1、24.1 抛物线及其标准方程 【课标要求】1.掌握抛物线的定义及标准方程.2.理解焦点、准线方程的意义，会根据条件求抛物线的标准方程.自主学习 基础认识|新知预习|1抛物线的定义(1)定义：平面内与一定点 F 和一条定直线 l(不经过点 F)的点的轨迹(2)焦点：定点 F.(3)准线：定直线 l.距离相等2抛物线标准方程的几种形图形标准方程 焦点坐标 准线方程 y22px(p0)Fp2，0 xp2y22px(p0)Fp2，0 xp2 x22py(p0)F0，p2yp2 x22py(p0)F0，p2yp2|自我尝试|1判断下列各题(对的打“”，错的打“”)(1)平面内到一定点距离与到一定直线距离
2、相等的点轨迹一定是抛物线()(2)抛物线 y220 x 的焦点坐标是(0,5)()答案：(1)(2)2抛物线 y14x2 的准线方程为()Ax 116 Bx1Cy1 Dy2解析：抛物线的标准方程为 x24y，则准线方程为 y1.答案：C3已知抛物线 y22px(p0)的准线与圆(x3)2y216 相切，则 p 的值为()A.12 B1C2 D4解析：抛物线 y22px 的准线 xp2与圆(x3)2y216相切，p21，即 p2.答案：C4设抛物线 y28x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4，则点 P 到该抛物线焦点的距离是()A4 B6C8 D12解析：由抛物线的方程得p2422，再根据抛物
3、线的定义，可知所求距离为 426.答案：B5 已 知 抛 物 线 x2 4y，则 它 开 口 向 _(选 填“上”“下”“左”“右”)，焦点坐标是_解析：由题意可知 2p4，所以 p2，开口向上，焦点坐标是0，p2，即(0,1)答案：上(0,1)课堂探究 互动讲练类型一 求抛物线的标准方程例 1 求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点 M(6,6)；(2)焦点 F 在直线 l：3x2y60 上【解析】(1)由于点 M(6,6)在第二象限，过 M 的抛物线开口向左或开口向上 若抛物线开口向左，焦点在 x 轴上，设其方程为 y22px(p0)，将点 M(6,6)代入，可得 362p(6)，p
4、3.抛物线的方程为 y26x.若抛物线开口向上，焦点在 y 轴上，设其方程为 x22py(p0)，将点 M(6,6)代入可得，362p6，p3，抛物线的方程为 x26y.综上所述，抛物线的标准方程为 y26x 或 x26y.(2)直线 l 与 x 轴的交点为(2,0)，抛物线的焦点是 F(2,0)，p22，p4，抛物线的标准方程是 y28x.直线 l 与 y 轴的交点为(0，3)，即抛物线的焦点是 F(0，3)，p23，p6，抛物线的标准方程是 x212y.综上所述，所求抛物线的标准方程是 y28x 或 x212y.方法归纳求抛物线的标准方程的关键与方法(1)关键：确定焦点在哪条坐标轴上，进而
5、求方程的有关参数(2)方法：直接法，建立恰当坐标系，利用抛物线的定义列出动点满足的条件，列出对应方程，化简方程 直接根据定义求 p，最后写标准方程 利用待定系数法设标准方程，找有关的方程组求系数.跟踪训练 1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程(1)准线方程为 2y40；(2)过点(3，4)；(3)焦点在直线 x3y150 上解析：(1)准线方程为 2y40，即 y2，故抛物线焦点在 y 轴的正半轴上，设其方程为 x22py(p0)，又p22，所以 2p8，故抛物线的标准方程为 x28y.(2)因为点(3，4)在第四象限，所 以 设 抛 物 线 的 标 准 方 程 为 y2 2px(p0)或
6、 x2 2p1y(p10)把点(3，4)的坐标分别代入 y22px 和 x22p1y，得(4)22p3,322p1(4)，即 2p163，2p194.所以所求抛物线的标准方程为 y2163 x 或 x294y.(3)令 x0 得 y5；令 y0 得 x15.所以抛物线的焦点为(0，5)或(15,0)所以所求抛物线的标准方程为 x220y 或 y260 x.类型二 抛物线定义的应用例 2(1)已知抛物线 C：y2x 的焦点为 F，A(x0，y0)是 C上一点，|AF|54x0，则 x0()A1 B2C4 D8(2)如图，设抛物线 y24x 的焦点为 F，不经过焦点的直线上有三个不同的点 A，B，
7、C，其中点 A，B 在抛物线上，点 C 在y 轴上，则BCF 与ACF 的面积之比是()A.|BF|1|AF|1 B.|BF|21|AF|21C.|BF|1|AF|1 D.|BF|21|AF|21【解析】(1)由题意知抛物线的准线为 x14.因为|AF|54x0，根据抛物线的定义可得 x014|AF|54x0，解得 x01，故选A.(2)由图形可知，BCF 与ACF 有公共的顶点 F，且 A，B，C 三点共线，易知BCF 与ACF 的面积之比就等于|BC|AC|.由抛物线方程知焦点 F(1,0)，作准线 l，则 l 的方程为 x1.点 A，B 在抛物线上，过 A，B 分别作 AK，BH 与准线
8、垂直，垂足分别为点 K，H，且与 y 轴分别交于点 N，M.由抛物线定义，得|BM|BF|1，|AN|AF|1.在CAN 中，BMAN，|BC|AC|BM|AN|BF|1|AF|1.【答案】(1)A(2)A方法归纳抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距离与点线距离的相互转化，从而简化某些问题(2)解决最值问题在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题.跟踪训练 2(1)已知 F 是抛物线 y2x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点，|A
