1、第2课时双曲线的简单性质Q 凉水塔的纵切面是双曲线，双曲线是非常优美的曲线，也是我们的生产生活经常用到的曲线，因此，我们有必要探究其有怎样的特性X 1双曲线是以x轴、y轴为对称轴的_轴对称_图形；也是以原点为对称中心的_中心对称_图形，这个对称中心叫作_双曲线的中心_.2双曲线与它的对称轴的两个交点叫作双曲线的_顶点_，双曲线1(a0，b0)的顶点是_(a,0)_，这两个顶点之间的线段叫作双曲线的_实轴_，它的长等于_2a.同时在另一条对称轴上作点B1(0，b)，B2(0，b)，线段B1B2叫作双曲线的_虚轴_，它的长等于_2b_，a、b分别是双曲线的_实半轴长_和_虚半轴长_.3双曲线1(a
2、0，b0)的渐近线方程为_yx_.双曲线1(a0，b0)的渐近线方程为_yx_.4双曲线的半焦距c与实半轴a的比叫作双曲线的_离心率_，其范围是_(1，)_.Y 1双曲线y21的实轴长为(A)A4B2CD1解析双曲线1的实轴长为2a，双曲线y21的实轴长为2a4.2(2019浙江卷，2)渐近线方程为xy0的双曲线的离心率是(C)AB1CD2解析由题意可得1， e.故选C3(山东潍坊20182019学年高二期末)双曲线方程为y21，则渐近线方程为(A)AyxBy2xCyxDyx解析双曲线方程为y21，则渐近线方程为y20，即yx，故选A4若双曲线1与椭圆1有共同的焦点，且a0，则a的值为(A)A
3、5BCD5(北京理，10)已知双曲线y21(a0)的一条渐近线为xy0，则a_.解析双曲线y21(a0)的渐近线方程为yx，xy0yx，a0，则，a.H 命题方向1根据双曲线的方程研究其性质典例1求双曲线9y216x2144的实半轴和虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程思路分析双曲线方程双曲线的标准方程a，b，c的值结果解析将方程9y216x2144化为标准方程1，由此可知，实半轴长a4，虚半轴长b3，c5，焦点的坐标是(0，5)，(0,5)，渐近线方程为xy，即yx.总结反思由双曲线的标准方程求双曲线的有关性质的步骤是：首先将双曲线方程化为标准形式1或1，确定a，b的值，进而求出c，再根据双曲线的
4、几何性质得到相应的答案，这里特别提出的是双曲线1的渐近线为yx，双曲线1的渐近线为yx，应区分两双曲线的渐近线的异同如果要求画出几何图形，首先画出两条渐近线和顶点，然后根据双曲线的变化趋势，便可画出双曲线的近似图形跟踪练习1求双曲线4x2y24的顶点坐标、焦点坐标、实半轴长、虚半轴长、离心率和渐近线方程分析先将双曲线的形式化为标准方程，再根据其性质的定义依次求解解析将4x2y24变形为x21，即1.a1，b2，c.因此顶点为A1(1,0)，A2(1,0)；焦点为F1(，0)，F2(，0)；实半轴长是a1，虚半轴长是b2；离心率e；渐近线方程为y2x.命题方向2由双曲线的性质求标准方程典例2(1
5、)已知双曲线的焦点在y轴上，实轴长与虚轴长之比为23，且经过点P(，2)，求双曲线方程；(2)已知双曲线的焦点在x轴上，离心率为，且经过点M(3,2)，求双曲线方程；(3)已知双曲线的渐近线方程为yx，焦距为10，求双曲线方程解析(1)设双曲线方程为1(a0，b0)由题意知.又双曲线过点P(，2)，1，依题意可得解得故所求双曲线方程为y2x21.(2)设所求双曲线方程为 1(a0，b0)e，e21，.由题意得解得所求的双曲线方程为1.(3)法一：当焦点在x轴上时，设所求双曲线方程为1，由渐近线方程为yx得，2c10，由c2a2b2得a220，b25.双曲线方程为1.同理，当焦点在y轴上时，可得
6、双曲线方程为1.即所求双曲线方程为1或1.法二：由渐近线方程为yx可设双曲线方程为y2(0)，即1.由a2b2c2得|4|25，即5.所求双曲线方程为1或1.规律方法1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位定式定量”三个步骤当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx2ny21(mn0)，从而直接求得2根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程渐近线为yx的双曲线方程可设为：(0)；如果两条渐近线的方程为AxBy0，那么双曲线的方程可设为A2x2B2y2m(m0)；与双曲线1共渐近线的双曲线方程可设为(0
7、)跟踪练习2求适合下列条件的双曲线的标准方程(1)实轴长为16，离心率为；(2)顶点间的距离为6，渐近线为yx.分析由双曲线的几何性质，列出关于a、b、c的方程，求出a、b、c的值解析(1)设双曲线的标准方程为1或1(a0，b0)，由题意知2a16，c2a2b2，解得c10，a8，b6，所以双曲线的标准方程为1或1.(2)方法一：当焦点在x轴上时，a3，b，双曲线标准方程为1；当焦点在y轴上时，a3，b2，双曲线标准方程为1.方法二：设双曲线方程为(0)，当0时，a24，2a26，解得；当0，b0)的两个焦点，圆(xc)2y24c2与双曲线C位于x轴上方的两个交点分别为M，N，若F1MF2N，
8、则双曲线C的离心率为_.思路分析连接NF1，MF2，由双曲线的定义，可得|NF1|2ac，|MF1|2c2a，在MF1F2和NF1F2中，表示出cosMF1F2，cosNF2F1，由F1MF2N，可得MF1F2NF2F1，即有cosMF1F2cosNF2F10，化简整理，由离心率公式计算即可得到所求值解析如图，连接NF1，MF2，由双曲线的定义，可得|MF2|MF1|2a，|NF1|NF2|2a，由|MF2|NF2|2c，可得|NF1|2a2c，|MF1|2c2a，在等腰MF1F2中，可得cosMF1F2，在NF1F2中，可得cosNF2F1，由F1MF2N，可得MF1F2NF2F1，即有co
