1、第2节 导数在研究函数中的应用考试要求 1.了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数不超过三次)；2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次)；3.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程(不等式)问题；4.会利用导数解决某些简单的实际问题.知 识 梳 理 单调递增1.函数的单调性与导数的关系 函数yf(x)在某个区间内可导，则：(1)若f(x)0，则f(x)在这个区间内_；(2)若f(x)大小大小3
2、.函数的最值与导数(1)函数f(x)在a，b上有最值的条件 如果在区间a，b上函数yf(x)的图象是一条_的曲线，那么它必有最大值和最小值.(2)求yf(x)在a，b上的最大(小)值的步骤 求函数yf(x)在(a，b)内的_；将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中_的一个是最大值，_的一个是最小值.连续不断极值最大最小常用结论与微点提醒 1.若函数f(x)在区间(a，b)上递增，则f(x)0，所以“f(x)0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上单调递增”的充分不必要条件.2.对于可导函数f(x)，“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的必要不
3、充分条件.3.求最值时，应注意极值点与所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值.4.函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系.诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f(x)0.()(2)如果函数f(x)在某个区间内恒有f(x)0，则f(x)在此区间内没有单调性.()(3)函数的极大值一定大于其极小值.()(4)对可导函数f(x)，若f(x0)0，则x0为极值点.()(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值.()解析(1)f
4、(x)在(a，b)内单调递增，则有f(x)0.(3)函数的极大值也可能小于极小值.(4)x0为f(x)的极值点的充要条件是f(x0)0，且x0两侧导函数异号.答案(1)(2)(3)(4)(5)2.(老教材选修22P32A4 改编)如图是f(x)的导函数f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A.1B.2C.3D.4 解析 由题意知在x1处f(1)0，且其两侧导数符号为左负右正.答案 A 3.(老教材选修22P26练习T1改编)函数f(x)x22ln x的单调递减区间是()A.(0，1B.1，)C.(，1D.1，0)(0，1 解析 由题意知 f(x)2x2x2x22x(x0)，由 f(x
5、)0，得 0 x1.答案 A4.(2017浙江卷)函数yf(x)的导函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x)的图象可能是()解析 设导函数yf(x)与x轴交点的横坐标从左往右依次为x1，x2，x3，由导函数yf(x)的图象易得当x(，x1)(x2，x3)时，f(x)0(其中x10 x20，由 f(x)x9x0，得 00，a13，解得 1a2.答案 A解析 f(x)x24，x0，3，当x0，2)时，f(x)0，所以f(x)在0，2)上是减函数，在(2，3上是增函数.又f(0)m，f(3)3m.所以在0，3上，f(x)maxf(0)4，所以m4.答案 4 6.(2020成都七中月考)若函数
6、f(x)13x34xm 在0，3上的最大值为 4，m_.第一课时 导数与函数的单调性(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)0，求a的取值范围.解(1)函数f(x)的定义域为(，)，且a0.f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa).若a0，则f(x)e2x，在(，)上单调递增.考点一 讨论函数的单调性【例1】(2017全国卷改编)已知函数f(x)ex(exa)a2x，其中参数a0.若 a0，则由 f(x)0，得 xln a2.当 x，lna2 时，f(x)0.故 f(x)在，lna2 上单调递减，在区间lna2，上单调递增.(2)当a0时，f(x)e2x0恒成立.若 aa2e34时
7、，f(x)0.综上，a 的取值范围是2e34，0.规律方法 1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点.2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)x3，f(x)3x20(f(x)0在x0时取到)，f(x)在R上是增函数.【训练1】已知函数f(x)axln x(aR).(1)若a2，求曲线yf(x)在x1处的切线方程；(2)求f(x)的单调区间.解(1)当 a2 时，由已知得 f(x)21x(x0)，f(1)213，且 f(1)2，所以切线斜率 k3.所以切线方程为
8、y23(x1)，即3xy10.故曲线yf(x)在x1处的切线方程为3xy10.(2)由已知得 f(x)a1xax1x(x0)，当a0时，由于x0，故ax10，f(x)0，所以f(x)的单调递增区间(0，).当 a0，在区间1a，上，f(x)0.h(x)1xax2.则当 x0 时，1xax21x22x有解.设 G(x)1x22x，所以只要 aG(x)min.又 G(x)1x121，所以 G(x)min1.所以 a1.即实数 a 的取值范围是(1，).(1)若函数h(x)在(0，)上存在单调减区间，(2)由 h(x)在1，4上单调递减，当 x1，4时，h(x)1xax20 恒成立，则 a1x22x
