1、第1节 变化率与导数、导数的计算考试要求 1.了解导数概念的实际背景；2.通过函数图象直观理解导数的几何意义；3.能根据导数的定义求函数 yc(c 为常数)，yx，y1x，yx2，yx3，y x的导数；4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如 yf(axb)的复合函数)的导数.知 识 梳 理 1.函数yf(x)在xx0处的导数(1)定义：称函数 yf(x)在 xx0 处的瞬时变化率 f（x0 x）f（x0）x yx为函数 yf(x)在 xx0 处的导数，记作 f(x0)或 y|x x0，即 f(x0)yx_.f（x0 x）f（x0）x2
2、.函数yf(x)的导函数(2)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的_.相应地，切线方程为_.如果函数 yf(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，当 xx0 时，f(x0)是一个确定的数，当 x 变化时，f(x)便是 x 的一个函数，称它为 f(x)的导函数(简称导数)，yf(x)的导函数有时也记作 y，即 f(x)y f（xx）f（x）x.斜率yy0f(x0)(xx0)3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)c(c为常数)f(x)_ f(x)x(Q*)f(x)_ f(x)sin x f(x)_ f
3、(x)cos x f(x)_ f(x)ex f(x)_ f(x)ax(a0，a1)f(x)_ f(x)ln x f(x)_ f(x)logax(a0，a1)f(x)_ 0 x1cos xsin xexaxln a1x1xln a4.导数的运算法则 若 f(x)，g(x)存在，则有：(1)f(x)g(x)_；(2)f(x)g(x)_；(3)f（x）g（x）_(g(x)0).f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)f（x）g（x）f（x）g（x）g（x）25.复合函数的导数 复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux.常用结论与微点提醒 1.f(x
4、0)代表函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，且(f(x0)0.2.1f（x）f（x）f（x）2(f(x)0).3.曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点.4.函数yf(x)的导数f(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”.诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)f(x0)是函数yf(x)在xx0附近的平均变化率.()(2)函数f(x)sin(x)的导数f(x)cos x.()(3)求f(x
5、0)时，可先求f(x0)，再求f(x0).()(4)曲线yf(x)在某点处的切线与曲线yf(x)过某点的切线意义是相同的.()解析(1)f(x0)表示yf(x)在xx0处的瞬时变化率，(1)错.(2)f(x)sin(x)sin x，则f(x)cos x，(2)错.(3)求f(x0)时，应先求f(x)，再代入求值，(3)错.(4)“在某点”的切线是指以该点为切点的切线，因此此点横坐标处的导数值为切线的斜率；而对于“过某点”的切线，则该点不一定是切点，要利用解方程组的思想求切线的方程，曲线上某点处的切线只有一条，但过某点的切线可以不止一条，(4)错.答案(1)(2)(3)(4)A.2xy10B.x
6、2y20 C.2xy10D.x2y20 2.(老教材选修 22P19B2 改编)已知函数 f(x)xx2，则函数在 x1 处的切线方程是()解析 由 f(x)xx2，得 f(x)2（x2）2，又 f(1)1，f(1)2.因此函数在 x1 处的切线方程为 y12(x1)，即 2xy10.答案 A 3.(老教材选修22P3问题2改编)在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)4.9t26.5t10，则运动员的速度v_ m/s，加速度a_ m/s2.解析 vh(t)9.8t6.5，av(t)9.8.答案 9.8t6.5 9.8 4.(2019全国卷)曲线y2sin xco
7、s x在点(，1)处的切线方程为()A.xy10B.2xy210 C.2xy210D.xy10 解析 设yf(x)2sin xcos x，则f(x)2cos xsin x，曲线在点(，1)处的切线斜率kf()2，故切线方程为y12(x)，即2xy210.答案 C 5.(2019新乡模拟)设f(x)ln(32x)cos 2x，则f(0)_.解析 f(x)232x2sin 2x，所以 f(0)23.答案 236.(2019全国卷)曲线y3(x2x)ex在点(0，0)处的切线方程为_.解析 y3(2x1)ex3(x2x)ex3ex(x23x1)，所以曲线在点(0，0)处的切线的斜率ke033，所以所
8、求切线方程为y3x.答案 y3x 考点一 导数的运算 多维探究 角度1 根据求导法则求函数的导数【例11】求下列函数的导数：(1)f(x)x2xex；(2)f(x)x32xx2ln x1x2；(3)yxsin2x2 cos2x2.解(1)f(x)（2x1）ex（x2x）ex（ex）21xx2ex.(2)由已知 f(x)xln x2x1x2.f(x)11x2x22x3x3x22x2x3.(3)yxsin 2x2 cos 2x2 12xsin(4x)12xsin 4x，y12sin 4x12x4cos 4x12sin 4x2xcos 4x.角度2 抽象函数的导数【例12】已知函数f(x)的导函数为
