1、第五章计数原理4二项式定理4.1二项式定理的推导课后篇巩固提升合格考达标练1.(x+2)6的展开式中x3的系数是()A.20B.40C.80D.160答案D解析设含x3的项为第k+1项,则Tk+1=C6kx6-k2k,令6-k=3,得k=3,故展开式中x3的系数为C6323=160.2.二项式3x+12x8的展开式的常数项是()A.7B.14C.52D.54答案A解析该二项式的通项为Tk+1=C8kx8-k312xk=12kC8kx8-4k3.令8-4k3=0,解得k=2,所以所求常数项为122C82=7.3.(x-2y)10的展开式中x6y4的系数是()A.840B.-840C.210D.-
2、210答案A解析在二项式通项Tk+1=C10k(-2y)kx10-k中,令k=4,即得(x-2y)10的展开式中x6y4项的系数为C104(-2)4=840.4.(1-x)20的二项展开式中,x的系数与x9的系数之差为()A.190B.380C.-190D.0答案D解析(1-x)20的二项展开式的通项为Tk+1=(-1)kC20kxk2,x的系数为C202=190,x9的系数为C2018=C202=190,所以它们的差为0.5.在x-12x5的展开式中,x2的系数为.答案52解析x-12x5的展开式的通项Tk+1=C5kx5-k-12xk=-12kC5kx5-3k2,令5-32k=2,得k=2
3、,所以x2的系数为-122C52=52.6.(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为(用数字作答).答案-20解析x2y7=x(xy7),其系数为C87,x2y7=y(x2y6),其系数为-C86,x2y7的系数为C87-C86=8-28=-20.7.x-123x10的展开式中,常数项的值为.答案105328.求证:32n+2-8n-9(nN+)能被64整除.证明32n+2-8n-9=(8+1)n+1-8n-9=Cn+108n+1+Cn+118n+Cn+1n+1-8n-9=Cn+108n+1+Cn+118n+Cn+1n-182+Cn+1n8+1-8n-9=Cn+108n+1+Cn+11
4、8n+Cn+1n-182.该式每一项都含因式82,故能被64整除.9.已知在x+2x2n的展开式中,第5项的系数与第3项的系数之比为563,求展开式中的常数项.解T5=Cn4(x)n-424x-8=16Cn4xn2-10,T3=Cn2(x)n-222x-4=4Cn2xn2-5.由题意知,16Cn44Cn2=563,解得n=10.原二项式的通项为Tk+1=C10k(x)10-k2kx-2k=2kC10kx5-5k2,令10-5k2=0,解得k=2,展开式中的常数项为C10222=180.等级考提升练10.(2020河南郑州期中)已知(2-x)10=a0+a1x+a2x2+a10x10,则a8等于
5、()A.180B.-180C.45D.-45答案A解析a8=C10822=180.11.(2020河北保定期中)若(1+3x)n(nN+)的展开式中,第3项的二项式系数为6,则第4项的系数为()A.4B.27C.36D.108答案D解析(1+3x)n展开式的第k+1项为Tk+1=Cnk(3x)k,由Cn2=6,得n=4,从而T4=C43(3x)3,故第4项的系数为C4333=108.12.(2020山西太原一中月考)(x-2y)6的展开式中,x4y2的系数为()A.15B.-15C.60D.-60答案C解析(x-2y)6展开式的第k+1项为Tk+1=C6kx6-k(-2y)k,令k=2,则x4
6、y2的系数为C62(-2)2=60.13.(1+3x)n(其中nN+,且n6)的展开式中,若x5与x6的系数相等,则n等于()A.6B.7C.8D.9答案B解析二项式(1+3x)n的通项是Tk+1=Cnk(3x)k=3kCnkxk,依题意得35Cn5=36Cn6,即n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)5!=3n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)(n-5)6!(n6),解得n=7.14.(多选题)若(2-x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,则()A.a0=64B.a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6=1C.a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=36D.a3是a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6中的最大值答案ABC解析(2-x)6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6,令x=0,有26=a0=64,故选项A正确;令x=1,有(2-1)6=1=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6,故选项B正确;令x=-1,有(2+1)6=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=36,故选项C正确;又a3=C6323(-1)30,m=2.