1、第2节 两直线的位置关系考试要求 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直；2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标；3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.知 识 梳 理 1.两条直线平行与垂直的判定(1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l1，l2，其斜率分别为k1，k2，则有l1l2_.特别地，当直线l1，l2的斜率都不存在时，l1与l2_.(2)两条直线垂直 如果两条直线l1，l2斜率都存在，设为k1，k2，则l1l2_，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线_.k1k2平行k1k21垂直2.两直线相交 直线 l1：A1xB1
2、yC10 和 l2：A2xB2yC20 的公共点的坐标与方程组A1xB1yC10，A2xB2yC20的解一一对应.相交方程组有_，交点坐标就是方程组的解；平行方程组_；重合方程组有_.唯一解无解无数个解3.距离公式(1)两点间的距离公式 平面上任意两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离公式为|P1P2|_.特别地，原点O(0，0)与任一点P(x，y)的距离|OP|_.(2)点到直线的距离公式 平面上任意一点P0(x0，y0)到直线l：AxByC0的距离d_.(3)两条平行线间的距离公式 一般地，两条平行直线l1：AxByC10，l2：AxByC20间的距离d_.(x2x1)2(y2
3、y1)2x2y2|Ax0By0C|A2B2|C1C2|A2B24.对称问题(1)点 P(x0，y0)关于点 A(a，b)的对称点为 P_.(2)设点 P(x0，y0)关于直线 ykxb 的对称点为 P(x，y)，则有yy0 xx0k1，yy02kxx02b，可求出 x，y.(2ax0，2by0)常用结论与微点提醒 1.两直线平行的充要条件 直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20平行的充要条件是A1B2A2B10且B1C2B2C10(或A1C2A2C10).2.两直线垂直的充要条件 直线l1：A1xB1yC10与直线l2：A2xB2yC20垂直的充要条件是A1A2B1B20.
4、3.点到直线、两平行线间的距离公式的使用条件(1)求点到直线的距离时，应先化直线方程为一般式.(2)求两平行线之间的距离时，应先将方程化为一般式且x，y的系数对应相等.诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)当直线l1和l2的斜率都存在时，一定有k1k2l1l2.()(2)如果两条直线l1与l2垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交.()(4)直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离.()解析(1)两直线l1，l2有可能重合.(2)如果l1l2，若l1的斜率k10，则l2的斜率不存在.答案(1)(2)
5、(3)(4)2.(老教材必修2P114A10改编)两条平行直线3x4y120与ax8y110之间的距离为()A.235B.2310C.7 D.72解析 由题意知 a6，直线 3x4y120 可化为 6x8y240，所以两平行直线之间的距离为|1124|366472.答案 D3.(老教材必修2P110B1改编)若三条直线y2x，xy3，mx2y50相交于同一点，则m的值为_.解析 由y2x，xy3，得x1，y2.点(1，2)满足方程 mx2y50，即 m12250，m9.答案 9 4.(2019郑州调研)直线2x(m1)y40与直线mx3y20平行，则m()A.2B.3C.2或3D.2或3 解析
6、 直线 2x(m1)y40 与直线 mx3y20 平行，则有2mm13 42，故 m2 或3.答案 C5.(2020南昌重点中学联考)已知直线l1：y2x，则过圆x2y22x4y10的圆心且与直线l1垂直的直线l2的方程为_.解析 由题意可知圆的标准方程为(x1)2(y2)24，所以圆的圆心坐标为(1，2)，由已知得直线 l2的斜率 k12，所以直线 l2的方程为 y212(x1)，即 x2y30.答案 x2y30 6.(一题多解)(2019江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 yx4x(x0)上的一个动点，则点 P 到直线 xy0 的距离的最小值是_.解析 法一 由题意可设 Px
7、0，x04x0(x00)，则点 P 到直线 xy0 的距离 dx0 x04x022x04x0222x0 4x024，当且仅当 2x04x0，即 x0 2时取等号.故所求最小值是 4.法二 设 Px0，4x0 x0(x00)，则曲线在点 P 处的切线的斜率为 k14x20.令 14x201，结合 x00 得 x0 2，P(2，3 2)，曲线 yx4x(x0)上的点 P 到直线 xy0 的最短距离即为此时点 P 到直线 xy0 的距离，故 dmin|23 2|24.答案 4 考点一 两直线的平行与垂直【例1】(1)(2019河北五校联考)直线l1：mx2y10，l2：x(m1)y10，则“m2”是