9、f(x)，且满足关系式f(x)x23xf(2)ln x，则f(1)_.解析 因为f(x)x23xf(2)ln x，f(x)2x3f(2)1x.令 x2，得 f(2)43f(2)12，则 f(2)94.f(1)13194 0234.答案 234规律方法 1.求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导.2.抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解.3.复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元.【训练 1】(1)(角度 1)已知 f(x)ln 2x12x1，则 f(x)_.(2)(角度 2)(2020雅礼中学月考)已知函数 f(x)的导函数是
10、 f(x)，且满足 f(x)2xf(1)ln 1x，则 f(1)()A.e B.2 C.2 D.e(3)(角度 1)(2020天津重点学校联考)已知函数 f(x)(x2a)ln x，f(x)是函数 f(x)的导函数，若 f(1)2，则 a_.解析(1)f(x)ln 2x12x1 12x12x12x12x1 2x12x1（2x1）（2x1）（2x1）（2x1）（2x1）244x21.(2)由已知得 f(x)2f(1)1x，令 x1 得 f(1)2f(1)1，解得 f(1)1，则 f(1)2f(1)2.(3)由 f(x)(x2a)ln x，得 f(x)2xln xx2ax.f(1)1a2，解得 a
11、3.答案(1)44x21(2)B(3)3考点二 导数的几何意义【例 2】(1)(2020安徽江南十校联考)曲线 f(x)12ln xx在点 P(1，f(1)处的切线 l 的方程为()A.xy20B.2xy30 C.3xy20D.3xy40(2)(2019江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线yln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是_.解析(1)因为 f(x)12ln xx，所以 f(x)32ln xx2.又 f(1)1，且 f(1)3.故所求切线方程为 y13(x1)，即 3xy40.(2)设 A(m，n)，则曲线 yln x 在点 A
12、处的切线方程为 yn1m(xm).又切线过点(e，1)，所以有 n11m(me).再由 nln m，解得 me，n1.故点 A 的坐标为(e，1).答案(1)D(2)(e，1)规律方法 1.求曲线在点P(x0，y0)处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程，若在该点P处的导数不存在，则切线垂直于x轴，切线方程为xx0.2.求曲线的切线方程要分清“在点处”与“过点处”的切线方程的不同.切点不知道，要设出切点，根据斜率相等建立方程(组)求解，求出切点坐标是解题的关键.【训练2】(1)(2018全国卷)设函数f(x)x3(a1)x2ax.若f(x)为奇函数，则
13、曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为()A.y2xB.yxC.y2xD.yx(2)设曲线 yex 在点(0，1)处的切线与曲线 y1x(x0)上点 P 处的切线垂直，则 P 的坐标为_.解析(1)因为函数f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，所以a10，则a1，所以f(x)x3x.f(x)3x21，则f(0)1.所以曲线yf(x)在点(0，0)处的切线方程为yx.(2)函数yex的导函数为yex，曲线yex在点(0，1)处的切线的斜率k1e01.设 P(x0，y0)(x00)，函数 y1x的导函数为 y1x2，曲线 y1x(x0)在点 P处的切线的斜率 k21x20，又x00，x01.由
14、题意知 k1k21，即 11x20 1，解得 x201，又点 P 在曲线 y1x(x0)上，y01，故点 P 的坐标为(1，1).答案(1)D(2)(1，1)考点三 导数几何意义的应用【例3】(1)(2019全国卷)已知曲线yaexxln x在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()A.ae，b1B.ae，b1 C.ae1，b1D.ae1，b1(2)(2019泉州质检)若曲线yx2与yaln x(a0)存在公共切线，则实数a的取值范围是()A.(0，2eB.(0，e C.(，0)(0，2eD.(，0)(0，e 解析(1)yaexln x1，ky|x1ae1，切线方程为yae(ae1)(x1
15、)，即y(ae1)x1.又已知切线方程为y2xb，ae12，b1，即ae1，b1.(2)设切线在曲线 yx2上的切点坐标为(x0，x20)，则切线方程为 y2x0 xx20，切线在 yaln x 上的切点为(x1，aln x1)，该切线方程为 yax1xaaln x1由于两曲线有相同的公切线，因此ax12x0，x20aln x1a，消去 x0，得 a4x214x21ln x1，设g(x)4x24x2ln x，g(x)4x8xln x，得到 g(x)在(0，e12)递增，在(e12，)递减，故 g(x)最大值为 2e.又x时，g(x)；当x0时，g(x)0.所以a的取值范围为(，0)(0，2e.
16、答案(1)D(2)C 规律方法 1.处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：(1)切点处的导数是切线的斜率；(2)切点在切线上；(3)切点在曲线上.2.利用导数的几何意义求参数范围时，注意化归与转化思想的应用.【训练 3】(1)(2020重庆调研)已知直线 y1m是曲线 yxex 的一条切线，则实数 m 的值为()A.1eB.e C.1eD.e(2)(2020淄博联考)若函数 f(x)ln x2x2ax 的图象上存在与直线 2xy0 平行的切线，则实数 a 的取值范围是()A.(，6 B.(，62，)C.2，)D.(，6)(2，)若直线 y1m是曲线 yxex 的一条切线，解析(1)设切点坐标为n，1m，由yxex，得y(xex)exxex.y|xnennen0，解得n1，因此1mnen1e，故 me.(2)直线2xy0的斜率k2，又曲线f(x)上存在与直线2xy0平行的切线，f(x)1x4xa2 在(0，)内有解，则 a4x1x2，x0.又 4x1x24x1x4，当仅当 x12时取“”.a422.答案(1)B(2)C
