1、专题（15）曲线运动 运动的合成与分解考点一 1条件物体受到的合外力方向与速度方向始终不共线2特征(1)运动学特征：做曲线运动的物体的速度方向时刻发生变化，即曲线运动一定为变速运动(2)动力学特征：做曲线运动的物体所受合外力一定不为零且和速度方向始终不在同一条直线上(做曲线运动的条件)合外力在垂直于速度方向上的分力改变物体速度的方向，合外力在沿速度方向上的分力改变物体速度的大小(3)轨迹特征：曲线运动的轨迹始终夹在合外力的方向与速度的方向之间，而且向合外力的一侧弯曲题型1合力方向与速率变化的关系【典例1】如图所示，这是物体做匀变速曲线运动的轨迹的示意图已知物体在B点的加速度方向与速度方向垂直，
2、则下列说法中正确的是()AC点的速率小于B点的速率BA点的加速度比C点的加速度大CC点的速率大于B点的速率D从A点到C点加速度与速度的夹角先增大后减小，速率是先减小后增大【答案】C【解析】质点做匀变速曲线运动，则加速度大小和方向不变，所以质点经过C点时的加速度与A点的相同，故B错误；质点从A点运动到C点，在B点时速度方向与加速度方向恰好互相垂直，则有A点速度与加速度方向夹角大于90，C点的加速度方向与速度方向夹角小于90，故D错误；从B点运动到C点过程中加速度方向与速度方向夹角小于90，物体速率增大，所以C点速率比B点速率大，故A错误，C正确【提 分 笔 记】合力方向与速率变化的关系(1)当合
3、力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大(2)当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小(3)当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变题型2合力、速率、轨迹的互判【典例2】如图所示，一圆盘可绕一通过圆心且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一块橡皮，橡皮块随圆盘一起转动(俯视为逆时针转动)某段时间圆盘转速不断增大，但橡皮块仍相对圆盘静止，在这段时间内，关于橡皮块所受合力F的方向的四种表示(俯视图)中，正确的是()【答案】C【解析】因为做曲线运动的物体所受的合力要指向轨迹凹侧，故A、D错误；圆盘转速不断增大，且橡皮块仍相对圆盘静止，故橡皮块所受的合力其分力一是指向圆心充当向心力，二
4、是与运动的方向相同，故B错误，C正确【提 分 笔 记】曲线上某点处合外力的方向在曲线上该点的切线的哪一侧，曲线就向哪一侧弯曲；曲线上某点的加速度越大、速度越小，则曲线轨迹弯曲越厉害；曲线轨迹必定夹在a、v方向之间【变式1】羽毛球运动是我国的传统优势体育项目，屡屡在历届奥运会上争金夺银如图所示，在某次室内比赛中羽毛球正在往右上方飞行，虚线为其飞行轨迹，则此时羽毛球受到的合力可能是图中的()AF1BF2CF3DF4【答案】B【解析】曲线运动中合力应指向轨迹的“凹”侧，故C、D项错误；又羽毛球向右上方飞行，速度在减小，所以羽毛球所受合力与速度的夹角大于90，故F2的方向最合理，B正确【变式2】在水平
5、桌面上放置一张白纸，画有如图所示的平面直角坐标系，一个涂有颜料的小球以速度v从原点O出发，沿y轴负方向做匀速直线运动(不计纸与球间的摩擦)，同时，对小球施加一沿x轴正方向的恒力作用经过一段时间，在纸面上留下的痕迹为下图中的() 【答案】B【解析】做曲线运动的物体，速度方向沿轨迹的切线方向，小球初速度沿y轴负方向，故在O点处小球在纸面上留下的痕迹应与y轴相切且沿y轴负方向运动，白纸沿x轴负方向做匀加速直线运动，故小球相对白纸沿x轴正方向做匀加速直线运动，加速度沿x轴正方向，小球所受合外力沿x轴正方向，轨迹应夹在合外力的方向和速度的方向之间，且向合外力的一侧弯曲，选项B正确，选项A、C、D错误考点
