1、函数与导数热点问题三年真题考情核心热点 真题印证 核心素养 利用导数研究函数的性质 2019，20；2018，21；2018，21；2017，21 数学运算、逻辑推理 利用导数研究函数的零点 2019，20；2019江苏，19；2018，21(2)数学运算、直观想象 导数在不等式中的应用 2019，20；2018，21；2017，21；2017，21 数学运算、逻辑推理 热点聚焦突破教材链接高考导数在不等式中的应用 教材探究(选修22P32习题1.3B组第1题(3)(4)利用函数的单调性证明下列不等式，并通过函数图象直观验证.(3)ex1x(x0)；(4)ln xx0).试题评析 1.问题源于
2、求曲线yex在(0，1)处的切线及曲线yln x在(1，0)处的切线，通过观察函数图象间的位置关系可得到以上结论，可构造函数f(x)exx1与g(x)xln x1对以上结论进行证明.2.两题从本质上看是一致的，第(4)题可以看作第(3)题的推论.在第(3)题中，用“ln x”替换“x”，立刻得到x1ln x(x0且x1)，进而得到一组重要的不等式链：exx1x1ln x(x0且x1).3.利用函数的图象(如图)，不难验证上述不等式链成立.【教材拓展】(一题多解)试证明：exln x2.证明 法一 设f(x)exln x(x0)，则 f(x)ex1x，令(x)ex1x，则(x)ex1x20 在(
3、0，)恒成立，所以(x)在(0，)单调递增，即 f(x)ex1x在(0，)上是增函数，又 f(1)e10，f12 e2x0时，f(x)0；当0 xx0时，f(x)2，x012，1.故 exln x2.法二 注意到ex1x(当且仅当x0时取等号)，x1ln x(当且仅当x1时取等号)，exx11xln x，故exln x2.探究提高 1.法一中关键有三点：(1)利用零点存在定理，判定极小值点 x012，1；(2)确定 ex01x0，x0ln x0 的关系；(3)基本不等式的利用.2.法二联想经典教材习题结论，降低思维难度，优化思维过程，简洁方便.【链接高考】(2017全国卷)已知函数f(x)ln
4、 xax2(2a1)x.(1)讨论 f(x)的单调性；(2)当 a0，故 f(x)在(0，)上单调递增，若 a0；当 x 12a，时，f(x)0.故 f(x)在0，12a 上单调递增，在 12a，上单调递减.(2)证明 由(1)知，当a0；x(1，)时，g(x)0时，g(x)0，从而当 a0 时，ln 12a 12a10，故 f(x)34a2.教你如何审题利用导数研究函数的性质【例题】(2019全国卷)已知函数f(x)(x1)ln xx1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.审题路线 自主解答 证明(1)f(x)的定义域为(0，).f(x
5、)x1x ln x1ln x1x.因为 yln x 在(0，)上单调递增，y1x在(0，)上单调递减，所以 f(x)在(0，)上单调递增.又 f(1)10，故存在唯一x0(1，2)，使得f(x0)0.又当xx0时，f(x)x0时，f(x)0，f(x)单调递增，因此，f(x)存在唯一的极值点.(2)由(1)知f(x0)0，所以f(x)0在(x0，)内存在唯一根x.综上，f(x)0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.由 x01 得11x1，设tf(x1)f(x2)(a2)(x1x2)，试证明t0.【尝试训练】(2018全国卷改编)已知函数 f(x)1xxaln x.(1)解 f(x)的定义域为(
6、0，)，f(x)1x21axx2ax1x2.若a2，则f(x)0，当且仅当a2，x1时f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递减.若 a2，令 f(x)0 得，xa a242或 xa a242.当 x0，a a242a a242，时，f(x)0.所以 f(x)在0，a a242，a a242，上单调递减，在a a242，a a242上单调递增.(2)证明 由(1)知，f(x)存在两个极值点时，当且仅当a2.由于f(x)的两个极值点x1，x2满足x2ax10，所以x1x21.又因x2x10，所以x21.又 tf(x1)f(x2)(a2)(x1x2)1x11x2(x1x2)a(ln x1ln x
7、2)(a2)(x1x2)alnx1x2x1x2 a1x22ln x2x2.设(x)1xx2ln x，x1.由第(1)问知，(x)在(1，)单调递减，且(1)0，从而当x(1，)时，(x)0.所以1x22ln x2x20.满分答题示范利用导数研究函数的零点问题(1)讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点；(2)设x0是f(x)的一个零点，证明曲线yln x在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线yex的切线.【例题】(12 分)(2019全国卷)已知函数 f(x)ln xx1x1.规范解答(1)解 f(x)的定义域为(0，1)(1，).因为 f(x)1x2（x1）20，所以f(x
8、)在(0，1)，(1，)单调递增.2分 因为 f(e)1e1e10，所以f(x)在(1，)有唯一零点x1(ex1e2)，即f(x1)0.4分 又 01x10，g2 0；当 x，2 时，g(x)0.所以 g(x)在(1，)单调递增，在，2 单调递减，故 g(x)在1，2 存在唯一极大值点，即 f(x)在1，2 存在唯一极大值点.(2)f(x)的定义域为(1，).当x(1，0时，由(1)知，f(x)在(1，0)单调递增，而f(0)0，所以当x(1，0)时，f(x)0，故f(x)在(1，0)单调递减.又f(0)0，从而x0是f(x)在(1，0的唯一零点.当 x0，2 时，由(1)知，f(x)在(0，)单调递增，在，2 单调递减，而 f(0)0，f2 0；当 x，2时，f(x)0，所以当 x0，2 时，f(x)0.从而，f(x)在0，2 上没有零点.当 x2，时，f(x)0，f()1.所以f(x)0，从而f(x)在(，)没有零点.综上，f(x)有且仅有2个零点.