1、第7节 抛物线考试要求 1.了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；2.掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.知 识 梳 理 1.抛物线的定义(1)平面内与一个定点F和一条定直线l(Fl)的距离_的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的_.(2)其数学表达式：M|MF|d(d为点M到准线l的距离).相等准线2.抛物线的标准方程与几何性质 图形 标准 方程 y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离 性质顶点O(0，0)对称轴y0 x0焦点Fp2，0Fp2，0F0，p
2、2F0，p2离心率e1准线方程xp2xp2yp2yp2范围x0，yRx0，yRy0，xR y0，xR开口方向向右向左向上向下常用结论与微点提醒1.通径：过焦点且垂直于对称轴的弦长等于 2p，通径是过焦点最短的弦.2.抛物线 y22px(p0)上一点 P(x0，y0)到焦点 Fp2，0 的距离|PF|x0p2，也称为抛物线的焦半径.诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)平面内与一个定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)方程 yax2(a0)表示的曲线是焦点在 x 轴上的抛物线，且其焦点坐标是a4，0，准线方程是 xa4.()(3)抛物
3、线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()(4)若直线与抛物线只有一个交点，则直线与抛物线一定相切.()(5)过抛物线的焦点与抛物线对称轴垂直的直线被抛物线截得的线段叫做抛物线的通径，那么抛物线x22ay(a0)的通径长为2a.()解析(1)当定点在定直线上时，轨迹为过定点F与定直线l垂直的一条直线，而非抛物线.(2)方程 yax2(a0)可化为 x21ay，是焦点在 y 轴上的抛物线，且其焦点坐标是0，14a，准线方程是 y 14a.(3)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.(4)一条直线平行抛物线的对称轴，此时与抛物线只有一个交点，但不相切.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(老教材选修
4、21P72A1改编)顶点在原点，且过点P(2，3)的抛物线的标准方程是_.解析 设抛物线的标准方程是 y2kx 或 x2my，代入点 P(2，3)，解得 k92，m43，所以 y292x 或 x243y.答案 y292x 或 x243y3.(老教材选修21P67A3改编)抛物线y28x上到其焦点F距离为5的点的个数为_.答案 2 解析 设 P(x1，y1)，则|PF|x125，得 x13，y12 6.故满足条件的点的个数为 2.4.(2019全国卷)若抛物线 y22px(p0)的焦点是椭圆x23py2p1 的一个焦点，则 p()A.2B.3C.4D.8 解析 由题意知，抛物线的焦点坐标为p2，
5、0，椭圆的焦点坐标为 2p，0，所以p2 2p，解得 p0(舍去)或 p8.答案 D 5.(2020河南中原名校联考)已知F是抛物线y2x的焦点，A，B是抛物线上的两点，且|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()答案 C A.34B.1 C.54D.74解析 如图所示，设抛物线的准线为 l，AB 的中点为 M，作AA1l 于点 A1，BB1l 于点 B1，MM1l 于点 M1，由抛物线的方程知 p12，由抛物线定义知|AA1|BB1|AF|BF|3，所以点 M 到 y 轴的距离为|MM1|p212(|AA1|BB1|)p21231454，故选 C.6.(2019昆明诊断)已知抛物线
6、方程为y28x，若过点Q(2，0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是_.解析 由题意知，直线l的斜率存在，设直线l的方程为yk(x2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2(4k28)x4k20，当k0时，显然满足题意；当k0时，(4k28)24k24k264(1k2)0，解得1k0或0k1，因此k的取值范围是1，1.答案 1，1 考点一 抛物线的定义、标准方程及其性质【例1】(1)已知抛物线C与双曲线x2y21有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是()A.y22 2xB.y22xC.y24xD.y24 2x(2)(2020福州联考)设抛物线 y24x 的焦点为 F，