6、二 1分析运动的合成与分解问题时，一般情况下按运动效果进行分解2要注意分析物体在两个方向上的受力及运动规律，分别在两个方向上列式求解3两个方向上的分运动具有等时性，这常是处理运动分解问题的关键点题型1运动的合成【典例3】(多选)质量为2 kg的质点在xOy平面上做曲线运动，在x方向的速度图象和y方向的位移图象如图所示，下列说法正确的是()A质点的初速度大小为5 m/sB质点所受的合外力大小为3 N，做匀变速曲线运动C2 s末质点速度大小为6 m/sD2 s内质点的位移大小约为12 m【答案】ABD【解析】由x方向的速度图象可知，质点在x方向的初速度大小为v03 m/s，加速度大小为1.5 m/
7、s2，则质点在x方向受力Fxma3 N由y方向的位移图象可知质点在y方向做匀速直线运动，速度大小为vy4 m/s，受力Fy0.因此质点的初速度大小为5 m/s，受到的合外力大小为3 N，显然，质点初速度方向与合外力方向不在同一条直线上，A、B选项正确；2 s末质点速度大小应该为v m/s2 m/s，C选项错误；2 s内水平方向上位移大小xv0tat29 m，竖直方向上位移大小y8 m，合位移大小l m12 m，D选项正确【提 分 笔 记】(1)先确定两个分运动，再确定合运动(2)一定看清图象中横、纵坐标表示的物理量，由图知x方向为匀加速直线运动，y方向为匀速直线运动题型2运动的分解【典例4】如
8、图所示，长L0.5 m的直杆一端可绕固定轴O无摩擦转动，另一端靠在物块B上，B的表面光滑，当B在图示位置被锁定时37，现解除锁定，控制物块B由静止开始水平向左做a0.2 m/s2的匀加速直线运动，则在t1 s时，直杆端点A的线速度为()A. m/s B. m/s C. m/s D. m/s【答案】C【解析】物块B由静止开始水平向左做a0.2 m/s2的匀加速直线运动，则在t1 s时，B的速度大小vat0.21 m/s0.2 m/s，运动的位移为sat20.1 m，由数学知识可知53.如图将A点的速度分解：接触点A的实际运动，即合运动为在A点垂直于杆的方向的运动，该运动由水平向左的分运动和竖直向
9、下的分速度组成，所以vA，那么直杆端点A的线速度为vA m/s m/s，故C项正确，A、B、D三项错误【变式3】(多选)为了研究空气动力学问题，如图所示，某人将质量为m的小球从距地面高h处以一定初速度水平抛出，在距抛出点水平距离L处，有一根管口比小球直径略大的竖直细管，上管口距地面的高度为.小球在水平方向上受恒定风力作用，且小球恰能无碰撞地通过管子，则下列说法正确的是()A小球的初速度大小为LB风力的大小为C小球落地时的速度大小为2D小球落地时的速度大小为【答案】BD【解析】小球在竖直方向上做自由落体运动，故从抛出点到上管口的运动过程中，有gt2，小球在水平方向上做匀减速运动，因恰能无碰撞地通
10、过管子，故小球到管口时水平速度刚好减为零，设小球的初速度为v0，有Lt，联立以上两式解得v02L，故A错误；设风力大小为F，根据牛顿第二定律有，小球在水平方向上的加速度大小a，依题设有0v2aL，即0v2L，将初速度v02L代入得F，故B正确；小球到达上管口时，水平速度减为零，进入管中后其不再受风力作用，只有竖直方向的运动，从抛出到落地全程，小球在竖直方向上做自由落体运动，所以有v22gh，则小球落地时的速度大小为v，故D正确，C错误考向三 1船的实际运动：是船不开，随水漂移的运动(即水流的运动)和船相对静水的运动的合运动2三种速度：船在静水中的速度v船、水的流速v水、船的实际速度v.3两类问
