1、秘密启用前云天化中学 20202021 学年秋季学期半期测试题高二理科数学本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分第卷第 1 页至第 2 页，第卷第3 页至第 4 页考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回满分 150 分，考试用时 120 分钟第卷（选择题，共 60 分）注意事项：1答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚2每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号在试题卷上作答无效一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题所给的四个选项中，只有一项是
2、符合题目要求的）1已知集合|22Axx 剟，|1BxxN，则 AB（）A 2,1B 2,1,0C0,1D12平面向量a 与b 的夹角为 60，(2,0)a，|1b，则|2|ab等于（）A2 2B2 3C12 D 103下列有关命题的说法正确的是（）A若命题 p：0 xR，01xe，则命题p：x R，1xe B“3sin2x”的一个必要不充分条件是“3x”C若|abab，则abD，是两个平面，m，n 是两条直线，如果mn，m，/n ，那么4设 na是等差数列，若23a，713a，则数列 na前 8 项的和为（）A128B80 C64 D565某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A 1
3、3B 12C 23D 436设双曲线22221(0)xyabab的虚轴长为 2，焦距为2 3，则双曲线的渐近线方程为（）A2yx B2yx C22yx D12yx 7已知()f x 是定义在 R 上的偶函数，且在区间(,0)上单调递增，若实数 a 满足|1|2(2)aff，则 a 的取值范围是（）A1,2B13,22C 1 3,2 2D 3,28过点(1,2)M的直线与圆 C：22(2)9xy交于 A，B 两点，当ACB最小时，直线的方程为（）A1x B1y C230 xyD10 xy 9函数()2sin()0,|2f xx的最小正周期为，若其图象向右平移 6 个单位后得到函数为奇函数，则函数
4、()f x 的图象（）A关于点,03对称B在,2 2 上单调递增C关于直线3x对称D在6x处取最大值10在如图所示的三棱锥VABC中，已知 ABBC，90VABVACABC ，P 为线段VC 的中点，则（）A PB与 AC 不垂直B PB与VA 平行C点 P 到点 A，B，C，V 的距离相等D PB与平面 ABC 所成的角大于VBA11已知,03，4 3cossin65，则sin12（）A2 35B210C 2 35D4512已知函数3log,03,()|4|,3,xxf xxx 若函数()()2h xf xmx有三个不同的零点，则实数 m 的取值范围是（）A 1,12B1,(1,)2C1,1
5、,)2D 1,12第卷（非选择题，共 90 分）注意事项：第卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区城内作答，在试题卷上作答无效二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13设 x，y 满足约束条件22 0,1 0,240,xyxyxy 则目标函数2zxy的最大值是_14在 ABC 中，内角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，若 3 sincos3aB bA，2bc，则 ABC的面积是_15已知三棱锥 SABC的所有顶点都在球 O 的球面上，ABC 是边长为 1 的正三角形，SC 为球 O 的直径，且2SC，则此棱锥的体积为_16设1F，2F 是双曲线 C：22221(0
6、,0)xyabab的左、右焦点，O 是坐标原点过2F 作 C 的一条渐近线的垂线，垂足为 P若16|PFOP，则 C 的离心率为_三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分 10 分）求下列椭圆的标准方程：（）焦点在 x 轴上，离心率35e，且经过点85,5A；（）以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的 3 倍，并且与双曲线22135yx 有相同的焦点18（本小题满分 12 分）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c已知2cos(coscos)C aBbAc（）求角 C；（）若7c，3 32ABCS，求 ABC 的周长19（本小题满分 12 分
7、）如图所示，在梯形 ABCD 中，/,1,AD BC ABBC ABBCPA 平面 ABCD，CDPC（）设 M 为 PC 的中点，证明：CDAM；（）若 PAAD，求 AC 与平面 PCD 所成角的正弦值20（本小题满分 12 分）已知数列 na的前 n 项和为nS，且满足221nnSannN（）求证：数列2na 是等比数列；（）求数列2nna的前 n 项和21（本小题满分 12 分）如图，在 ABC 中，2 3AC，2BC，4AB，P，Q 分别为边 AB，AC 上的中点，现将 APQ沿 PQ 折起至 TPQ 的位置（）证明：平面TQC 平面 ABC；（）若异面直线 PQ 与 BT 所成的角
8、为 45，求二面角 PTCQ的正弦值22（本小题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为1F，2F，焦距为2，点 P 是椭圆上的动点，且12PF F 的面积的最大值为 1（）求椭圆的方程；（）若直线 l 与椭圆有且只有一个公共点 P，且 l 与直线2x 相交于 Q点 T 是 x 轴上一点，若总有0PT QT，求 T 点坐标云天化中学 20202021 学年秋季学期半期测试题高二理科数学参考答案第卷（选择题，共 60 分）一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分）题号123456789101112答案CBAC
