1、第8节 曲线与方程考试要求 1.了解方程的曲线与曲线的方程的对应关系；2.了解解析几何的基本思想和利用坐标法研究曲线的简单性质；3.能够根据所给条件选择适当的方法求曲线的轨迹方程.知 识 梳 理 1.曲线与方程的定义 一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C上的点与一个二元方程f(x，y)0的实数解建立如下的对应关系：那么，这个方程叫做_，这条曲线叫做_.这个方程的解曲线上的点曲线的方程方程的曲线2.求动点的轨迹方程的基本步骤 常用结论与微点提醒 1.“曲线C是方程f(x，y)0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f(x，y)0的解”的充分不必要条件.2.曲线的交点与方程组的关系：(1)两条曲线
2、交点的坐标是两个曲线方程的公共解，即两个曲线方程组成的方程组的实数解；(2)方程组有几组解，两条曲线就有几个交点；方程组无解，两条曲线就没有交点.诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)f(x0，y0)0 是点 P(x0，y0)在曲线 f(x，y)0 上的充要条件.()(2)方程 x2xyx 的曲线是一个点和一条直线.()(3)动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的.()(4)方程 y x与 xy2表示同一曲线.()答案(1)(2)(3)(4)解析 对于(2)，由方程得 x(xy1)0，即 x0 或 xy10，所以方程表示两条直线，错误；对于(3)，前者表示方程，后者表示
3、曲线，错误；对于(4)，曲线 yx是曲线 xy2的一部分，错误.2.(老教材选修21P37A2改编)已知M(1，0)，N(1，0)，|PM|PN|2，则动点P的轨迹是()A.双曲线B.双曲线左支 C.一条射线 D.双曲线右支 解析 由于|PM|PN|MN|，所以A，B，D不正确，应为以N为端点，沿x轴正向的一条射线.答案 C 3.(老教材选修21P37A1改编)已知A(2，0)，B(1，0)两点，动点P不在x轴上，且满足APOBPO，其中O为原点，则点P的轨迹方程是_.答案(x2)2y24(y0)解析 由角的平分线性质定理得|PA|2|PB|，设 P(x，y)，则（x2）2y22（x1）2y2
4、，整理得(x2)2y24(y0).A.两条直线B.两条射线 C.两条线段D.一条直线和一条射线 4.(2019广州调研)方程(2x3y1)(x31)0 表示的曲线是()解析 原方程可化为2x3y10，x30或 x310，即 2x3y10(x3)或 x4，故原方程表示的曲线是一条射线和一条直线.答案 D A.双曲线B.椭圆 C.圆D.抛物线 解析 由已知|MF|MB|，根据抛物线的定义知，点M的轨迹是以点F为焦点，直线l为准线的抛物线.答案 D 5.已知点 F14，0，直线 l：x14，点 B 是 l 上的动点，若过点 B 垂直于 y 轴的直线与线段 BF 的垂直平分线交于点 M，则点 M 的轨
5、迹是()6.已知点P在曲线2x2y0上移动，则点A(0，1)与点P连线的中点的轨迹方程是_.解析 设 AP 的中点坐标为(x，y)，则 P(2x，2y1)，由点 P 在曲线上，得 2(2x)2(2y1)0，即 y4x212.答案 y4x212考点一 直接法求轨迹方程【例 1】(1)已知 A(1，0)，B(1，0)两点，过动点 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，若MN 2ANNB，则当 0 时，动点 M 的轨迹为()A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线(2)(2020西安调研)在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A(1，1)关于原点 O 对称，P 是动点，且直线 AP 与 BP 的斜率之积
6、等于13.则动点 P 的轨迹方程为_.解析(1)设 M(x，y)，则 N(x，0)，所以MN 2y2，ANNB(x1，0)(1x，0)(1x2)，所以 y2(1x2)，即 x2y2，变形为 x2y2 1，所以当 0)或y0(x0)，则半径长为|x|，因为圆 x2y26x0 的圆心为(3，0)，所以（x3）2y2|x|3，则 y212x(x0)，若动圆在 y 轴左侧，则 y0，即圆心的轨迹方程为 y212x(x0)或 y0(x0).考点二 定义法求轨迹方程 典例迁移【例2】(经典母题)已知圆M：(x1)2y21，圆N：(x1)2y29，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.求C的