9、sMF1F2cosNF2F10，可得0，化为2c23aca20，得2e23e10，解得e或e(舍去)规律总结1.求双曲线的离心率，常常利用已知条件列出关于a、b、c的等式，利用a2b2c2消去b化为关于a、c的齐次式，再利用e化为e的方程求解2学习双曲线中应注意的几个问题：(1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线；(2)双曲线只有两个顶点，离心率e1；(3)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率为，实轴长与虚轴长相等，两条渐近线互相垂直；(4)注意双曲线中a、b、c、e的等量关系与椭圆中a、b、c、e的不同跟踪练习3(2019全国卷文，10)双曲线C：1(a0，b0)的一条渐近线的倾
10、斜角为130，则C的离心率为(D)A2sin40B2cos40CD解析由题意可得tan130，所以e .故选D命题方向4最值问题典例4设双曲线中心是坐标原点，实轴在y轴上，离心率为，已知点P(0,5)到这双曲线上的点的最近距离是2，求双曲线方程解析设双曲线方程为1(a0，b0)，因为离心率e，所以a2b，所以所求双曲线方程为x2b2.设Q(x，y)为双曲线上一点，依题意|PQ|，其中y2b，若2b4，当y4时，|PQ|最小2.从而，5b24，即b21，双曲线方程为x21.若2b4，当y2b时，|PQ|最小2，从而(2b4)25b24，所以b或b(与b2矛盾)所以双曲线方程为1.故所求双曲线方程
11、为x21或1.跟踪练习4已知F是双曲线C：x21的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)当APF周长最小时，该三角形的面积为_12_.解析依题意，双曲线C：x21的右焦点为F(3,0)，实半轴长a1，左焦点为M(3,0)，因为P在C的左支上，所以APF的周长|AP|PF|AF|PF|AF|AM|PM|AF|AM|2a1515232，当且仅当A，P，M三点共线且P在A，M中间时取等号，此时直线AM的方程为1，与双曲线的方程联立得P的坐标为(2，2)，此时，APF的面积为666212.故填12.X 双曲线离心率取值范围问题 在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：与已知范围联系，
12、通过求值域或解不等式来完成；通过判别式求解；利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；利用解析式的结构特点，如a，|a|等非负性求解典例5已知双曲线的中心在原点，焦点x轴上，它的一条渐近线与x轴的夹角为，且，则双曲线的离心率的取值范围是(B)A(1，)B(，2)C(1,2)D(2,2)思路分析先表示出渐近线方程，利用求得tan，根据的范围确定tan范围，进而确定的范围，同时利用c转化成a和c的不等式关系求得的范围，即离心率的范围解析双曲线的焦点在x轴上，故其渐近线方程为yx，则tan.，1tan，即1，13，求得1，b1)的焦距为2c，直线l过点(a,0)和(0，b)，且点(1,0)到直线l的距离
13、与点(1,0)到直线l的距离之和sc.则双曲线的离心率e的取值范围为_，_.解析直线l的方程为1，即bxayab0.由点到直线的距离公式，且a1，得到点(1,0)到直线l的距离d1，点(1,0)到直线l的距离d2，sd1d2.由sc，得c，即5a2c2.于是得52e2，即4e425e2250.解不等式，得e25，由于e1，所以e的取值范围是e.故填，Y 典例6双曲线的渐近线方程为yx，则离心率为()ABC或D或错解解：由双曲线的渐近线方程为yx，得，所以e，故选A辨析错误的根本原因是误以为焦点只能在x轴上，造成失解实际上本题应该有两种情况正解当焦点在x轴上时，e，当焦点在y轴上时，e，故选CK
14、 1双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于(A)AB4C4D解析双曲线方程化为标准形式：y21，则有：a21，b2，由题设条件知，2，m.2(福州市八县市协作校20182019学年期末)已知双曲线C：1(a0，b0)的离心率为，则C的渐近线方程为(C)AyxByxCyxDyx解析e，故，即，故渐近线方程为yxx.3(2019北京文，5)已知双曲线y21(a0)的离心率是，则a(D)AB4C2D解析由双曲线方程y21，得b21， c2a21. 5e21.结合a0，解得a.故选D4与双曲线1有公共焦点，且过点(3，2)的双曲线的标准方程为_1_.解析解法一：设双曲线方程为1(a0，b0)，由题意，易求c2.又双曲线过点(3，2)，1.又a2b2(2)2，a212，b28.故所求双曲线方程为1.解法二：设双曲线方程为1，(4k16)，将点(3，2)代入得k4，故所求双曲线方程为1.5双曲线1(a0，b0)，过焦点F1的弦AB(A、B在双曲线的同支上)长为m，另一焦点为F2，求ABF2的周长解析|AF2|AF1|2a，|BF2|AF1|2a，(|AF2|AF1|)(|BF2|BF1|)4a，又|AF1|BF1|AB|m，|AF2|BF2|4a(|AF1|BF1|)4am.ABF2的周长等于|AF2|BF2|AB|4a2m.