7、准线为 l，P 为该抛物线上一点，PAl，A 为垂足，若直线 AF 的斜率为 3，则PAF 的面积为()A.2 3B.4 3C.8 D.8 3(3)动圆过点(1，0)，且与直线x1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为_.解析(1)由已知可知双曲线的焦点为(2，0)，(2，0).设抛物线方程为 y22px(p0)，则p2 2，所以 p2 2，所以抛物线方程为 y24 2x.故选 D.(2)设准线与 x 轴交于点 Q，因为直线 AF 的斜率为 3，|FQ|2，所以AFQ60，|FA|4，又因为|PA|PF|，PAF60，所以PAF 是边长为 4 的等边三角形，所以PAF 的面积为 34|FA|2 34
8、424 3.故选 B.(3)设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y24x.答案(1)D(2)B(3)y24x 规律方法 1.应用抛物线定义的两个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化.(2)抛物线焦点到准线的距离为p.2.求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.3.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及
9、焦点、顶点、准线的问题更是如此.【训练1】(1)设抛物线y22px的焦点在直线2x3y80上，则该抛物线的准线方程为()A.x4 B.x3 C.x2 D.x1(2)(2020佛山模拟)已知抛物线 x22py(p0)的焦点为 F，准线为 l，点 P(4，y0)在抛物线上，K 为 l 与 y 轴的交点，且|PK|2|PF|，则 y0_.解析(1)直线2x3y80与x轴的交点为(4，0)，抛物线y22px的焦点为(4，0)，准线方程为x4.(2)作 PMl，垂足为 M，由抛物线定义知|PM|PF|，又知|PK|2|PF|，在直角三角形 PKM 中，sinPKM|PM|PK|PF|PK|22，PKM4
10、5，PMK 为等腰直角三角形，|PM|MK|4，又知点 P 在抛物线 x22py(p0)上，py08，y0p24，解得p4，y02.答案(1)A(2)2考点二 与抛物线有关的最值问题 多维探究 角度1 到焦点与定点距离之和(差)最值问题【例21】点P为抛物线y24x上的动点，点A(2，1)为平面内定点，F为抛物线焦点，则：(1)|PA|PF|的最小值为_；(2)(多填题)|PA|PF|的最小值为_，最大值为_.解析(1)如图1，由抛物线定义可知，|PF|PH|，|PA|PF|PA|PH|，从而最小值为A到准线的距离为3.(2)如图 2，当 P，A，F 三点共线，且 P 在 FA 延长线上时，|
11、PA|PF|有最小值为|AF|2.当 P，A，F 三点共线，且 P 在 AF 延长线上时，|PA|PF|有最大值为|AF|2.故|PA|PF|最小值为 2，最大值为 2.答案(1)3(2)2 2规律方法 1.解决到焦点与定点距离之和最小问题，先将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，再结合图形解决问题.2.到两定点距离之差的最值问题，当且仅当三点共线时取最值.角度2 到点与准线的距离之和最值问题【例22】设P是抛物线y24x上的一个动点，则点P到点A(1，1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为_.解析 如图，易知抛物线的焦点为 F(1，0)，准线是 x1，由抛物线的定义知点 P
12、到直线 x1 的距离等于点 P 到 F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点 P，使点 P 到点 A(1，1)的距离与点 P 到 F(1，0)的距离之和最小，显然，连接 AF 与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为 1（1）2（01）2 5.答案 5规律方法 解决到点与准线的距离之和最值问题，先将抛物线上的点到准线的距离转化为到焦点的距离，再构造出“两点之间线段最短”，使问题得解.角度3 动弦中点到坐标轴距离最短问题【例23】已知抛物线x24y上有一条长为6的动弦AB，则AB的中点到x轴的最短距离为()A.34B.32C.1D.2解析 由题意知，抛物线的准线 l：y1，过点 A 作
13、AA1l 交 l 于点 A1，过点 B作 BB1l 交 l 于点 B1，设弦 AB 的中点为 M，过点 M 作 MM1l 交 l 于点 M1，则|MM1|AA1|BB1|2.因为|AB|AF|BF|(F 为抛物线的焦点)，即|AF|BF|6，所以|AA1|BB1|6，2|MM1|6，|MM1|3，故点 M 到 x 轴的距离 d2，故选 D.答案 D 规律方法 解决动弦中点到坐标轴距离最短问题 将定长线段的中点到准线的距离转化为线段端点到准线距离之和的一半，再根据三角形中两边之和大于第三边得出不等式求解.角度4 焦点弦中距离之和最小问题【例24】已知抛物线y24x，过焦点F的直线与抛物线交于A，