8、“l1l2”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件(2)(2020西安模拟)已知倾斜角为 的直线 l 与直线 x3y10 垂直，则12cos2 01922 的值为()A.310B.35C.310D.110 解析(1)由l1l2得m(m1)1(2)，得m2或m1，经验证，当m1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m2”是“l1l2”的充要条件.(2)直线 x3y10 的斜率为13，直线 l 的斜率 k3，tan 3，12cos2 01922 12cos32 2 12sin 2122sin cos sin cos sin2cos2 tan tan21 39
9、1 310.答案(1)C(2)C 规律方法 1.当含参数的直线方程为一般式时，若要表示出直线的斜率，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况，同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件.2.在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论.【训练1】(1)若直线ax4y20与直线2x5yb0垂直，垂足为(1，c)，则abc()A.2 B.4 C.6D.8(2)已知三条直线 2x3y10，4x3y50，mxy10 不能构成三角形，则实数 m 的取值集合为()A.43，23B.43，23，43C.43，23D.43，23，23 答案(1)B(2)D
10、 解析(1)由已知得：a4 251，a4c20，25cb0，解得 a10，c2，b12.abc4.(2)由题意得直线 mxy10 与 2x3y10，4x3y50 平行，或者直线 mxy10 过 2x3y10 与 4x3y50 的交点.当直线 mxy10 与 2x3y10，4x3y50 分别平行时，m23或43；当直线 mxy10 过 2x3y10 与 4x3y50 的交点时，m23.所以实数 m 的取值集合为43，23，23.考点二 两直线的交点与距离问题【例2】(1)求经过直线l1：3x2y10和l2：5x2y10的交点，且垂直于直线l3：3x5y60的直线l的方程为_.(2)(2020广州
11、模拟)已知点P(4，a)到直线4x3y10的距离不大于3，则a的取值范围是_.解析(1)先解方程组3x2y10，5x2y10，得 l1，l2 的交点坐标为(1，2)，再由 l3 的斜率35求出 l 的斜率为53，于是由直线的点斜式方程求出 l：y253(x1)，即 5x3y10.(2)由题意得，点 P 到直线的距离为|443a1|5|153a|5.又|153a|53，即|153a|15，解之得 0a10，所以 a 的取值范围是0，10.答案(1)5x3y10(2)0，10 规律方法 1.求过两直线交点的直线方程的方法 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出
12、直线方程.2.利用距离公式应注意：(1)点P(x0，y0)到直线xa的距离d|x0a|，到直线yb的距离d|y0b|；(2)应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等.【训练2】(1)(2020葫芦岛调研)若直线l与两直线y1，xy70分别交于M，N两点，且MN的中点是P(1，1)，则直线l的斜率是()A.23B.23C.32D.32(2)若 P，Q 分别为直线 3x4y120 与 6x8y50 上任意一点，则|PQ|的最小值为()A.95B.185C.2910D.295(3)(一题多解)直线 l 过点 P(1，2)且到点 A(2，3)和点 B(4，5)的距离相等，则直线
13、 l 的方程为_.解析(1)由题意，设直线 l 的方程为 yk(x1)1，分别与 y1，xy70 联立解得 M2k1，1，Nk6k1，6k1k1.又因为 MN 的中点是 P(1，1)，所以由中点坐标公式得 k23.(2)因为3648125，所以两直线平行，由题意可知，|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即|245|6282 2910，所以|PQ|的最小值为2910.(3)法一 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y2k(x1)，即kxyk20.由题意知|2k3k2|k21|4k5k2|k21，即|3k1|3k3|，k13.直线 l 的方程为 y213(x1)，即 x3y50.当直线 l
14、 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x1，也符合题意.当l过AB中点时，AB的中点为(1，4).直线l的方程为x1.故所求直线l的方程为x3y50或x1.答案(1)A(2)C(3)x3y50或x1 法二 当 ABl 时，有 kkAB13，直线 l 的方程为 y213(x1)，即 x3y50.考点三 对称问题 多维探究 角度1 点关于点对称【例 3 1】直 线 x 2y 3 0 关 于 定 点 M(2，1)对 称 的 直 线 方 程 是_.解析 设所求直线上任一点(x，y)，则关于M(2，1)的对称点(4x，2y)在已知直线上，所求直线方程为(4x)2(2y)30，即x2y110.答案 x2y
15、110 规律方法 1.点关于点的对称：点 P(x，y)关于 O(a，b)对称的点 P(x，y)满足x2ax，y2by.2.直线关于点的对称：直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决，也可考虑利用两条对称直线是相互平行的，并利用对称中心到两条直线的距离相等求解.角度2 点关于线对称【例32】如图，已知A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是()A.3 3B.6C.2 10D.2 5 答案 C 解析 直线 AB 的方程为 xy4，点 P(2，0)关于直线 AB 的对称点为 D(4，2)，关于