9、恒成立，设 G(x)1x22x，所以 aG(x)max.又 G(x)1x121，因为 x1，4，所以1x14，1，所以 G(x)maxG14 716(此时 x4)，所以 a 716.又当 a 716时，h(x)1x 716x2（7x4）（x4）16x，x1，4，h(x)（7x4）（x4）16x0，当且仅当x4时等号成立.h(x)在1，4上为减函数.故实数 a 的取值范围是 716，.【迁移1】本例(2)中，若函数h(x)f(x)g(x)在1，4上单调递增，求a的取值范围.解 因为h(x)在1，4上单调递增，所以当x1，4时，h(x)0恒成立，所以当 x1，4时，a1x22x恒成立，又当 x1，
10、4时，1x22x min1(此时 x1)，所以 a1，即 a 的取值范围是(，1.【迁移2】本例(2)中，若函数h(x)在区间1，4上不单调，求实数a的取值范围.解 h(x)在区间1，4上不单调，h(x)0在开区间(1，4)上有解.则 a1x22x1x121 在(1，4)上有解.令 m(x)1x121，x(1，4)，易知 m(x)在(1，4)上是增函数，1m(x)716，因此实数 a 的取值范围是1，716.规律方法 1.(1)已知函数的单调性，求参数的取值范围，应用条件f(x)0(或f(x)0)，x(a，b)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立的理论求解)，应注意参数的取值是f(
11、x)不恒等于0的参数的范围.(2)如果能分离参数，则尽可能分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系.2.若函数yf(x)在区间(a，b)上不单调，则转化为f(x)0在(a，b)上有解.【训练 2】(2020赣州联考)已知函数 f(x)ln x，g(x)12axb.(1)若 f(x)与 g(x)的图象在 x1 处相切，求 g(x)；(2)若(x)m（x1）x1f(x)在1，)上是减函数，求实数 m 的取值范围.解(1)由已知得 f(x)1x，所以 f(1)112a，所以 a2.又因为 g(1)12abf(1)0，所以 b1.所以 g(x)x1.(2)因为(x)m（x1）x1f(x)m（x1）x
12、1ln x 在1，)上是减函数.所以(x)x2（2m2）x1x（x1）20 在1，)上恒成立，即 x2(2m2)x10 在1，)上恒成立，则 2m2x1x，x1，)，因为 x1x2，当且仅当 x1 时取等号，所以 2m22，即 m2.故实数m的取值范围是(，2.考点三 函数单调性的简单应用 多维探究 角度1 比较大小【例 31】(1)已知函数 yf(x)对于任意的 x0，2 满足 f(x)cos xf(x)sin x1ln x，其中 f(x)是函数 f(x)的导函数，则下列不等式成立的是()A.2f3 f4C.2f6 3f4D.2f3 f6(2)已知定义域为 R 的奇函数 yf(x)的导函数为
13、 yf(x)，当 x0 时，xf(x)f(x)0，若 af（e）e，bf（ln 2）ln 2，cf（3）3，则 a，b，c 的大小关系正确的是()A.abcB.bcaC.acbD.cab 解析(1)令 g(x)f（x）cos x，则 g(x)f（x）cos xf（x）（sin x）cos2x1ln xcos2x.由0 x0，解得1ex2；由0 x2，g（x）0，解得 0 x4，所以 g3 g4，所以f3cos 3f4cos 4，即 2f3 f4.(2)设 g(x)f（x）x，则 g(x)xf（x）f（x）x2，因为当x0时，xf(x)f(x)0，所以g(x)0.所以g(x)在(0，)上是减函数
14、.由f(x)为奇函数，知g(x)为偶函数，则g(3)g(3)，又ag(e)，bg(ln 2)，cg(3)g(3)，所以g(3)g(e)g(ln 2)，即f（3）3f（e）ef（ln 2）ln 2，故 caf（x）ln 2 成立，若 f(2)2，则不等式 f(x)2x1的解集为()A.(2，)B.(2，)C.(，2)D.(，2)解析 f(x)f（x）ln 2 f(x)ln 2f(x)2x1f（x）2x12g(2)，所以 x2.g(x)0，则g(x)在(，)上是减函数.由f(2)2，且f(x)在R上是奇函数，答案 D规律方法 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问
15、题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小.2.与抽象函数有关的不等式，要充分挖掘条件关系，恰当构造函数；题目中若存在f(x)与f(x)的不等关系时，常构造含f(x)与另一函数的积(或商)的函数，与题设形成解题链条，利用导数研究新函数的单调性，从而求解不等式.【训练3】(1)(角度1)已知f(x)是定义在区间(0，)内的函数，其导函数为f(x)，且不等式xf(x)2f(x)恒成立，则()A.4f(1)f(2)C.f(1)4f(2)(2)(角度2)f(x)是定义在R上的偶函数，当x0时，f(x)2x.若f(a2)f(a)44a，则实数a的取值范围是()A.(，1B.1，)C.(，2D.2，)解析(1)设函数 g(x)f（x）x2(x0)，则 g(x)x2f（x）2xf（x）x4xf（x）2f（x）x3g(2)，即f（1）12f（2）22，所以 4f(1)f(2).(2)令G(x)f(x)x2，则G(x)f(x)2x.当x0，)时，G(x)f(x)2x0.G(x)在0，)上是增函数.由f(a2)f(a)44a，得f(a2)(a2)2f(a)a2，即G(a2)G(a)，又f(x)是定义在R上的偶函数，知G(x)是偶函数.故|a2|a|，解之得a1.答案(1)B(2)A