1、第3节 定积分与微积分基本定理考试要求 1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念，几何意义；2.了解微积分基本定理的含义.知 识 梳 理 1.定积分的概念与几何意义(1)定积分的定义 如果函数 f(x)在区间a，b上连续，用分点将区间a，b等分成 n 个小区间，在每个小区间上任取一点i(i1，2，n)，作和式ni1 f(i)xni1ban f(i)，当 n时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数 f(x)在区间a，b上的定积分，记作_，即abf(x)dx_.abf(x)dxni1ban f(i)在abf(x)dx 中，_分别叫做积分下限与积分上限，区间a，b叫做
2、积分区间，函数_叫做被积函数，_叫做积分变量，_叫做被积式.(2)定积分的几何意义a，bf(x)xf(x)dxf(x)f(x)0 表示由直线xa，xb，y0及曲线yf(x)所围成的_的面积 f(x)0 表示由直线xa，xb，y0及曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积的_ f(x)在a，b上有正有负 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积_位于x轴下方的曲边梯形的面积 曲边梯形相反数减去abf(x)dx 的几何意义2.定积分的性质(1)abkf(x)dx_(k 为常数).(2)abf1(x)f2(x)dx_.(3)abf(x)dx_cbf(x)dx(其中 acb).kabf(x)dxabf1(x)dx
3、abf2(x)dxacf(x)dx3.微积分基本定理 一般地，如果 f(x)是在区间a，b上的连续函数，且 F(x)f(x)，那么abf(x)dx_.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼茨公式.可以把F(b)F(a)记为 F(x)ba，即abf(x)dxF(x)ba_.F(b)F(a)F(b)F(a)常用结论与微点提醒 1.定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分的结果可以为负.2.函数f(x)在闭区间a，a上连续，则有(1)若 f(x)为偶函数，则aa f(x)dx20af(x)dx.(2)若 f(x)为奇函数，则aa f(x)dx0.诊 断 自 测 1.判断下
4、列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)设函数 yf(x)在区间a，b上连续，则abf(x)dxabf(t)dt.()(2)曲线 yx2 与 yx 所围成的面积是01(x2x)dx.()(3)若abf(x)dx0，那么由 yf(x)，xa，xb 以及 x 轴所围成的图形一定在 x 轴下方.()(4)定积分abf(x)dx 一定等于由 xa，xb，y0 及曲线 yf(x)所围成的曲边梯形的面积.()(5)加速度对时间的积分是路程.()(5)加速度对时间的积分是速度，速度对时间的积分才是路程.答案(1)(2)(3)(4)(5)解析(2)yx2与 yx 所围成的面积是01(xx2)dx.(3)若ab
5、f(x)dx0，那么由 yf(x)，xa，xb 以及 x 轴所围成的图形在 x 轴下方的面积比在 x 轴上方的面积大.(4)定积分abf(x)dx 等于由 xa，xb，y0 及曲线 yf(x)所围成图形的面积的代数和.2.(老教材选修 22P50A5 改编)定积分11|x|dx()A.1B.2C.3D.4 解析 11|x|dx10(x)dx01xdx201xdxx2101.答案 A 3.(老教材选修22P60A6改编)已知质点的速度v10t，则从t0到tt0质点所经过的路程是()A.10t20B.5t20C.103 t20D.53t20 解析 S0t0vdt0t010tdt5t2t005t20
6、.答案 B4.(2020贵阳一中月考)若 a02x2dx，b02x3dx，c02sin xdx，则 a，b，c 的大小关系是()A.acbB.abcC.cbaD.cab 解析 由微积分基本定理得 a02x2dx13x32083，b02x3dx14x4204，c02sin xdx(cos x)201cos 22，则 ca0，若曲线 y x与直线 xa，y0 所围成封闭图形的面积为a2，则 a_.解析 封闭图形如图所示，则0a xdx23x32a023a32a2，解得 a49.答案 496.(2020长沙一中月考)定积分22(4x2x)dx_.解析 224x2dx 表示圆 x2y24 在 x 轴及
7、其上方的面积.224x2dx12222.又22 xdx0，故22(4x2x)dx202.答案 2考点一 定积分的计算【例 1】(1)0(sin xcos x)dx_.(2)设 f(x)x2，x0，1，1x，x（1，e(e 为自然对数的底数)，则0ef(x)dx 的值为_.解析(1)原式0sin xdx0cos xdxcos x0sin x0202.(2)0ef(x)dx01x2dx1e1xdxx33 10ln xe113143.答案(1)2(2)43规律方法 运用微积分基本定理求定积分时要注意以下几点：(1)对被积函数要先化简，再求积分；(2)若被积函数为分段函数，依据定积分“对区间的可加性”
