1、3.2直线的方程3.2.1直线的点斜式方程学 习 目 标核 心 素 养1.了解直线方程的点斜式的推导过程(难点)2掌握直线方程的点斜式并会应用(重点)3掌握直线方程的斜截式，了解截距的概念(重点、易错点)1.通过对直线的点斜式方程的学习，培养逻辑推理、数学运算的数学学科素养2通过斜截式的学习，提升数学建模和逻辑推理的数学学科素养1直线的点斜式方程和斜截式方程点斜式斜截式已知条件点P(x0，y0)和斜率k斜率k和直线在y轴上的截距b图示方程形式yy0k(xx0)ykxb适用条件斜率存在思考：直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所有直线呢？提示不能有斜率的直线才能写成点斜式方程，凡是垂直于x轴的直
2、线，其方程都不能用点斜式表示2直线在y轴上的截距定义：直线l与y轴交点(0，b)的纵坐标b符号：可正，可负，也可为零1直线l的点斜式方程是y23(x1)，则直线l的斜率是()A.2B1C3D3C由直线的点斜式方程可知直线l的斜率是3.2过点P(2，0)，斜率为3的直线的方程是()A.y3x2 By3x2C.y3(x2) Dy3(x2)D由直线的点斜式方程可知，该直线方程为y03(x2)，即y3(x2)，选D.3倾斜角为135，在y轴上的截距为1的直线方程是()A.yx1 Byx1C.yx1 Dyx1D由题意知，直线的斜率k1，又在y轴上截距为1，故直线方程为yx1，选D.4直线y3x4的斜率和
3、在y轴上的截距分别为_3，4根据斜截式可以知道，直线的斜率为3，在y轴上的截距为4.直线的点斜式方程【例1】(1)一条直线经过点(2，5)，倾斜角为45，则这条直线的点斜式方程为_(2)经过点(5，2)且平行于y轴的直线方程为_(3)求经过点(2，3)，倾斜角是直线yx倾斜角的2倍的直线的点斜式方程(1)y5x2(2)x5(1)因为倾斜角为45，所以斜率ktan 451，所以直线的点斜式方程为y5x2.(2)因为直线平行于y轴，所以直线不存在斜率，所以方程为x5.(3)解：因为直线yx的斜率为，所以倾斜角为30.所以所求直线的倾斜角为60，其斜率为.所以所求直线方程为y3(x2).求直线的点斜
4、式方程的步骤提醒：斜率不存在时，过点P(x0，y0)的直线与x轴垂直，直线上所有点的横坐标相等，都为x0，故直线方程为xx0.1已知点A(3，3)和直线l：yx.求：(1)过点A且与直线l平行的直线的点斜式方程；(2)过点A且与直线l垂直的直线的点斜式方程解因为直线l：yx，所以该直线的斜率k.(1)过点A(3，3)且与直线l平行的直线方程为y3(x3).(2)过点A(3，3)且与直线l垂直的直线方程为y3(x3).直线的斜截式方程【例2】求下列直线的斜截式方程：(1)斜率为4，在y轴上的截距为7；(2)在y轴上的截距为2，且与x轴平行；(3)倾斜角为150，与y轴的交点到原点的距离为3.解(
5、1)直线的斜率为k4，在y轴上的截距b7，由直线的斜截式方程知，所求直线方程为y4x7.(2)直线的斜率为k0，在y轴上的截距为b2，由直线的斜截式方程知，所求直线方程为y2.(3)直线的倾斜角为150，所以斜率为，因为直线与y轴的交点到原点的距离为3，所以在y轴上的截距b3或b3，故所求的直线方程为yx3或yx3.求直线的斜截式方程的策略(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要点斜式中的点在y轴上，就可以直接用斜截式表示(2)直线的斜截式方程ykxb中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b的值即可(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已
6、知斜率k，只需引入参数b；同理，如果已知截距b，只需引入参数k.2已知直线l的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程解设直线方程为yxb，则x0时，yb；y0时，x6b.由已知可得|b|6b|3，即6|b|26，b1.故所求直线方程为yx1或yx1.两直线平行与垂直的应用探究问题1已知l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，若l1l2，应满足什么条件？若l1l2，应满足什么条件？提示k1k2且b1b2；k1k21.2若两条直线的斜率均不存在，这两条直线位置关系如何？提示平行或重合【例3】(1)当a为何值时，直线l1：yx2a与直线l2：y(a22)x2平行？(2)当a为何值
7、时，直线l1：y(2a1)x3与直线l2：y4x3垂直？思路探究：解(1)由题意可知，kl11，kl2a22，l1l2，解得a1.故当a1时，直线l1：yx2a与直线l2：y(a22)x2平行(2)由题意可知，kl12a1，kl24，l1l2，4(2a1)1，解得a.故当a时，直线l1：y(2a1)x3与直线l2：y4x3垂直两条直线平行和垂直的判定若l1：yk1xb1，l2：yk2xb2（k1，k2都存在）(1)平行的判定：l1l2k1k2且b1b2.(2)垂直的判定：l1l2k1k21.3经过点(1，1)，且与直线y2x7平行的直线的斜截式方程为_y2x1由y2x7得k12，由两直线平行知
8、k22.所以所求直线方程为y12(x1)，即y2x1.4已知ABC的三个顶点分别是A(5，0)，B(3，3)，C(0，2)，则BC边上的高所在直线的斜截式方程为_yx3设BC边上的高为AD，则BCAD，所以kBCkAD1，所以kAD1，解得kAD.所以BC边上的高所在直线的方程是y0(x5).即yx3.1建立点斜式方程的依据是：直线上任一点与这条直线上一个定点的连线的斜率相同，故有k，此式是不含点P1(x1，y1)的两条反向射线的方程，必须化为yy1k(xx1)才是整条直线的方程当直线的斜率不存在时，不能用点斜式表示，此时方程为xx1.2斜截式方程可看作点斜式的特殊情况，表示过点(0，b)、斜
9、率为k的直线ybk(x0)，即ykxb，其特征是方程等号的一端只是一个y，其系数是1；等号的另一端是x的一次式，而不一定是x的一次函数(k0时).如yc是直线的斜截式方程，而2y3x4不是直线的斜截式方程1已知直线的方程是y2x1，则()A.直线经过点(1，2)，斜率为1B.直线经过点(2，1)，斜率为1C.直线经过点(1，2)，斜率为1D.直线经过点(2，1)，斜率为1C直线方程y2x1可化为y(2)x(1)，故直线经过点(1，2)，斜率为1.2过点(3，2)，倾斜角为60的直线方程为()A.y2(x3)By2(x3)C.y2(x3) Dy2(x3)C直线的斜率ktan 60，故其方程为y2(x3).选C.3如果方程为ykxb的直线经过二、三、四象限，那么有()A.k0，b0 Bk0，b0C.k0，b0 Dk0，b0D通过画出草图可以观察出，当直线ykxb经过二、三、四象限时，k0，b0，故选D.4已知直线l1过点P(2，1)且与直线l2：yx1垂直，则l1的点斜式方程为_y1(x2)直线l2的斜率k21，故l1的斜率为1，所以l1的点斜式方程为y1(x2).5直线l经过点P(3，4)，它的倾斜角是直线yx的倾斜角的2倍，求直线l的点斜式方程解直线yx的斜率k，则其倾斜角60，所以直线l的倾斜角为120.所以直线l的斜率为ktan 120.所以直线l的点斜式方程为y4(x3).