16、 y 轴的对称点为 C(2，0)，则光线经过的路程为|CD|62222 10.规律方法 1.若点 A(a，b)与点 B(m，n)关于直线 AxByC0(A0，B0)对称，则直线 AxByC0 垂直平分线段 AB，即有nbmaAB 1，Aam2Bbn2 C0.2.几个常用结论(1)点(x，y)关于 x 轴的对称点为(x，y)，关于 y 轴的对称点为(x，y).(2)点(x，y)关于直线 yx 的对称点为(y，x)，关于直线 yx 的对称点为(y，x).(3)点(x，y)关于直线 xa 的对称点为(2ax，y),关于直线 yb 的对称点为(x，2by).角度3 线关于线对称【例 3 3】直 线 2
17、x y 3 0 关 于 直 线 x y 2 0 对 称 的 直 线 方 程 是_.解析 设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于xy20的对称点为P(x0，y0)，由xx02yy0220，xx0（yy0），得x0y2，y0 x2，由点 P(x0，y0)在直线 2xy30 上，2(y2)(x2)30，即x2y30.答案 x2y30 规律方法 求直线l1关于直线l对称的直线l2，有两种处理方法：(1)在直线l1上取两点(一般取特殊点)，利用求点关于直线的对称点的方法求出这两点关于直线l的对称点，再用两点式写出直线l2的方程.(2)设点P(x，y)是直线l2上任意一点，其关于直线l的对称点为P1(
18、x1，y1)(P1在直线l1上)，根据点关于直线对称建立方程组，用x，y表示出x1，y1，再代入直线l1的方程，即得直线l2的方程.【训练3】已知直线l：2x3y10，点A(1，2).求：(1)点A关于直线l的对称点A的坐标；(2)直线m：3x2y60关于直线l的对称直线m的方程；(3)(一题多解)直线l关于点A对称的直线l的方程.解(1)设 A(x，y)，则y2x1231，2x12 3y22 10，解得x3313，y 413，即 A3313，413.(2)在直线 m 上取一点，如 M(2，0)，则 M(2，0)关于直线 l 的对称点必在 m上.设对称点为 M(a，b)，则2a223b0210
19、，b0a2231，解得a 613，b3013，即 M613，3013.设 m 与 l 的交点为 N，则由2x3y10，3x2y60，得 N(4，3).又 m经过点 N(4，3)，由两点式得直线m的方程为9x46y1020.(3)法一 在l：2x3y10上任取两点，如P(1，1)，N(4，3)，则P，N关于点A的对称点P，N均在直线l上.易知P(3，5)，N(6，7)，由两点式可得l的方程为2x3y90.法二 设Q(x，y)为l上任意一点，则Q(x，y)关于点A(1，2)的对称点为Q(2x，4y)，Q在直线l上，2(2x)3(4y)10，即2x3y90.数学抽象活用直线系方程 1.数学抽象素养水
20、平表现为能够在关联的情境中抽象出一般的数学概念和规则，能够将已知数学命题推广到更一般情形.本课时中研究直线方程时常用到直线系方程就是其具体表现之一.2.直线系方程的常见类型(1)过定点P(x0，y0)的直线系方程是：yy0k(xx0)(k是参数，直线系中未包括直线xx0)，也就是平常所提到的直线的点斜式方程；(2)平行于已知直线AxByC0的直线系方程是：AxBy0(是参数且C)；(3)垂直于已知直线AxByC0的直线系方程是：BxAy0(是参数)；(4)过两条已知直线l1：A1xB1yC10和l2：A2xB2yC20的交点的直线系方程是：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(R，但不包括l
21、2).类型1 相交直线系方程【例1】(一题多解)已知两条直线l1：x2y40和l2：xy20的交点为P，求过点P且与直线l3：3x4y50垂直的直线l的方程.解 法一 解 l1与 l2组成的方程组得到交点 P(0，2)，因为 k334，所以直线 l 的斜率 k43，方程为 y243x，即 4x3y60.法二 设所求直线l的方程为：4x3yc0.P(0，2)，将其代入方程，得c6，所以直线l的方程为4x3y60.法三 设所求直线l的方程为：x2y4(xy2)0，即(1)x(2)y420，因为直线l与l3垂直，所以3(1)4(2)0，所以11，所以直线l的方程为4x3y60.类型2 平行直线系方程
22、【例2】已知直线l1与直线l2：x3y60平行，l1与x轴、y轴围成面积为8的三角形，请求出直线l1的方程.解 设直线 l1的方程为：x3yc0(c6)，则令 y0，得 xc；令 x0，得 yc3，依照题意有：12|c|c3 8，c4 3.所以 l1的方程是：x3y4 30.【例3】(一题多解)已知直线方程3x4y70，求与之平行而且在x轴、y轴上的截距和是1的直线l的方程.解 法一 设存在直线 l：xayb1，则 ab1 和ba34组成的方程组的解为 a4，b3.故 l 的方程为：x4y31，即 3x4y120.法二 根据平行直线系方程可设直线 l 为：3x4yc0(c7)，则直线 l 在两
23、坐标轴上截距分别对应的是c3，c4，由c3c41，知 c12.故直线 l 的方程为：3x4y120.类型3 垂直直线系方程【例4】求经过A(2，1)，且与直线2xy100垂直的直线l的方程.解 因为所求直线与直线2xy100垂直，所以设该直线方程为x2yc0，又直线过点A(2，1)，所以有221c0，解得c0，即所求直线方程为x2y0.类型4 直线系方程的应用【例5】求过直线2x7y40与7x21y10的交点，且和A(3，1)，B(5，7)等距离的直线方程.解 设所求直线方程为2x7y4(7x21y1)0，即(27)x(721)y(4)0，由点A(3，1)，B(5，7)到所求直线等距离，可得|(27)(3)(721)14|(27)2(721)2|(27)5(721)74|(27)2(721)2，整理可得|433|11355|，解得 2935或 13，所以所求的直线方程为 21x28y130 或 x1.