11、题、三种情景渡河时间最短当船头方向垂直河岸时，渡河时间最短，最短时间tmin渡河位移最短如果v船v水，当船头方向与上游河岸夹角满足v船cos v水时，合速度垂直河岸，渡河位移最短，等于河宽d如果v船v1，下面用小箭头表示船头的指向，则能正确反映小船在最短时间内渡河、以最短位移渡河的情景如图所示，依次是()A BCD【答案】C【解析】船头始终垂直于河岸，就能以最短时间渡河，但船的实际航线要偏向下游，为最短时间内渡河的情景图；小船以最短位移渡河，船头偏向上游，船的实际航线垂直于河岸，为以最短位移渡河的情景图，故选项C正确【提 分 笔 记】求过河的最短时间时，一般用分运动求解，当过河时间最短时，过河
12、位移一般不是最小；当过河的位移最小时，一般用合运动求时间，最小位移要分船在静水中的速度大于水速和小于水速两种情况讨论，过河位移最小时，过河时间一般不是最短【变式4】(多选)一小船在匀速流动的河水中以船身始终垂直于河岸方向过河，已知河宽d64 m，河水的流速大小为3 m/s，小船初速度为0，过河过程中小船先以1 m/s2的加速度匀加速运动，到达两河岸垂直连线的中点后再以1 m/s2的加速度匀减速运动，则()A小船过河的平均速度大小为4 m/sB小船过河过程中垂直河岸的最大速度为8 m/sC小船过河的时间为16 sD小船到达河对岸时的位移大小为112 m【答案】BC【解析】设小船到达两河岸垂直连线
13、的中点所用时间为t，在垂直河岸方向上，有d2at2，其中d64 m，a1 m/s2，解得t8 s，则小船的渡河时间为T2t16 s，垂直河岸的最大速度vmaxat8 m/s，选项B、C正确；小船过河的过程中，沿河岸方向的位移xv水2t48 m，实际位移s80 m，选项D错误；小船过河的平均速度5 m/s，选项A错误【变式5】(多选)小河宽80 m，河中各点水流速度与各点到最近河岸边的距离关系为v水kx(k0.1 s1)一小船以4 m/s 速度垂直河岸渡河，则下列说法中正确的是()A小船渡河时的轨迹为直线B小船渡河时的轨迹为曲线C小船到达距河对岸20 m处，船的渡河速度为4 m/sD小船到达距河
14、对岸50 m处，船的渡河速度为5 m/s【答案】BD【解析】由题意知，水流速度先增加后减小，故小船渡河时的轨迹为曲线，选项A错误，B正确；水流速度满足v水0.1x(0x40 m)，则小船到达距河岸对岸20 m处时，v水2 m/s，则船的渡河速度v m/s2 m/s，选项C错误；小船到达距河岸对岸50 m处，x(8050) m30 m，v水3 m/s，则船的渡河速度v m/s5 m/s，选项D正确考点四 1“关联速度”特点用绳、杆相牵连的物体，在运动过程中，其两物体的速度通常不同，但物体沿绳或杆方向的速度分量大小相等2思路与原则(1)思路明确合运动物体的实际运动速度v明确分运动其一：沿绳或杆的速
15、度v1其二：与绳或杆垂直的分速度v2(2)原则：v1与v2的合成遵循平行四边形定则3解题方法把物体的实际速度分解为垂直于绳(杆)和平行于绳(杆)两个分量，根据沿绳(杆)方向的分速度大小相等求解常见的模型如图所示题型1绳端速度分解【典例6】质量为m的物体P置于倾角为1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角2时(如图)，下列判断正确的是()AP的速率为vBP的速率为vcos 2C绳的拉力等于mgsin 1D绳的拉力小于mgsin 1【答案】B【解析】将小车速度沿绳子和垂直绳子方向分
