1、第3节 圆的方程考试要求 掌握确定圆的几何要素，掌握圆的标准方程与一般方程.知 识 梳 理 1.圆的定义和圆的方程 定义 平面内到_的距离等于_的点的轨迹叫做圆 方程 标准(xa)2(yb)2r2(r0)圆心C(a，b)半径为r 一般 x2y2DxEyF0(D2E24F0)充要条件：_ 圆心坐标：_ 半径 r12 D2E24F定点定长D2E24F0D2，E22.点与圆的位置关系 平面上的一点M(x0，y0)与圆C：(xa)2(yb)2r2之间存在着下列关系：(1)|MC|rM在_，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆外；(2)|MC|rM在_，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆上；(3)|M
2、C|rM在_，即(x0a)2(y0b)2r2M在圆内.圆外圆上圆内常用结论与微点提醒 1.圆心在坐标原点半径为r的圆的方程为x2y2r2.2.以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0.诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)确定圆的几何要素是圆心与半径.()(2)方程x2y2a2表示半径为a的圆.()(3)方程x2y24mx2y5m0表示圆.()(4)方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆的充要条件是AC0，B0，D2E24AF0.()解析(2)当a0时，x2y2a2表示点(0，0)；当a0时，表示半径为|
3、a|的圆.(3)当(4m)2(2)245m0，即 m14或 m1 时表示圆.答案(1)(2)(3)(4)2.(老教材必修2P124A1改编)圆x2y24x6y0的圆心坐标和半径分别是()A.(2，3)，3 B.(2，3)，3C.(2，3)，13 D.(2，3)，13 解析 圆的方程可化为(x2)2(y3)213，所以圆心坐标是(2，3)，半径 r 13.答案 D 3.(老教材必修2P120例3改编)过点A(1，1)，B(1，1)，且圆心在直线xy20上的圆的方程是()A.(x3)2(y1)24B.(x3)2(y1)24 C.(x1)2(y1)24D.(x1)2(y1)24 解析 设圆心C的坐标
4、为(a，b)，半径为r.因为圆心C在直线xy20上，所以b2a.又|CA|2|CB|2，所以(a1)2(2a1)2(a1)2(2a1)2，所以a1，b1.所以r2.所以方程为(x1)2(y1)24.答案 C 4.(2019合肥模拟)已知A(1，0)，B(0，3)两点，则以AB为直径的圆的方程是()A.x2y2x3y0B.x2y2x3y0 C.x2y2x3y0D.x2y2x3y0 解析|AB|1232 10，圆心为12，32，半径 r 102，圆的方程为x122y322104，化为一般方程为 x2y2x3y0.答案 A A.1B.2C.3D.4 5.(2020佛山一中期末)若 k2，0，45，3
5、，方程 x2y2(k1)x2kyk0 不表示圆，则 k 的取值集合中元素的个数为()解析 方程 x2y2(k1)x2kyk0 表示圆的条件为(k1)2(2k)24k0，即5k26k10，解得 k1 或 k0)，则由题意得1EF0，42DF0，1EF0，解得D32，E0，F1.所以圆 E 的一般方程为 x2y232x10，即x342y22516.法二(几何法)因为圆 E 经过点 A(0，1)，B(2，0)，所以圆 E 的圆心在线段 AB 的垂直平分线 y122(x1)上.又圆 E 的圆心在 x 轴的正半轴上，所以圆 E 的圆心坐标为34，0.则圆 E 的半径为|EB|2342（00）254，所以
6、圆 E 的标准方程为x342y22516.(2)由直线 xby2b10 可得该直线过定点 A(1，2)，设圆心为 B(0，1)，由题意可知要使所求圆的半径最大，则 rmax|AB|（10）2（21）2 2，所以半径最大的圆的标准方程为 x2(y1)22.故选 B.答案(1)C(2)B 规律方法 求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程.一般来说，求圆的方程有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量.确定圆的方程时，常用到的圆的三个性质：圆心在过切点且垂直切线的直线上；圆心在任一弦的中垂线上；两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(2)代数法，即设出圆的方程，用待定系数法
7、求解.(2)已知圆C经过P(2，4)，Q(3，1)两点，且在x轴上截得的弦长等于6，则圆C的方程为_.【训练 1】(1)(2020成都诊断)若圆 C：x2y 12m2n 的圆心为椭圆 M：x2my21的一个焦点，且圆 C 经过 M 的另一个焦点，则圆 C 的标准方程为_.解析(1)圆 C 的圆心为0，12m，1m1 12m，m12.又圆 C 经过 M 的另一个焦点，则圆 C 经过点(0，1)，从而 n4.故圆 C 的标准方程为 x2(y1)24.(2)设圆的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)，将 P，Q 两点的坐标分别代入得2D4EF20，3DEF10.又令y0，得x2DxF0.设x
8、1，x2是方程的两根，由|x1x2|6，得D24F36，联立，解得D2，E4，F8，或D6，E8，F0.故所求圆的方程为x2y22x4y80或x2y26x8y0.答案(1)x2(y1)24(2)x2y22x4y80或x2y26x8y0 考点二 与圆有关的最值问题 多维探究 角度1 利用几何意义求最值【例21】已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21上.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求 xy 的最大值和最小值；(3)求 x2y22x4y5的最大值和最小值.解(1)yx可视为点(x，y)与原点连线的斜率，yx的最大值和最小值就是与该圆有公共点的过原点的直线斜率的最大值和最小值，即直线与圆相
9、切时的斜率.设过原点的直线的方程为 ykx，由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2k3|k211，解得 k22 33 或 k22 33，yx的最大值为22 33，最小值为22 33.(2)设txy，则yxt，t可视为直线yxt在y轴上的截距，xy的最大值和最小值就是直线与圆有公共点时直线纵截距的最大值和最小值，即直线与圆相切时在y轴上的截距.由直线与圆相切得圆心到直线的距离等于半径，即|2（3）t|21，解得 t 21 或 t 21.xy 的最大值为 21，最小值为 21.(3)x2y22x4y5（x1）2（y2）2，求它的最值可视为求点(x，y)到定点(1，2)的距离的最值，可转化
