于，A错误；由机械能守恒定律知，从Q到N阶段，机械能守恒，B错误；从P到Q阶段，万有引力做负功，动能减小，速率逐渐变小，C正确；从M到N阶段，万有引力与速度的夹角先是钝角后是锐角，即万有引力对它先做负功后做正功，D正确题型2开普勒定律的应用【典例2】利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最
3、小值约为()A1 h B4 hC8 hD16 h【答案】B【解析】设地球半径为R，画出仅用三颗地球同步卫星使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯时同步卫星的最小轨道半径示意图，如图所示由图中几何关系可得，同步卫星的最小轨道半径r2R.设地球自转周期的最小值为T，则由开普勒第三定律可得，解得T4 h，选项B正确【变式1】牛顿在思考万有引力定律时就曾想，把物体从高山上水平抛出，速度一次比一次大，落点一次比一次远如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地球运动，成为人造地球卫星，如图所示是牛顿设想的一颗卫星，它沿椭圆轨道运动下列说法正确的是()A地球的球心与椭圆的中心重合B卫星在近地点的速率小于在
4、远地点的速率C卫星在远地点的加速度小于在近地点的加速度D卫星与椭圆中心的连线在相等的时间内扫过相等的面积【答案】C【解析】卫星围绕地球做椭圆运动，地心是椭圆轨道的一个焦点，选项A错误；根据开普勒第二定律，卫星与地心的连线在相等时间内扫过的面积相等，则卫星在近地点的速率大于在远地点的速率，选项B、D错误；由牛顿第二定律可知，ma，即卫星在近地点的加速度大于在远地点的加速度，选项C正确【变式2】(多选)行星绕太阳公转轨道是椭圆，海王星公转周期为T0，其近日点距太阳的距离为a，远日点距太阳的距离为b，半短轴的长度为c，如图所示若太阳的质量为M，万有引力常数为G，忽略其他行星对它的影响，则()A海王星
5、从BCD的过程中，速率逐渐变小B海王星从ABC的过程中，万有引力对它做负功C海王星从AB所用的时间等于D海王星在B点的加速度为【答案】BD【解析】海王星从BCD的过程中，万有引力对它先做负功再做正功，速率先变小再变大，选项A错误；海王星从ABC的过程中，万有引力对它做负功，选项B正确；海王星从AC的过程中所用的时间是T0，由于海王星从ABC的过程中，速率逐渐变小，从AB与从BC的路程相等，故海王星从AB所用的时间小于，选项C错误；设B到太阳的距离为r，则r2c2，由牛顿第二定律ma，故海王星在B点的加速度a，选项D正确考点二 天体质量和密度常用的计算方法使用方法已知量 利用 公式表达式备注质量
6、的计算利用运行天体r、TGmrM只能得到中心天体的质量r、vGmMv、TGmGmrM利用天体表面重力加速度g、RmgM密度的计算利用运行天体r、T、RGmrMR3当rR时利用近地卫星只需测出其运行周期利用天体表面重力加速度g、RmgMR3题型随地、绕地问题【典例3】2017年6月15日，我国在酒泉卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功将硬X射线调制望远镜卫星“慧眼”发射升空，卫星顺利进入预定轨道此次发射任务圆满成功，填补了我国空间X射线探测卫星的空白，实现了我国在空间高能天体物理领域由地面观测向天地联合观测的跨越已知“慧眼”卫星A做圆周运动的轨道半经约为地球半径的1.1倍，地球同步卫星B做圆周运
7、动的轨道半径约为地球半径的6.6倍，C为赤道上某建筑物，则()AA和B的线速度之比约为16BB和C的向心加速度之比约为16.6CA和C的角速度之比约为36DA和C的向心加速度之比约为237.61【答案】D【解析】根据v 可知，A和B的线速度之比约为vAvB 1，选项A错误；B和C的角速度相同，根据a2r可知B和C的向心加速度之比约为aBaC6.6RR6.61，根据a可知，aAaB6.621.12361，则aAaC237.61，选项B错误，D正确；根据可知，ACAB 61，选项C错误【典例4】“嫦娥三号”探月卫星在西昌卫星发射中心发射，首次实现月球软着陆已知月球绕地球做圆周运动的半径为r1、周期
8、为T1；“嫦娥三号”探月卫星绕月球做圆周运动的半径为r2、周期为T2.引力常量为G，不计周围其他天体的影响，下列说法正确的是()A根据题目条件能求出“嫦娥三号”探月卫星的质量B根据题目条件能求出地球的密度C根据题目条件能求出地球与月球之间的引力D根据题目条件可得出【答案】C【解析】做圆周运动的卫星的质量都被化简掉了，无法求解“嫦娥三号”探月卫星的质量，A错误；月球绕地球做圆周运动，有GM月2r1，可得M地，由于不知道地球的半径，无法求解地球的密度，B错误；利用绕月球做圆周运动的“嫦娥三号”卫星，可求月球的质量，借助万有引力公式FG可求地球与月球之间的引力，C正确；月球和“嫦娥三号”卫星的“中心
9、天体”不同，故，D错误【提 分 笔 记】计算天体质量和密度时应注意的问题(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力计算天体质量时，计算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量(2)区分中心天体半径R和环绕天体轨道半径r，只有在中心天体表面附近的环绕天体才有rR；计算天体密度时，VR3中的R是中心天体的半径(3)天体质量计算中常有隐含条件，如地球的自转周期为24 h，公转周期为365天等【变式3】(多选)近期天文学界有很多新发现，若某一新发现的星体质量为m、半径为R、自转周期为T，引力常量为G，下列说法正确的是()A如果该星体的自转周期T2，则该星体会解体C该星体表面的引力加速度为D如果有卫星靠近该星体表面做匀速圆周运动，则该卫星的速度大小为 【答案】AD【解析】如果在该星体“赤道”表面有一物体，质量为m，当它受到的万有引力大于跟随星体自转所需要的向心力时，即GmR时，有T2 ，此时，星体处于稳定状态不会解体，而当该星体的自转周期Tc，即2GMRc，解得：R2GMc22.93103 m，则该黑洞的最大半径为2.93103 m。