1、2015-2016学年江苏省扬州市宝应县高一（下）期中数学试卷一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1不等式（3+x）（2x）0的解集为2已知sin=，（，），则cos（）=3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=，则B=4设等比数列an的公比q=2，前n项和为Sn，则=5关于x的不等式x2+（a+1）x+ab0的解集是x|x1或x4，则实数a+b的值为6已知每项均大于零的数列an中，首项a1=1且前n项和Sn满足SnSn1=2（nN*且n2），则a81=7化简： =8已知三角形的三条边成公差为2的等差数列，且它的最大角
2、的正弦值为，则这个三角形的面积为9已知：（1）（2）（3）（4）y=42x+2x（5）y=log3x+4logx3（0x1）则其中最小值是4的函数有 （填入正确命题的序号）10在ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，则ABC的形状是11已知锐角三角形三边分别为3，4，a，则实数a的取值范围为12已知正数x，y满足x+2y=2，则的最小值为13某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若最初生产出的溶液含杂质2%，需要进行过滤，且每过滤一次可使杂质含量减少，则要使产品达到市场要求至少应过滤次14设y=f（x）是一次函数，f（0）=1，且f（1），f（4），f（13
3、）成等比数列，则f（2）+f（4）+f（2n）=二、解答题：（本大题共6道题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15在ABC中，角B为锐角，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量，且向量共线（1）求角B的大小；（2）如果b=1，且，求a+c的值16已知函数（1）求的值；（2）在ABC中，若f（）=1，求sinB+sinC的最大值17已知函数f（x）=ax2+bxa+2（1）若关于x的不等式f（x）0的解集是（1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a0，解关于x的不等式f（x）018已知an是首项为1，公比为q的等比数列，且a4，a6，a5成等差数列（）求an
4、的前n项和Sn；（）设bn是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Tn，当n2时，比较Tn与bn的大小，并说明理由19某沿海地区共有100户农民从事种植业，据调查，每户年均收入为m万元为了调整产业结构，当地政府决定动员部分种植户从事水产养殖据估计，如果能动员x（x0）户农民从事水产养殖，那么剩下从事种植的农民每户年均收入有望提高2x%，从事水产养殖的农民每户年均收入为（a0）万元（）在动员x户农民从事水产养殖后，要使从事种植的农民的年总收入不低于动员前从事种植的年总收入，试求x的取值范围；（）在（）的条件下，要使这100户农民中从事水产养殖的农民的年总收入始终不高于从事种植的农民的年总收
5、入，试求实数a的最大值20已知公差不为0的等差数列an的首项为1，前n项和为Sn，且数列是等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）设lgbn=（nN*），问：b1，bk，bm（k，m均为正整数，且1km）能否成等比数列？若能，求出所有的k和m的值；若不能，请说明理由2015-2016学年江苏省扬州市宝应县高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1不等式（3+x）（2x）0的解集为x|x2或x3【分析】把不等式（3+x）（2x）0化为（x+3）（x2）0，求出不等式对应方程的解，写出不等式的解集即可【解答】解
6、：不等式（3+x）（2x）0可化为（x+3）（x2）0，解得x3或x2，所以该不等式的解集为x|x2或x3故答案为：x|x2或x3【点评】本题考查了一元二次不等式的解法与应用问题，是基础题目2已知sin=，（，），则cos（）=【分析】由的范围，得到cos大于0，由sin的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin的值，利用诱导公式化简所求式子中，再利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把各自的值代入即可求出值【解答】解：sin=，（，），cos=，则cos（+）=cos+（+）=cos（+）=coscos+sinsin=+=故答案为：【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公