9、DCCCACBA第卷（非选择题，共 90 分）二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）题号13141516答案112263三、解答题（共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17（本小题满分 10 分）解：（）因为焦点在 x 轴上，即设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab，椭圆经过点85,5A，2256415ab，由已知35e，35ca，35ca，2222235bacaa，即221625ba，把代入，得225201aa，解得225a，216b，椭圆的标准方程为2212516xy（5 分）（）依题意知椭圆的焦点在 y 轴上，设方程为22221(0)yxa
10、bab，且222223 2,9,81,abaabb 椭圆的标准方程为2219yx（10 分）18（本小题满分 12 分）解：（）由已知及正弦定理可得2cos(sincossincos)sinCABBAC，2cossin()sinCABC，ABC，sin()sinABC，2cossinsinCCC，又(0,)C，sin0C，12cos1cos2CC，(0,)C，3C（6 分）（）1313sin362222ABCSabCabab，又2222cosababCc，2213ab，2()255abab，ABC 的周长为57（12 分）19（本小题满分 12 分）（）证明：PA平面 ABCD，CD 平面 A
11、BCD，PACD又 PCCD，PAPCP，PA 平面 PAC，PC 平面 PAC，CD 平面 PAC 又 M 为 PC 的中点，所以 AM 平面 PAC，所以CDAM（5 分）（）解：法一：设 PAADm，如图，过 C 作CK 垂直 AD 于 K 点，因为1ABBC，ABBC，所以在直角三角形 ABC 中，2AC，在直角三角形 PAC 中，22PCm，又/,AD BC ABBC，所以CKAB，所以在直角三角形CKD 中，21(1)CDm，在直角三角形 PAD 中，2PDm，由（）可知三角形 PCD 为直角三角形，所以222PDPCCD，即222(1)122mmm，所以2m，所以，设 A 到平面
12、 PCD 的距离为 h，又P ACDA PCDVV，所以 1133ACDPCDPAShS，所以 111122 1623232h ，所以2 33h，所以 AC 与平面 PCD 所成角的正弦值为2 36332hAC（12 分）法二：由（）证知,AB AD AP 两两互相垂直，故以 A 为原点建系如图，不妨设 PAADm，则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,0),(0,0,)ABCDmPm，(1,1,0),(1,1,),(1,1,0)ACPCm CDm，PCCD，01102PC CDmm (1,1,2),(1,1,0)PCCD，设平面 PCD 的法向量为(,)mx y z，则由0
13、,(1,1,1)0m PCmm CD，故26cos,3|23AC mAC mACm，所以 AC 与平面 PCD 所成角的正弦值为63（12 分）20（本小题满分 12 分）（）证明：令1n，11123aSa，解得13a；（1 分）当2n 且nN 时，221nnSan，11221nnSan，11222nnnnnaSSaa，即122nnaa，1222nnaa，2na 是以125a 为首项，2 为公比的等比数列（6 分）（）解：由（）知：125 2nna，1252nnn an设数列2nn a 的前 n 项和为nT，则012215 210 215 25(1)252nnnTnn，123125 210 2
14、15 25(1)252nnnTnn，-得11212 125525222552512nnnnnTnn 5525 210(55)25nnnnn(55)25nnTn（12 分）21（本小题满分 12 分）（）证明：P，Q 分别为 AB，AC 边上的中点，1/,2PQ BC PQBC2 3AC，2BC，4AB，222ACBCAB，ACBC，则 PQAC，故翻折后TQPQ，且1PQ,PQAC PQTQ TQACQPQ平面TQC 又/BC PQ，故 BC 平面,TQC BC 平面 ABC，故平面TQC 平面 ABC（6 分）（）由（）证知/BC PQ，异面直线 PQ 与 BT 所成的角即为TBC，故45T
15、BC BC 平面TQC，BCTC，即 BTC 为等腰直角三角形，2TCBC又由（）证知13,12TQQCPQBC 在 TQC 中过点 T 作THQC于点 H平面TQC 平面 ABC，平面TQC 平面 ABCQC，故TH 平面 ABC 2212(3)122TQCS 在 TQC 中由等面积法可求得2 63TH 以 C 点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，其中 z 轴/TH 则2 32 6(0,0,0),(2 3,0,0),(0,2,0),(3,1,0),0,33CABPT（备注：也可以待定坐标法求 T设(,0,)T xz，利用|3,|2TQTC求解）设平面 PTC 的法向量为(,)m
16、x y z，2 32 6,0,(3,1,0)33CTCP由0,(2,6,1)0m CTmm CP 又平面TQC 的法向量为(0,1,0)n，6cos,|3m nm nm n 二面角 PTCQ的正弦值为33（12 分）22（本小题满分 12 分）解：（）依题意得2221 21,2,222,1,1,c bacbabcc解得2,1,ab 所以椭圆的方程为2212xy（5 分）（）当直线 l 的斜率不存在时，l 与直线2x 无交点，不符合题意，故直线 l 的斜率一定存在，设其方程为 ykxm，由22,1,2ykxmxy得222214220kxkmxm，因为直线 l 与椭圆有且只有一个公共点，所以22221681 210k mmk，化简得2221mk，所以244221Pkmkxkm ，2Pkxm，1PPykxmm，即21,kPm m，因为直线 l 与直线2x 2 相交于 Q，所以(2,2)Qmk，设,0T t，所以22(2)10kkTP TQttmm ，即 21(1)0kttm 对任意的 k，m 恒成立，所以10t ，即1t ，所以点 T 的坐标为(1,0)（12 分）
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