1、二次函数综合（与三角形、四边形结合）知识点1：二次函数与直角三角形例1：如图,在平面直角坐标系中,已知点A的坐标是(4,0)，并且OA=OC=4OB，动点P在过A，B，C三点的抛物线上。(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线上是否存在点P，使得PCO=POC?若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)是否存在点P，使得ACP是以AC为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由。例2：如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的对称轴为直线x=1,且抛物线经过A(1,0),C(0,3)两点，与x轴交于点B.(1)若直线y=mx+n经过B、C两
2、点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x=1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x=1上的一个动点，求使BPC为直角三角形的点P的坐标。例3：如图,已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,C的半径为，P为C上一动点。(1)点B,C的坐标分别为B(_),C(_)；(2)是否存在点P，使得PBC为直角三角形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；例4：已知,抛物线(a0)与x轴交于A(3,0)、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴是直线x=1,D为抛物线的顶点,点E在y轴C点的上方,且CE=12
3、.(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；(2)求证：直线DE是ACD外接圆的切线；(3)在直线AC上方的抛物线上找一点P,使SACP=SACD，求点P的坐标；(4)在坐标轴上找一点M，使以点B. C.M为顶点的三角形与ACD相似，直接写出点M的坐标。知识点2：二次函数与等腰三角形例1：如图,二次函数y=+2(m2)x+3的图象与x、y轴交于A. B.C三点,其中A(3,0)，抛物线的顶点为D.(1)求m的值及顶点D的坐标；(2)当axb时,函数y的最小值为，最大值为4，求a，b应满足的条件；(3)在y轴右侧的抛物线上是否存在点P，使得三角形PDC是等腰三角形?如果存在，求出符合条件的点P的坐标
4、；如果不存在，请说明理由。例2：已知：如图,抛物线y=a+bx+c经过A(1,0)、B(5,0)、C(0,5)三点。(1)求抛物线的函数关系式；(2)若过点C的直线y=kx+b与抛物线相交于点E(4,m)，请求出CBE的面积S的值；(3)在抛物线上求一点P0,使得ABP0为等腰三角形,并写出P0点的坐标；附加：(4)除(3)中所求的P0点外,在抛物线上是否还存在其它的点P使得ABP为等腰三角形?若存在,请求出一共有几个满足条件的点P(要求简要说明理由,但不证明)；若不存在这样的点P，请说明理由。例3：如图,抛物线与x轴相交于点A.B,与y轴相交于点C,抛物线的对称轴与x轴相交于点M.P是抛物线
5、在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上).分别过点A.B作直线CP的垂线，垂足分别为D.E，连接点MD、ME.(1)求点A,B的坐标(直接写出结果)，并证明MDE是等腰三角形；(2)MDE能否为等腰直角三角形?若能，求此时点P的坐标；若不能，说明理由；(3)若将“P是抛物线在x轴上方的一个动点(点P、M、C不在同一条直线上)”改为“P是抛物线在x轴下方的一个动点”,其他条件不变,MDE能否为等腰直角三角形?若能,求此时点P的坐标(直接写出结果)；若不能，说明理由。例4：如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于A(1,0),B(4,0),C(0,4)三点，点P是直线BC下方
6、抛物线上一动点。(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点P，使POC是以OC为底边的等腰三角形?若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点P运动到什么位置时，PBC面积最大，求出此时P点坐标和PBC的最大面积。知识点3：二次函数与平行四边形例1：如图，经过点C(O,-4)的抛物线(a0)与x轴相交于A(-2,0)，B两点。（1）_，_（填“”或“”）。（2）若该抛物线关于直线x=2对称，求抛物线的函数表达式。（3）在（2）的条件下，连接AC，E是抛物线上一动点，过点E作AC的平行线交x轴于点F。是否存在这样的点E，使得以A，C，E，F为顶点所组成的四边形是平行四边形。若存在，
7、求出满足条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由。例2：如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=2x3交x轴于A,B两点(点A在点B的左侧)，将该抛物线位于x轴上方曲线记作M，将该抛物线位于x轴下方部分沿x轴翻折，翻折后所得曲线记作N，曲线N交y轴于点C，连接AC、BC.(1)求曲线N所在抛物线相应的函数表达式；(2)求ABC外接圆的半径；(3)点P为曲线M或曲线N上的一动点，点Q为x轴上的一个动点，若以点B，C，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求点Q的坐标。例3：如图,在平面直角坐标系中,二次函数的图象与坐标轴交于A. B.C三点,其中点A的坐标为(0,8),点B的坐标为(4,0).(1)
8、求该二次函数的表达式及点C的坐标；(2)点D的坐标为(0,4)，点F为该二次函数在第一象限内图象上的动点，连接CD、CF，以CD、CF为邻边作平行四边形CDEF，设平行四边形CDEF的面积为S.求S的最大值；在点F的运动过程中，当点E落在该二次函数图象上时，请直接写出此时S的值。例4：如图,抛物线经过点A(2,3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=3OB.(1)求抛物线的解析式；(2)点D在y轴上，且BDO=BAC，求点D的坐标；(3)点M在抛物线上，点N在抛物线的对称轴上，是否存在以点A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形?若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说
9、明理由。例5：如图,抛物线经过点B(3,0),C(0,2),直线l:交y轴于点E,且与抛物线交于A,D两点,P为抛物线上一动点(不与A,D重合).(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在直线l下方时,过点P作PMx轴交l于点M,PNy轴交l于点N，求PM+PN的最大值。(3)设F为直线l上的点，以E，C，P，F为顶点的四边形能否构成平行四边形?若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由。例6：如图,是将抛物线平移后得到的抛物线,其对称轴为x=1,与x轴的一个交点为A(1,0)，另一个交点为B，与y轴的交点为C.(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点N为抛物线上一点，且BCNC，求点N的坐标；(3)点P是抛物线上一点,点Q是一次函数的图象上一点，若四边形OAPQ为平行四边形，这样的点P、Q是否存在?若存在，分别求出点P，Q的坐标；若不存在，说明理由。
