1、二次函数综合题2021年一模1某电子科技公司研发生产一种儿童智力玩具，每件成本为65元，零售商到公司一次性批发x件时，批发单价为y元，y与x之间满足如图所示的函数关系，其中批发件数x为10的正整数倍（1）当时，求y与x的函数关系式（2）某零售商一次性批发180件，需要支付多少元？（3）零售商厂一次性批发件，该公司的利润为w元，问：x为何值时，w最大？最大值是多少？【答案】（1）；（2）16560元；（3），w的值最大，最大值为5250元【分析】（1）设y与x的函数关系式为，根据图象利用待定系数法求解析式即可（2）根据（1）求出此时的批发单价，再乘以批发数量即可（3）分类讨论当时和当时，结合利润
2、=销售量（售价-成本）列出w与x的函数关系即可得出答案【详解】（1）当时，设y与x的函数关系式为，根据图象可知该一次函数过点(100，100)和点(300，80)，解得：故当时，y与x的函数关系式为（2）根据题意可知一次性批发180件时，批发单价为元故共需支付元（3）当时，根据题意可列等式：，x为10的整数倍当x取220或230时，w有最大值，且最大值为元当时，可列等式：，即当x=350时，w有最大值，且最大值为元，综上，当x=350时，w最大，且为5250【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用掌握利用待定系数法求解析式以及理解题意利用利润=销售量（售价-成本）列出w与x的函数关系式是解
3、答本题的关键2长丰草莓已经到了收获季节，已知草莓的成本价为10元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该草莓销售不会亏本，且每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）之间的函数关系如图所示（1）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）若产量足够，当该品种的草莓定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？（3）由于种植不当，某草莓种植户的一个大棚今年共采摘草莓1200千克，该品种草莓的保质期为15天，请问如何定价该农户可获得最大利润，并求出该批全部售出的最大利润【答案】（1）y10x+300，10x30；（2）该品种的草莓定价为20元/千克时，每天销售获得的利润最大，最大
4、利润为1000元；（3）定销售价为22元时，能获得最大利润14400元【分析】（1）利用待定系数法求解可得；（2）根据“总利润单件利润销售量”列出函数解析式，并配方成顶点式即可得出最大值；（3）求出每天销售获得的利润最大时的销售量，可得在保质期内能销售完这批草莓，可得如何定价，根据定价可得最大利润【详解】解：（1）设y与x的函数关系式为ykx+b，将（10，200）、（15，150）代入，得：，解得：，y与x的函数关系式为y10x+300，由10x+3000得x30，所以x的取值范围为10x30；（2）设每天销售获得的利润为w，则w（x10）y（x10）（10x+300）10（x20）2+10
5、00，10x30，a100，当x20时，w取得最大值，最大值为1000；答：该品种的草莓定价为20元/千克时，每天销售获得的利润最大，最大利润为1000元；（3）由（2）知，当获得最大利润时，定价为20元/千克，则每天的销售量为千克，保质期为15天，总销售量为，又，可调高定价解得答：定价22元时利润最高，最大利润为元【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及找到题目蕴含的相等关系，据此列出二次函数的解析式，并熟练掌握二次函数的性质3如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，抛物线经过点A，B，抛物线的对称轴与x轴交于点D，与直线交于点N，顶点为C（1）求抛
6、物线的解析式；（2）点M在线段上运动，过点M作线段平行于y轴，分别交抛物线于点F，交x轴于点E，作于点G若设，试用含t的式子表示的长度；当四边形周长取得最大值时，求的面积【答案】（1）；（2）；【分析】（1）用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）求出点D坐标，即可表示出DE的长度；用含t的式子表示四边形周长，得到，则当时，周长取得最大值，求出AE，EM的长度即可计算出的面积【详解】解：（1）直线，令得，令得，将，代入，得，（2），当时，周长取得最大值，此时，点M在直线AB上，得到：，【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的综合，根据图像正确表示出各点的坐标是解决本题的关键4已知二次函数c和一
7、次函数的图象都经过点A（-3，0），且二次函数的图象经过点B（0，3），一次函数的图象经过点C（0，-1）（1）分别求m、n和b、c的值；（2）点P是二次函数的图象上一动点，且点P在x轴上方，写出ACP的面积S关于点P的横坐标x的函数表达式，并求S的最大值【答案】（1），；（2）【分析】（1）将将A（-3，0），B（0，3），代入二次函数，将A（-3，0）， C（0，-1）代入一次函数，分别求解即可；（2）分两种情况：当时，过点P作轴交轴于点，根据点P在x轴上方，设点P的坐标是（，）得到ACP的面积S关于点P的横坐标x的函数表达式是；当时，过点C作轴，过点P作交于点，过点A作交于点，根据点P在