14、B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|BD|的最小值为_.解析 由题意知F(1，0)，|AC|BD|AF|FB|2|AB|2，即|AC|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值.依抛物线定义知，当|AB|为通径，即|AB|2p4时为最小值，所以|AC|BD|的最小值为2.答案 2 规律方法 过抛物线的焦点且与抛物线的对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，通径是抛物线所有过焦点的弦中最短的，若能将问题转化为与通径有关的问题，则可以用通径最短求最值.角度5 到定直线的距离最小问题【例25】(一题多解)抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是_.解析 法一 如图，设与
15、直线 4x3y80 平行且与抛物线 yx2 相切的直线为 4x3yb0，切线方程与抛物线方程联立得yx2，4x3yb0消去 y 整理得 3x24xb0，则 1612b0，解得 b43，故切线方程为 4x3y430，抛物线 yx2上的点到直线 4x3y80 距离的最小值是这两条平行线间的距离 d843543.法二 对 yx2，有 y2x，如图，设与直线 4x3y80 平行且与抛物线 yx2相切的直线与抛物线的切点是 T(m，m2)，则切线斜率 ky|xm2m43，所以 m23，即切点 T23，49，点 T 到直线 4x3y80 的距离 d83438169 43，由图知抛物线 yx2上的点到直线
16、4x3y80 距离的最小值是43.答案 43规律方法 抛物线上的动点到定直线的距离，可以转化为平行线间的距离，也可以利用单变量设点利用函数思想求最值.【训练2】(1)若在抛物线y24x上存在一点P，使其到焦点F的距离与到A(2，1)的距离之和最小，则该点的坐标为()A.14，1B.14，1C.(2，2 2)D.(2，2 2)(2)已知 P 为抛物线 y24x 上一个动点，Q 为圆 C：x2(y4)21 上一个动点，那么点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线准线的距离之和的最小值是_.解析(1)如图，y24x，p2，焦点坐标为(1，0).依题意可知当 A，P 及 P到准线的垂足三点共线时，点
17、 P 与点 F、点 P 与点 A 的距离之和最小，故点 P 的纵坐标为 1.将 y1 代入抛物线方程求得 x14，则点 P 的坐标为14，1.故选 A.(2)由题意知，圆 C：x2(y4)21 的圆心为 C(0，4)，半径为 1，抛物线的焦点为F(1，0).根据抛物线的定义，点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线准线的距离之和即点 P 到点 Q 的距离与点 P 到抛物线焦点的距离之和，因此|PQ|PF|PC|PF|1|CF|1 171.答案(1)A(2)171考点三 直线与抛物线的综合问题【例 3】(2019全国卷)已知抛物线 C：y23x 的焦点为 F，斜率为32的直线 l 与 C的交点
18、为 A，B，与 x 轴的交点为 P.(1)若|AF|BF|4，求直线 l 的方程；(2)若AP3PB，求|AB|.解 设直线 l 的方程为：y32xt，A(x1，y1)，B(x2，y2).(1)由题设得 F34，0，故|AF|BF|x1x232.又|AF|BF|4，所以 x1x252.由y32xt，y23x可得 9x212(t1)x4t20，其中 144(12t)0，则 x1x212（t1）9.从而12（t1）952，得 t78(满足 0).所以 l 的方程为 y32x78.(2)由AP3PB可得 y13y2.由y32xt，y23x可得 y22y2t0，其中 48t0，所以 y1y22，从而3
19、y2y22，故 y21，y13.代入 C 的方程得 x13，x213.所以 A(3，3)，B13，1，故|AB|4 133.规律方法 1.直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.2.有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|x1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.3.涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒 涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.【训练3】如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1，2)，