7、式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a=1，b=，则B=【分析】根据余弦定理可得b2=a2+c22accosB，求出cosB的值，利用特殊角的三角函数值求出B即可【解答】解：由余弦定理得b2=a2+c22accosB，且a=1，b=，c=，所以cosB=，得到B为钝角即B（，），所以B=故答案为【点评】考查学生灵活运用余弦定理化简求值的能力，以及会根据特殊角的三角函数值求角的能力4设等比数列an的公比q=2，前n项和为Sn，则=【分析】由等比数列的通项公式及求和公式可得=代入可求【解答】解：q=2
8、，=故答案为：【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础试题5关于x的不等式x2+（a+1）x+ab0的解集是x|x1或x4，则实数a+b的值为3【分析】由于关于x的不等式x2+（a+1）x+ab0的解集是x|x1或x4，可得：1，4是一元二次方程x2+（a+1）x+ab=0的两个实数根，利用根与系数的关系即可得出【解答】解：关于x的不等式x2+（a+1）x+ab0的解集是x|x1或x4，1，4是一元二次方程x2+（a+1）x+ab=0的两个实数根，解得，a+b=3故答案为：3【点评】本题考查了一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的实数根的关系、根与系数的关系等基础
9、知识与基本技能方法，属于基础题6已知每项均大于零的数列an中，首项a1=1且前n项和Sn满足SnSn1=2（nN*且n2），则a81=640【分析】由已知数列递推式可得，由此可得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，求出等差数列的通项公式后可得Sn，再由a81=S81S80求解【解答】解：由已知SnSn1=2，可得，an0，则，数列是以1为首项，2为公差的等差数列，故=2n1，即Sn=（2n1）2，a81=S81S80=16121592=640故答案为：640【点评】本题考查数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了等差数列通项公式的求法，是中档题7化简： =2【分析】由条件利用两角和差的三角公
10、式化简所给的式子，可得结果【解答】解： =tan15=tan（4530）=2，故答案为：2【点评】本题主要考查两角和差的三角公式的应用，属于基础题8已知三角形的三条边成公差为2的等差数列，且它的最大角的正弦值为，则这个三角形的面积为【分析】由题意可设三边为a2，a，a+2（a0），由最大角的正弦值为，可知最大角为120，结合余弦定理可得，cos120=可求a，进而可求【解答】解：由题意可设三边为a2，a，a+2（a0）则a+2为最大边，根据三角形的大边对大角可知其对的角为最大角最大角的正弦值为，则最大角为120由余弦定理可得，cos120=整理可得，a25a=0a0解可得a=5，即三角形的三边
11、为3，5，7代入三角形的面积公式可得S=故答案为：【点评】本题主要综合考查了三角形的面积公式，余弦定理及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，求解的关键是余弦定理的应用9已知：（1）（2）（3）（4）y=42x+2x（5）y=log3x+4logx3（0x1）则其中最小值是4的函数有（4） （填入正确命题的序号）【分析】利用基本不等式或者利用函数的单调性求解函数的最值，判断选项即可【解答】解：（1）因为中x可以为负数，所以函数没有最小值，所以（1）不满足题意（2），所以y=sinx+2+3=5当且仅当sinx=1时，函数取得最小值：5，（2）不满足题意（3）=+2=4不满足题意，所以（3）不正
12、确（4）y=42x+2x=42x+2=4，当且仅当，即x=2时取等号所以（4）满足题意（5）y=log3x+4logx3（0x1），log3x0，4logx30，显然不满足题意故选：（4）【点评】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，函数的单调性以及最值的判断，考查命题的真假的判断，注意基本不等式成立的条件，是中档题10在ABC中，A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，则ABC的形状是直角三角形【分析】由A的度数，a与b的值，利用正弦定理求出sinB的值，由B的范围，利用特殊角的三角函数值求出B的度数，由A和B的度数，由三角形的内角和定理求出C的度数，得到C为直角，故三角形ABC为直