16、解为v1、v2，P的速率等于v1vcos 2，A错误，B正确；小车向右做匀速直线运动，2减小，P的速率增大，绳的拉力大于mgsin 1，C、D错误题型2杆端速度分解模型【典例7】如图所示，AB杆以恒定角速度绕A点转动，并带动套在光滑水平杆OC上的质量为M的小环运动，运动开始时，AB杆在竖直位置，则小环M的速度将()A逐渐增大 B先减小后增大C先增大后减小 D逐渐减小【答案】A【解析】设经过时间t，OABt，则AM的长度为，则AB杆上小环M绕A点运动的线速度v.将小环M的速度沿AB杆方向和垂直于AB杆方向分解，垂直于AB杆方向的分速度大小等于小环M绕A点运动的线速度v，则小环M的速度v，小环的速
17、度将不断变大，故A正确，B、C、D错误【提 分 笔 记】关联速度因绳、杆的长度不能改变，则任意时刻沿绳、杆方向上的分速度大小必然相等，任意时刻沿绳、杆方向上的加速度分量大小也相等把物体的实际速度分解为垂直于绳(或杆)和平行于绳(或杆)的两个分量，沿绳(或杆)方向的分速度大小相等【变式6】(多选)如图所示，一段绳子跨过距地面高度为H的两个定滑轮(忽略轮的大小)，一端连接小车P，另一端连接物块Q.小车最初在左边滑轮的下方A点，初始时刻以速度v从A点匀速向左运动，运动了距离H到达B点下列说法正确的有()A物块匀加速上升B物块在上升过程中处于超重状态C小车过B点时，物块的速度为 vD小车过B点时，左边
18、绳子绕定滑轮转动的角速度为 【答案】BD【解析】将小车的运动分解为沿绳子方向的运动和垂直绳子方向的运动，如图所示小车以速度v向左匀速运动，当绳与水平方向的夹角为时，由图可得小车沿绳方向的分速度vvcos ，则物块Q的速度vQvcos ，故物块的运动不是匀加速运动，A错误；小车向左运动过程中减小，cos 增大，则vQ增大，加速度向上，故Q处于超重状态，B正确；当小车运动到B点时，45，物块Q的速度为vvcos 45v，小车在垂直绳方向的速度为vvsin 45v，此时左侧绳子长度为H，左边绳子绕定滑轮转动的角速度为，C错误，D正确【变式7】在光滑水平面内，建立如图所示直角坐标系xOy，长为L的光滑
19、细杆AB的两端点分别约束在x轴和y轴上运动，现让A端沿x轴正向以速度v0匀速运动B端的速度大小为()AvBv0sin BvBv0cos CvBv0tan DvB【答案】D【解析】解法一(微元法)：如图甲所示，取时间微元t，杆的位置由ABAB，作BBAB，AAAB，AB转过的角度很小，故可认为ABAB，且AB与x轴夹角近似等于，xcos ysin ，等式两边同除以时间t并使t0，即得vB，故D正确解法二(速度分解法)：如图乙所示，将A、B端的瞬时速度沿杆的方向和垂直杆的方向正交分解，因杆不可伸缩，故A、B两端沿杆方向的分速度必相等，即v0cos vBsin ，vB，D正确【变式8】如图甲、乙所示
20、，一根长L的轻杆OA，O端用铰链固定于地面，另一端固定着一小球A，图甲中的小球A和图乙中的杆分别贴靠着边长为a和b的立方块，当立方块沿地面向右滑动到图示位置(杆与地面夹角为)时，速度为v，则甲图中小球的速度大小vA和乙图中小球的速度大小vA应为()AvA，vAvsin BvA，vAvsin CvAvsin ，vA DvA，vAsin2【答案】D【解析】图甲中，杆绕O转动，球A的速度vA垂直于杆，将速度vA沿水平和竖直两方向正交分解，则垂直于接触面的水平分速度与立方块的速度相等，如图(a)所示，得vAsin v，故vA，故B、C错误；图乙中，杆绕O转动，杆顶端小球的速度vA和杆与立方块接触点的速度v1的方向都垂直于杆，杆上各点的角速度相同，则有.将立方块的速度v沿杆的方向和垂直杆的方向正交分解，如图(b)所示，则杆与立方块接触点的速度v1应与立方块垂直杆的方向的分速度相等，即v1vsin ，联立以上两式得vAsin2，故A错误，D正确