10、为求圆心(2，3)到定点(1，2)的距离与半径的和或差.又圆心到定点(1，2)的距离为 34，x2y22x4y5的最大值为 341，最小值 341.规律方法 把有关式子进行转化或利用所给式子的几何意义解题，充分体现了数形结合以及转化的数学思想，其中以下几类转化较为常见：(1)形如 mybxa的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如 maxby 的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；(3)形如 m(xa)2(yb)2的最值问题，可转化为两点间距离的平方的最值问题.角度2 利用对称性求最值【例22】已知圆C1：(x2)2(y3)21，圆C2：(x3)2(y4)29，M，N分别是圆C
11、1，C2上的动点，P为x轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A.5 24 B.171C.62 2D.17 解析 P 是 x 轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|1，同理|PN|的最小值为|PC2|3，则|PM|PN|的最小值为|PC1|PC2|4.作 C1 关于 x 轴的对称点 C1(2，3).所以|PC1|PC2|PC1|PC2|C1C2|5 2，即|PM|PN|PC1|PC2|45 24.答案 A 规律方法 求解形如|PM|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的基本思路：(1)“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；(2)“曲化直”，即将折线段
12、之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解决.角度 3 建立函数关系求最值【例 23】(2020重庆模拟)设点 P(x，y)是圆：x2(y3)21 上的动点，定点 A(2，0)，B(2，0)，则PAPB的最大值为_.解析 由题意，知PA(2x，y)，PB(2x，y)，所以PAPBx2y24，由于点 P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程 x2(y3)21，故 x2(y3)21，所以PA PB(y3)21y246y12.由圆的方程 x2(y3)21，易知2y4，所以，当 y4 时，PAPB的值最大，最大值为 641212.答案 12 规律方法 根据题中条件列出相关的函数关系式，再根据
13、函数知识或基本不等式求最值.【训练2】(1)(多填题)(角度1)已知实数x，y满足方程x2y24x10，则x2y2的最大值为_，最小值为_.(2)(角度2)已知A(0，2)，点P在直线xy20上，点Q在圆C：x2y24x2y0上，则|PA|PQ|的最小值是_.(3)(角度3)已知圆O：x2y29，若过点C(2，1)的直线l与圆O交于P，Q两点，则OPQ的面积最大值为()A.2B.2 5C.92D.5解析(1)x2y2表示圆(x2)2y23上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值(如图).又圆心到原点的距离为（20）2（00）22，所以 x2
14、y2的最大值是(2 3)274 3，x2y2的最小值是(2 3)274 3.(2)因为圆 C：x2y24x2y0，故圆 C 是以 C(2，1)为圆心，半径 r 5的圆.设点 A(0，2)关于直线 xy20 的对称点为 A(m，n)，故m02n22 20，n2m01，解得m4，n2，故 A(4，2).连接AC交圆C于Q，由对称性可知|PA|PQ|AP|PQ|AQ|AC|r2 5.(3)当直线 l 的斜率不存在时，l 的方程为 x2，则 P，Q 的坐标为(2，5)，(2，5)，所以 SOPQ1222 52 5.当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y1k(x2)k12，则圆心到直线 PQ 的
15、距离 d|12k|1k2，由平面几何知识得|PQ|2 9d2，SOPQ12|PQ|d122 9d2d（9d2）d29d2d22292，当且仅当 9d2d2，即 d292时，SOPQ 取得最大值92.因为 2 592，所以 SOPQ 的最大值为92.答案(1)74 3 74 3(2)2 5(3)C考点三 与圆有关的轨迹问题【例3】已知RtABC的斜边为AB，且A(1，0)，B(3，0)，求：(1)(一题多解)直角顶点C的轨迹方程；(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.解(1)法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y0.因为ACBC，且BC，AC斜率均存在，所以kACkBC1，又 kA
16、C yx1，kBC yx3，所以 yx1yx31，化简得 x2y22x30.因此，直角顶点C的轨迹方程为x2y22x30(y0).法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1，0)，由直角三角形的性质知|CD|AB|2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点).所以直角顶点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0).(2)设 M(x，y)，C(x0，y0)，因为 B(3，0)，M 是线段 BC 的中点，由中点坐标公式得xx032，yy002，所以 x02x3，y02y.由(1)知，点C的轨迹方程为(x1)2y24(y0)，
17、将x02x3，y02y代入得(2x4)2(2y)24，即(x2)2y21.因此动点M的轨迹方程为(x2)2y21(y0).规律方法 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.【训练3】已知过原点的动直线l与圆C1：x2y26x50相交于不同的两点A，B.(1)求圆C1的圆心坐标；(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程.解(1)由x2y26x50得(x3)2y24，所以圆C1的圆心坐标为(3，0).(2)设M(x，y)，因为点M为线段AB的中点，所以C1MAB，所以 kC1MkAB1，当 x3 时可得 yx3yx1，整理得x322y294，又当直线l与x轴重合时，M点坐标为(3，0)，代入上式成立.设直线l的方程为ykx，与x2y26x50联立，消去y得：(1k2)x26x50.令其判别式(6)24(1k2)50，得 k245，此时方程为95x26x50，解上式得 x53，因此53x3.所以线段 AB 的中点 M 的轨迹方程为x322y29453x3.