8、，先分段积分再求和；(3)对于含有绝对值符号的被积函数，要先去掉绝对值符号再求积分.【训练 1】(1)设 f(x)x2，x0，1，2x，x（1，2，则02f(x)dx 等于()A.34B.45C.56D.不存在(2)定积分11(x2sin x)dx_.解析(1)如图，02f(x)dx01x2dx12(2x)dx13x3102x12x2211342212 56.(2)11(x2sin x)dx11 x2dx11 sin xdx201x2dx2x33|1023.答案(1)C(2)23考点二 定积分的几何意义 多维探究 角度1 利用定积分的几何意义计算定积分【例 21】(1)(2020吉安五校联考)
9、11(1x2xcos x)dx_.(2)若2mx22x dx4，则 m_.解析(1)11(1x2xcos x)dx111x2dx11 xcos xdx.111x2dx 表示位于 x 轴上方半圆 x2y21 的面积，111x2dx2，又 txcos x 为奇函数，知11 xcos xdx0，11(1x2xcos x)dx2.(2)根据定积分的几何意义2mx22x dx 表示圆(x1)2y21 和直线 x2，xm 和 y0 围成的图形的面积，又2mx22x dx4为四分之一圆的面积，结合图形知 m1.答案(1)2(2)1角度2 利用定积分计算平面图形的面积【例22】(一题多解)由抛物线y22x与直
10、线yx4围成的平面图形的面积为_.解析 如图所示，解方程组y22x，yx4，得两交点为(2，2)，(8，4).法一 选取横坐标 x 为积分变量，则图中阴影部分的面积 S 可看作两部分面积之和，即 S202 2xdx28(2xx4)dx18.法二 选取纵坐标 y 为积分变量，则图中阴影部分的面积S24y412y2 dy18.答案 18 规律方法 1.运用定积分的几何意义求定积分，当被积函数的原函数不易找到时常用此方法求定积分.2.利用定积分求曲边梯形面积的基本步骤：画草图、解方程得积分上、下限，把面积表示为已知函数的定积分(注意：两曲线的上、下位置关系，分段表示的面积之间的关系).【训练 2】(
11、1)(角度 1)(2020合肥模拟)02(4x2x)dx_.(2)(角度 2)曲线 y2x与直线 yx1，x1 所围成的封闭图形的面积为()A.2ln 2 B.2ln 212C.2ln 2 D.2ln 212 解析(1)02(4x2x)dx02 4x2dx02xdx，令 y 4x2(y0)，得 x2y24.又圆 x2y24 的面积为 4，由定积分的几何意义可得，02 4x2dx，由于02xdx12x2|202，02(4x2x)dx2.(2)解方程组y2x，yx1，得x2，y1，则曲线 y2x与直线 yx1，x1 所围成的封闭图形如图所示，所求的面积 S122xx1 dx2ln x12x2x21
12、(2ln 222)0121 2ln 212.答案(1)2(2)B考点三 定积分在物理中的应用【例3】(1)物体A以v3t21(m/s)的速度在一直线l上运动，物体B在直线l上，且在物体A的正前方5 m处，同时以v10t(m/s)的速度与A同向运动，出发后，物体A追上物体B所用的时间t(s)为()A.3B.4C.5D.6(2)设变力F(x)作用在质点M上，使M沿x轴正向从x1运动到x10，已知F(x)x21且方向和x轴正向相同，则变力F(x)对质点M所做的功为_ J(x的单位：m，力的单位：N).解析(1)因为物体 A 在 t 秒内行驶的路程为0t(3t21)dt，物体 B 在 t 秒内行驶的路
13、程为0t10tdt.所以0t(3t2110t)dt(t3t5t2)t0t3t5t25.整理得(t5)(t21)0，解得 t5.(2)变力 F(x)x21 使质点 M 沿 x 轴正向从 x1 运动到 x10 所做的功为 W110F(x)dx110(x21)dx13x3x101 342(J).答案(1)C(2)342 规律方法 定积分在物理中的两个应用(1)变速直线运动的位移：如果变速直线运动物体的速度为 vv(t)，那么从时刻 ta到 tb 所经过的位移 sabv(t)dt.(2)变力做功：一物体在变力 F(x)的作用下，沿着与 F(x)相同方向从 xa 移动到xb 时，力 F(x)所做的功是
14、WabF(x)dx.【训练 3】(1)一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t)73t 251t(t 的单位：s，v 的单位：m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是()A.125ln 5 B.825ln 113C.425ln 5 D.450ln 2(2)一物体在力 F(x)2，（0 x2）2x2，（x2）(单位：N)的作用下沿与力 F 相同的方向，从x0 处运动到 x4(单位：m)处，则力 F(x)做的功为_ J.解析(1)令 v(t)0，得 t4 或 t83(舍去)，汽车行驶距离 s0473t 251t dt7t32t225ln（1t）40282425ln 5425ln 5(m).(2)从 x0 处运动到 x4(单位：m)处，力 F(x)做的功为022dx24(2x2)dx2x|20(x22x)|4212(J).答案(1)C(2)12