13、角三角形【解答】解：由，根据正弦定理=得：sinB=，由B为三角形的内角，得到B=或，当B=，A=，A+B=，与三角形的内角和定理矛盾，舍去，B=，A=，则C=，即ABC的形状是直角三角形故答案为：直角三角形【点评】此题考查了正弦定理，以及三角形形状的判断，熟练掌握正弦定理是解本题的关键，同时在求角B时注意利用三角形的内角和定理检验，得到满足题意的B的度数11已知锐角三角形三边分别为3，4，a，则实数a的取值范围为（，5）【分析】利用余弦定理求出角的余弦值，令余弦值大于零即可【解答】解：三角形长为3，4，a的边所对的角分别为A，B，C，显然AB由余弦定理得cosB=，cosC=，ABC是锐角三
14、角形，解得故答案为（，5）【点评】本题考查了余弦定理，属于基础题12已知正数x，y满足x+2y=2，则的最小值为9【分析】利用“乘1法”和基本不等式即可得出【解答】解：正数x，y满足x+2y=2，=9，当且仅当x=4y=时取等号的最小值为9故答案为：9【点评】本题考查了“乘1法”和基本不等式的性质，属于基础题13某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若最初生产出的溶液含杂质2%，需要进行过滤，且每过滤一次可使杂质含量减少，则要使产品达到市场要求至少应过滤5次【分析】设要使产品达到市场要求至少应过滤n次，由题意得，由此能求出结果【解答】解：设要使产品达到市场要求至少应过滤n
15、次，由题意得，（）n，n=4.3，nN*，n=5故答案为：5【点评】本题考查函数在生产生活中的实际应用，是中档题，解题时要认真审题，注意对数性质的合理运用14设y=f（x）是一次函数，f（0）=1，且f（1），f（4），f（13）成等比数列，则f（2）+f（4）+f（2n）=3n+2n2【分析】由已知可以假设一次函数为y=kx+1，在根据f（1），f（4），f（13）成等比数列，得出k=3，利用等差数列的求法求解即可【解答】解：由已知，假设f（x）=kx+b，（k0）f（0）=1=k0+b，b=1f（1），f（4），f（13）成等比数列，且f（1）=k+1，f（4）=4k+1，f（13）=13
16、k+1k+1，4k+1，13k+1成等比数列，即（4k+1）2=（k+1）（13k+1），16k2+1+8k=13k2+14k+1，从而解得k=0（舍去），k=2，f（2）+f（4）+f（2n）=（22+1）+（42+1）+（2n2+1）=（2+4+2n）2+n=4+n=2n（n+1）+n=3n+2n2，故答案为3n+2n2【点评】本题考查了等比数列和函数的综合应用，考查了学生的计算能力，解题时要认真审题，仔细解答，避免错误，属于基础题二、解答题：（本大题共6道题，计90分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15在ABC中，角B为锐角，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量
17、，且向量共线（1）求角B的大小；（2）如果b=1，且，求a+c的值【分析】（1）利用两个向量共线的性质求出tan2B的值，结合B的范围，求出2B的大小，可得B的值（2）根据三角形的面积求出，由余弦定理得，求出a+c的值【解答】解：（1）由向量，共线有：2sin（A+C）2=cos2B，tan2B=又 0B，02B，2B=，B=（2）由，得，由余弦定理得 b2=a2+c22accosB，得，故【点评】本题考查两个向量共线的性质，余弦定理的应用，求出角B是解题的难点16已知函数（1）求的值；（2）在ABC中，若f（）=1，求sinB+sinC的最大值【分析】（1）利用倍角公式与辅助角公式将f（x）
18、=sin（+x）sin（x）+sinxcosx化为：f（x）=sin（2x+），即可求得f（）的值；（2）由A为三角形的内角，f（）=sin（2A+）=1可求得A=，从而sinB+sinC=sinB+sin（B），展开后利用三角函数的辅助角公式即可求得sinB+sinC的最大值【解答】（1）f（x）=sin（+x）sin（x）+sinxcosx=cos2x+sin2x=sin（2x+），f（）=1（2）由f（）=sin（A+）=1，而0A可得：A+=，即A=sinB+sinC=sinB+sin（B）=sinB+cosB=sin（B+）0B，B+，sin（B+）1，sinB+sinC的最大值为【