9、F|BF|3，则线段 AB 的中点到 y 轴的距离为()A.34 B1C.54 D.74(2)经过抛物线 C 的焦点 F 作直线 l 与抛物线 C 交于 A、B两点，如果 A，B 在抛物线 C 的准线上的射影分别为 A1，B1，那么A1FB1 为()A.6 B.4C.2 D.23解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段 AB 中点到 y 轴的距离为：12(|AF|BF|)14321454.(2)由抛物线的定义可知|BF|BB1|，|AF|AA1|，故BFB1BB1F，AFA1AA1F.又OFB1BB1F，OFA1AA1F，故BFB1OFB1，AFA1OFA1，所以OFA1OFB1122，即
10、A1FB12.答案：(1)C(2)C类型三 抛物线的实际应用例 3 某大桥在涨水时有最大跨度的中央桥孔，已知上部呈抛物线形，跨度为 20 米，拱顶距水面 6 米，桥墩高出水面 4米现有一货船欲过此孔，该货船水下宽度不超过 18 米，目前吃水线上部中央船体高 5 米，宽 16 米，且该货船在现有状况下还可多装 1 000 吨货物，但每多装 150 吨货物，船体吃水线就要上升 0.04 米若不考虑水下深度，问：该货船在现在状况下能否直接或设法通过该桥孔？为什么？【解析】如图所示，以拱顶为原点，过拱顶的水平直线为x 轴，竖直直线为 y 轴，建立直角坐标系因为拱顶距水面 6 米，桥墩高出水面 4 米，
11、所以 A(10，2)设桥孔上部抛物线方程是 x22py(p0)，则 1022p(2)，所以 p25，所以抛物线方程为 x250y，即 y 150 x2.若货船沿正中央航行，船宽 16 米，而当 x8 时，y 150821.28，即船体在 x8 之间通过，B(8，1.28)，此时 B 点距水面6(1.28)4.72(米)而船体高为 5 米，所以无法通行 又因为 54.720.28(米)，0.280.047,15071 050(吨)，所以若船通过增加货物通过桥孔，则要增加 1 050 吨，而船最多还能装 1 000 吨货物，所以货船在现有状况下不能通过桥孔.方法归纳求抛物线实际应用的五个步骤(1)
12、建系：建立适当的坐标系；(2)假设：设出合适的抛物线标准方程；(3)计算：通过计算求出抛物线的标准方程；(4)求解：求出需要求出的量；(5)还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题.跟踪训练 3 如图是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面 2 米，水面宽 4 米水位下降 1 米后，水面宽_米解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线的方程为x22py，则点(2，2)在抛物线上，代入可得 p1，所以 x22y.当 y3 时，x26，所以水面宽为 2 6米 答案：2 6|素养提升|1四种位置的抛物线的标准方程的对比(1)共同点：原点在抛物线上；焦点在坐标轴上；焦点的非零坐标都是一次项系数的
13、14.(2)不同点：焦点在 x 轴上时，方程的右端为2px，左端为 y2；焦点在y 轴上时，方程的右端为2py，左端为 x2.开口方向与 x 轴(或 y 轴)的正半轴相同，焦点在 x 轴(或 y轴)正半轴上，方程右端取正号；开口方向与 x 轴(或 y 轴)的负半轴相同，焦点在 x 轴(或 y 轴)负半轴上，方程右端取负号特别提醒：(1)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹不一定是抛物线(2)注意每种情况下的焦点与准线方程的对应关系2抛物线定义的两种应用(1)实现距离转化根据抛物线的定义，抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离，因此，由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转
14、化，从而简化某些问题(2)解决最值问题在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线解决最值问题|巩固提升|1过点 A(3,0)且与 y 轴相切的圆的圆心的轨迹为()A圆B椭圆C直线 D抛物线解析：如图，设 P 为满足条件的一点，不难得出结论：点 P到点 A 的距离等于点 P 到 y 轴的距离，故点 P 在以点 A 为焦点，y 轴为准线的抛物线上，故点 P 的轨迹为抛物线 答案：D2抛物线 y12x2 上的点到焦点的距离的最小值为()A3 B6C.148 D.124解析：将方程化为标准形式是 x2 112y，因为 2p 112，所以p 124.故到焦点的距离最小值为 148.答案：C3抛物线 y212x 上一点 M 的横坐标是 3，纵坐标大于 0，则点 M 到焦点的距离是_解析：y212x 中，2p12，p6，焦点坐标是 F(3,0)方法一 将 x3 代入 y212x 中，得 y236，又 M 的纵坐标大于 0，则 y6，所以 M(3,6)，则|MF|3320626.方法二 由焦半径公式知|MF|3p2336.答案：6