7、方程.解 由已知得圆M的圆心为M(1，0)，半径r11；圆N的圆心为N(1，0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)，半径为R.因为圆P与圆M外切并且与圆N内切，所以|PM|PN|(Rr1)(r2R)r1r24|MN|2.由椭圆的定义可知，曲线 C 是以 M，N 为左、右焦点，长半轴长为 2，短半轴长为 3的椭圆(左顶点除外)，其方程为 x24 y231(x2).【迁移1】将本例的条件“动圆P与圆M外切并且与圆N内切”改为“动圆P与圆M、圆N都外切”，则圆心P的轨迹方程为_.解析 由已知得圆M的圆心为M(1，0)，半径r11；圆N的圆心为N(1，0)，半径r23.设圆P的圆心为P(x，y)
8、，半径为R，因为圆P与圆M，N都外切，所以|PM|PN|(Rr1)(Rr2)r1r22，即|PN|PM|2，又|MN|2，所以点P的轨迹方程为y0(x2).答案 y0(x2)【迁移2】在本例中，若动圆P过圆N的圆心，并且与直线x1相切，则圆心P的轨迹方程为_.解析 由于点P到定点N(1，0)和定直线x1的距离相等，所以根据抛物线的定义可知，点P的轨迹是以N(1，0)为焦点，以x轴为对称轴、开口向右的抛物线，故其方程为y24x.答案 y24x 规律方法 定义法求曲线方程的两种策略(1)运用圆锥曲线的定义求轨迹方程，可从曲线定义出发直接写出方程，或从曲线定义出发建立关系式，从而求出方程.(2)定义
9、法和待定系数法适用于已知曲线的轨迹类型，利用条件把待定系数求出来，使问题得解.【训练2】(2020豫北名校联盟联考)已知ABC中，AB2，且sin A(12cos B)sin B(12cos A)0，以边AB的中垂线为x轴，以AB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则动点C的轨迹方程为_.解析 在ABC 中，由sin A(12cos B)sin B(12cos A)0得sin Asin B2sin(AB)2sin C，由正弦定理得|BC|2R|AC|2R 2|AB|2R(R 为ABC 外接圆半径)，可得|CB|CA|2|AB|AB|.点 C 的轨迹是以 A，B 为焦点的椭圆(除 y 轴上的点
10、)，其中 2a4，2c2，即 a2，c1，b2a2c23，故点 C 的轨迹方程为y24x231(x0).答案 y24x231(x0)考点三 相关点(代入)法求轨迹方程【例3】(1)(2020银川模拟)动点A在圆x2y21上移动时，它与定点B(3，0)连线的中点的轨迹方程是_.(2)设 F(1，0)，M 点在 x 轴上，P 点在 y 轴上，且MN 2MP，PM PF，当点 P 在y 轴上运动时，点 N 的轨迹方程为_.解析(1)设中点M(x，y)，由中点坐标公式，可得A(2x3，2y)，因为点A在圆上，将点A的坐标代入圆的方程，所以轨迹方程为(2x3)24y21.答案(1)(2x3)24y21(
11、2)y24x(2)设 M(x0，0)，P(0，y0)，N(x，y)，PM PF，PM(x0，y0)，PF(1，y0)，所以(x0，y0)(1，y0)0，所以 x0y200.由MN 2MP 得(xx0，y)2(x0，y0)，所以xx02x0，y2y0，即x0 x，y012y，所以xy240，即 y24x.故所求点 N 的轨迹方程是 y24x.规律方法“相关点法”的基本步骤(1)设点：设被动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x0，y0).(2)求关系式：求出两个动点坐标之间的关系式x0f（x，y），y0g（x，y）.(3)代换：将上述关系式代入主动点满足的曲线方程，便可得到所求被动点的轨迹方程.【
12、训练 3】(2020长沙月考)如图所示，动圆 C1：x2y2t2，1t3 与椭圆 C2：x29y21 相交于 A，B，C，D 四点.点A1，A2分别为 C2的左、右顶点，求直线 AA1与直线 A2B 交点 M 的轨迹方程.解 由椭圆 C2：x29y21，知 A1(3，0)，A2(3，0)，设点 A 的坐标为(x0，y0)，由曲线的对称性，得 B(x0，y0)，设点 M 的坐标为(x，y)，直线 AA1的方程为 y y0 x03(x3).直线 A2B 的方程为 y y0 x03(x3).由相乘得 y2 y20 x209(x29).又点 A(x0，y0)在椭圆 C2上，故 y201x209.将代入得x29y21(x3，y0).因此点 M 的轨迹方程为x29y21(x3，y0).