19、点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，着重考查三角函数的辅助角公式的应用，考查分析与推理能力，属于中档题17已知函数f（x）=ax2+bxa+2（1）若关于x的不等式f（x）0的解集是（1，3），求实数a，b的值；（2）若b=2，a0，解关于x的不等式f（x）0【分析】（1）根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程ax2+bxa+2=0的两根分别为1和3，由此建立关于a、b的方程组并解之，即可得到实数a、b的值；（2）不等式可化成（x+1）（axa+2）0，由此讨论1与的大小关系，分3种情形加以讨论，即可得到所求不等式的解集【解答】解：（1）不等式f（x）0的解集是（1，
20、3）1，3是方程ax2+bxa+2=0的两根，可得，解之得（2）当b=2时，f（x）=ax2+2xa+2=（x+1）（axa+2），a0，若，即a=1，解集为x|x1若，即0a1，解集为若，即a1，解集为【点评】本题给出二次函数，讨论不等式不等式f（x）0的解集并求参数的值，着重考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识国，属于中档题18已知an是首项为1，公比为q的等比数列，且a4，a6，a5成等差数列（）求an的前n项和Sn；（）设bn是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Tn，当n2时，比较Tn与bn的大小，并说明理由【分析】（）通过化简2a6=a4+a5
21、可知2q2q1=0，解方程可知q=1或q=，分两种情况利用等比数列的求和公式计算即得结论；（）通过（I）可知，分q=1或q=两种情况讨论即得结论【解答】解：（）由题设2a6=a4+a5，又a1=10，2q2q1=0，解得：q=1或q=，若q=1时，Sn=n；若时，；（）由（I）可知，若q=1时，当n2时，故Tnbn；若时，当n2时，故对于nN+，当2n9时，Tnbn；当n=10时，Tn=bn；当n11时，Tnbn【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题19某沿海地区共有100户农民从事种植业，据调查，每户年均收入为m万元为了调整产业结构，当地政府
22、决定动员部分种植户从事水产养殖据估计，如果能动员x（x0）户农民从事水产养殖，那么剩下从事种植的农民每户年均收入有望提高2x%，从事水产养殖的农民每户年均收入为（a0）万元（）在动员x户农民从事水产养殖后，要使从事种植的农民的年总收入不低于动员前从事种植的年总收入，试求x的取值范围；（）在（）的条件下，要使这100户农民中从事水产养殖的农民的年总收入始终不高于从事种植的农民的年总收入，试求实数a的最大值【分析】（）由题中条件：“从事蔬菜种植的农民的年总收入不低于动员前从事蔬菜种植的年总收入”得到一个不等关系，列不等式得x的取值范围；（）问题先转化成一个不等关系，然后转化为恒成立问题解决【解答】
23、解：（）由题意得m（100x）（1+2x%）100m，即x250x0，解得0x50，又因为x0，所以0x50；（）从事水产养殖的农民的年总收入为万元，从事种植农民的年总收入为m（100x）（1+2x%）万元，根据题意得，m（100x）（1+2x%）恒成立，即恒成立又x0，所以恒成立，而5（当且仅当x=50时取得等号），所以a的最大值为5【点评】本题主要考查函数在实际生活中的应用、恒成立问题的解法求不等式恒成立的参数的取值范围，是经久不衰的话题，也是高考的热点，它可以综合地考查中学数学思想与方法，体现知识的交汇20已知公差不为0的等差数列an的首项为1，前n项和为Sn，且数列是等差数列（1）求数
24、列an的通项公式；（2）设lgbn=（nN*），问：b1，bk，bm（k，m均为正整数，且1km）能否成等比数列？若能，求出所有的k和m的值；若不能，请说明理由【分析】（1）根据等差数列的定义与通项公式、前n项和公式，结合题意求出通项an；（2）假设存在正整数组k和m，使b1、bk，bm成等比数列，得出lgb1，lgbklg，bm成等差数列，由此求出满足条件的正整数k和m的值【解答】解：（1）设等差数列an的公差为d（d0），因为a1=1，所以a2=1+d，a3=1+2d，从而S2=2+d，S3=3+3d，因为数列是等差数列，所以2=+，即=1+，化简得d2d=0，而d0，所以d=1；故an=a1+（n1）d=n；（2）假设存在正整数组k和m，使b1、bk、bm成等比数列，则lgb1，lgbk，lgbm成等差数列，于是=+，所以m=3m（）（*）；易知k=2，m=3满足（*）；因为k3，且kN*时，=0；数列（k3，kN）为递减数列，于是0，所以，当k3时，不存在正整数k和m满足（*）；综上，当且仅当k=2，m=3时，b1，bk，bm成等比数列【点评】本题考查了等差数列与等比数列的定义、通项公式与前n项和公式的应用问题，是综合性题目