8、x轴上方，设点P的坐标是（，）得到ACP的面积S关于点P的横坐标x的函数表达式是；则可知ACP的面积S关于点P的横坐标x的函数表达式，在利用配方法得到，可以得出面积的最大值【详解】解：（1）二次函数和一次函数的图象都经过点 A（-3，0），且二次函数的图象经过点B（0，3），一次函数的图象经过点 C（0，-1）将A（-3，0），B（0，3），代入二次函数得：，解之得： ，将A（-3，0），C（0，-1）代入一次函数得：，解之得： ，（2）由（1）可知，二次函数的关系式是，当时，有，则有： ，二次函数与x轴的交点坐标是：（-3，0），（1，0），当时，图像如下图所示，过点P作轴交 轴于点，点P在
9、x轴上方，设点P的坐标是（，）则由图像可知， ，点P是二次函数的图象上，当时，图像如下图所示，过点C作轴，过点P作交于点，过点A作交于点，点P在x轴上方，设点P的坐标是（，）则由图像可知， ，点P是二次函数的图象上，综上所述，ACP的面积S关于点P的横坐标x的函数表达式是，ACP的面积最大值是【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质、三角形的面积，最值等知识点，熟悉相关性质是解题的关键5在平面直角坐标系中，关于的二次函数的图象过点，（1）求这个二次函数的表达式；（2）求当时，的最大值与最小值的差；（3）一次函数的图象与二次函
10、数的图象交点的横坐标分别是和，且，求的取值范围【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）利用待定系数法将点，代入解析式中解方程组即可；（2）根据（1）中函数关系式得到对称轴，从而知在中，当x=-2时，y有最大值，当时，y有最小值，求之相减即可；（3）根据两函数相交可得出x与m的函数关系式，根据有两个交点可得出0，根据根与系数的关系可得出a，b的值，然后根据，整理得出m的取值范围【详解】解：（1）的图象过点，解得（2）由（1）得，二次函数对称轴为当时，y的最大值为(-2)2-(-2)-2=4,y的最小值为的最大值与最小值的差为；（3）由题意及（1）得整理得即一次函数的图象与二次函数的图象交点的
11、横坐标分别是和，化简得即解得m5a，b为方程的两个解又a=-1，b=4-m即4-m3m1综上所述，m的取值范围为【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的性质，根与系数的关系等知识解题的关键是熟记二次函数图象的性质6如图，抛物线y（xm）2+3的顶点A在第一象限，点B(m3，0)在x轴的负半轴上，直线AB与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点P(h，n)也在第一象限内（1）若交点P(h，n)是AC的中点，且h1，求n的值；（2）连接OP，令OCP面积为S，求关于m的函数表达式（要求写出m的取值范围），并求出S的最大值【答案】（1）2；（2）（），S取最大值【分析】（1）由题
12、意可知顶点A的横坐标为2，即可求得m2，得到解析式，把P（1，n）代入即可求得n；（2）过点P作PDx轴，垂足为点D（h，0），由y（xm）2+3知A（m，3），且B（m3，0），可知ABO45，PDBD，即可得出（hm）2+3hm+3，解得hm（舍去）或hm1，然后根据三角形面积公式得到（1m3），根据二次函数的性质求得S的最大值【详解】解：（1）点C的横坐标为0，点P（1，n）是AC的中点， m2， n（12）2+32；（2）过点P作PDx轴，垂足为点D（h，0），过作于 由y（xm）2+3知A（m，3），且B（m3，0）， ABO45，PDBD，PDn（hm）2+3，BDh（m3）hm+
13、3，（hm）2+3hm+3，（hm）（hm+1）0，hm（舍去）或hm1，OCOB3m，3m0，hm10，1m3，当m2时，S取最大值【点睛】本题考查的是图形与坐标，线段中点坐标特点，等腰直角三角形的性质，图形面积与二次函数的性质，掌握以上知识是解题的关键7对于二次函数和一次函数，我们把 称为这两个函数的“再生二次函数”，其中t是不为零的实数，其图象记作抛物线E.现有点A(1,0)和抛物线E上的点B(2,n)，请完成下列任务：【尝试】（1）当t=2时，抛物线的顶点坐标为 .（2）判断点A是否在抛物线E上；（3）求n的值.【发现】通过（2）和（3）的演算可知，对于t取任何不为零的实数，抛物线E总
14、过定点，定点的坐标 .【应用】二次函数是二次函数和一次函数 的一个“再生二次函数”吗？如果是，求出t的值；如果不是，说明理由.【答案】尝试：（1）（，-）（2）点A（1，0）在抛物线l上（3）n-1发现：（1，0）、（2，-1）应用：不是,理由见解析【分析】尝试：（1）将t的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标；（2）将点A的坐标代入抛物线E上直接进行验证即可；（3）已知点B在抛物线E上，将该点坐标代入抛物线E的解析式中直接求解，即可得到n的值发现：将抛物线l展开，然后将含t值的式子整合到一起，令该式子为0（此时无论t取何值都不会对函数值产生影响），即可求出这个定点的坐标应用：将
15、发现中得到的两个定点坐标代入二次函数中进行验证即可【详解】解：尝试：（1）将t2代入抛物线l中，得：2x27x+52（x）2，此时抛物线的顶点坐标为：（，-）（2）将x1代入y=2x27x+5，得 y0，点A（1，0）在抛物线l上（3）将x2代入抛物线 y=2x27x+5的解析式中，得：n-1发现：将抛物线E的解析式展开，得：t（x1）（x-3）（x-1）+t(x-1)= t（x1）（x-2）（x-1）抛物线l必过定点（1，0）、（2，-1）应用：将x1代入，y0，即点A在抛物线上将x2代入，计算得：y6-1，即可得抛物线不经过点B，二次函数不是二次函数和一次函数yx1的一个“再生二次函数”【点睛】考查了二次函数的综合知识，该题通过新定义的形式考查了二次函数等综合知识，理解新名词的含义尤为关键最后一题的综合性较强，通过几何知识找出C、D点的坐标是此题的难点所在