20、A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上.(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1y2的值及直线AB的斜率.解(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y22px(p0).点P(1，2)在抛物线上，222p1，解得p2.故所求抛物线的方程是y24x，准线方程是x1.(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，则 kPAy12x11(x11)，kPBy22x21(x21)，PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补，kPAkPB.由 A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得 y214x1，y224x2，y1214y211 y221
21、4y221，y12(y22).y1y24.由得，y21y224(x1x2)，kABy1y2x1x24y1y21(x1x2).数学抽象活用抛物线焦点弦的四个结论 1.数学抽象素养水平表现为能够在得到的数学结论的基础上形成新命题，能够针对具体的问题运用数学方法解决问题.本课时抛物线的焦点弦问题的四个常用结论即为具体表现之一.2.设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2p24.(2)y1y2p2.(3)|AB|x1x2p 2psin2(是直线 AB 的倾斜角).(4)1|AF|1|BF|2p为定值(F 是抛物线的焦点).【例1】过抛物线y2
22、4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|2|BF|，则|AB|等于()A.4 B.92C.5 D.6一般解法易知直线 l 的斜率存在，设为 k，则其方程为 yk(x1).由yk（x1），y24x得 k2x2(2k24)xk20，得 xAxB1，因为|AF|2|BF|，由抛物线的定义得 xA12(xB1)，即 xA2xB1，由解得 xA2，xB12，所以|AB|AF|BF|xAxBp92.应用结论法一 由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BEAD于E，设|BF|m，直线l的倾斜角为，则|AB|3m，由抛物线的定义知|AD|AF|2m，|BC|B
23、F|m，所以 cos|AE|AB|13，所以 tan 2 2.则 sin28cos2，sin289.又 y24x，知 2p4，故利用弦长公式|AB|2psin292.答案 B 法二 因为|AF|2|BF|，所以 1|AF|1|BF|12|BF|1|BF|32|BF|2p1，解得|BF|32，|AF|3，故|AB|AF|BF|92.【例2】设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A.3 34B.9 38C.6332D.94一般解法由已知得焦点坐标为 F34，0，因此直线 AB 的方程为 y 33 x34，即4x4 3y30.与抛
24、物线方程联立，化简得 4y212 3y90，故|yAyB|（yAyB）24yAyB6.因此 SOAB12|OF|yAyB|1234694.答案 D 应用结论由 2p3，及|AB|2psin2得|AB|2psin23sin23012.原点到直线 AB 的距离 d|OF|sin 3038，故 SAOB12|AB|d12123894.【例3】如图，过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|4，则线段AB的长为()A.5B.6C.163D.203一般解法如图，设l与x轴交于点M，过点A作ADl交l于点D，由抛物线的定义知，|AD|AF|4
25、，由F是AC的中点，知|AD|2|MF|2p，所以2p4，解得p2，所以抛物线的方程为y24x.设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1p2x114，所以 x13，可得 y12 3，所以 A(3，2 3)，又 F(1，0)，所以直线 AF 的斜率 k 2 331 3，所以直线 AF 的方程为 y 3(x1)，代入抛物线方程 y24x 得 3x210 x30，所以 x1x2103，|AB|x1x2p163.故选 C.答案 C 应用结论法一 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|x1p2x114，所以 x13，又 x1x2p24 1，所以 x213，所以|AB|x1x2p3132163.法二 因为 1|AF|1|BF|2p，|AF|4，所以|BF|43，所以|AB|AF|BF|443163.