1、21.1 曲线与方程 21.2 求曲线的方程 【课标要求】1.了解曲线与方程的对应关系.2.进一步感受数形结合的基本思想.3.掌握求曲线方程的基本方法(直接法)，了解求曲线方程的其他方法(待定系数法、定义法、参数法等).自主学习 基础认识|新知预习|1曲线的方程、方程的曲线在直角坐标系中，如果某曲线 C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程 f(x，y)0 的实数解建立了如下的关系：(1)曲线上点的坐标都是；(2)以这个方程的解为坐标的点都是；那么，这个方程叫做；这条曲线叫做这个方程的解曲线上的点曲线的方程方程的曲线2坐标法和解析几何研究的主要问题(1)坐标法：借助于，通
2、过研究方程的性质间接地来研究曲线性质的方法(2)解析几何研究的主要问题：通过曲线研究方程：根据已知条件，求出通过方程研究曲线：通过曲线的方程，研究坐标系表示曲线的方程曲线的性质3求曲线的方程的步骤|自我尝试|1判断下列各题(对的打“”，错的打“”)(1)过点 P(x0，y0)斜率为 k 的直线的方程是yy0 xy0k()(2)若点 P(x0，y0)在曲线 C 上，则有 f(x0，y0)0()(3)以 A(0,1)，B(1,0)，C(1,0)为顶点的ABC 的 BC 边上中线的方程是 x0()答案：(1)(2)(3)2若命题“曲线 C 上点的坐标都是方程 f(x，y)0 的解”是正确的，则下列命
3、题正确的是()A方程 f(x，y)0 的曲线是 CB方程 f(x，y)0 的曲线不一定是 CCf(x，y)0 是曲线 C 的方程D以方程 f(x，y)0 的解为坐标的点都在曲线 C 上解析：重在考查曲线的方程与方程的曲线的定义只有正确地理解曲线的方程与方程的曲线的定义，才能准确作答易知 A，C，D 错误 答案：B3方程 y|x|所表示的曲线是()解析：AB以方程 y|x|的解为坐标的点不都在图中的曲线上(如 x1，y1)；图中曲线上的点的坐标不都是方程 y|x|的解(如点(1，1)C对于 B，C，曲线上点的坐标都是方程 y|x|的解，但以y|x|的解为坐标的点不都在曲线上，故都不是方程 y|x
4、|所表示的曲线 DD 中的曲线满足关系，即曲线上的点的坐标都是方程 y|x|的解；以方程 y|x|的解为坐标的点都在曲线上，故是方程 y|x|所表示的曲线答案：D4已知直线 l：xy30 及曲线 C：(x3)2(y2)22，则点 M(2,1)()A在直线 l 上，但不在曲线 C 上B在直线 l 上，也在曲线 C 上C不在直线 l 上，也不在曲线 C 上D不在直线 l 上，但在曲线 C 上解析：将点 M(2,1)的坐标代入方程知 Ml，MC.答案：B5方程 x22y24x8y120 表示的图形为_解析：对方程左边配方得(x2)22(y2)20.(x2)20,2(y2)20，x220，2y220，
5、解得x2，y2.从而方程表示的图形是一个点(2，2)答案：一个点(2，2)课堂探究 互动讲练类型一 曲线的方程与方程的曲线的概念例 1 分析下列曲线上的点与相应方程的关系：(1)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线与方程|x|2 之间的关系；(2)与两坐标轴的距离的积等于5的点与方程xy5之间的关系；(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点与方程 xy0 之间的关系【解析】(1)过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线上的点的坐标都是方程|x|2 的解；但以方程|x|2 的解为坐标的点不一定都在过点 A(2,0)且平行于 y 轴的直线上因此，|x|2 不是过点 A(2,0)平行于 y 轴的直线的
6、方程(2)与两坐标轴的距离的积等于 5 的点的坐标不一定满足方程 xy5；但以方程 xy5 的解为坐标的点与两坐标轴的距离之积一定等于 5.因此，与两坐标轴的距离的积等于 5 的点的轨迹方程不是 xy5.(3)第二、四象限两轴夹角平分线上的点的坐标都满足 xy0；反之，以方程 xy0 的解为坐标的点都在第二、四象限两轴夹角的平分线上因此，第二、四象限两轴夹角平分线上的点的轨迹方程是 xy0.方法归纳这类题目主要是考查“曲线的方程与方程的曲线”的定义中所列的两个条件，正好组成两个集合相等的充要条件，二者缺一不可这就是我们判断方程是否是指定曲线的方程，曲线是不是所给方程的曲线的准则.跟踪训练 1
7、判断下列结论的正误，并说明理由(1)过点 A(3,0)且垂直于 x 轴的直线的方程为 x3.(2)到 y 轴距离为 2 的点的直线方程为 x2.(3)ABC 的顶点 A(0，3)，B(1,0)，C(1,0)，D 为 BC 中点，则中线 AD 的方程为 x0.解析：(1)正确理由如下：因为满足曲线方程的定义，所以结论正确(2)错误理由如下：因为到 y 轴距离为 2 的点的直线方程还有一个，即不具备完备性，所以结论错误(3)错误理由如下：因为中线 AD 是一条线段，而不是直线，所以 x0(3y0)，所以结论错误.类型二 曲线与方程的判定问题例 2 下列方程分别表示什么曲线：(1)(xy1)x10；
8、(2)2x2y24x2y30.【解析】(1)由方程(xy1)x10 可得 x10，xy10 或x10，x10，即 xy10(x1)或 x1.故方程表示一条射线 xy10(x1)和一条直线 x1.(2)对方程左边配方得 2(x1)2(y1)20.2(x1)20，(y1)20，2x120，y120，解得x1，y1.从而方程表示的图形是一个点(1，1).方法归纳判断方程表示什么曲线，常需对方程进行变形，如配方、因式分解或利用符号法则、基本常识转化为熟悉的形式，然后根据化简后的特点判断特别注意，方程变形前后应保持等价，否则，变形后的方程表示的曲线不是原方程代表的曲线另外，当方程中含有绝对值时，常采用分
9、类讨论的思想.跟踪训练 2 已知方程 x2(y1)210.(1)判断点 P(1，2)，Q(2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点 M(m2，m)在此方程表示的曲线上，求 m 的值解析：(1)12(21)210，(2)2(31)2610，点 P 在方程 x2(y1)210 表示的曲线上，点 Q 不在方程 x2(y1)210 表示的曲线上(2)因为 xm2，ym 适合方程 x2(y1)210，即m22(m1)210，解得 m2 或 m185.所以 m 的值为 2 或185.类型三 求曲线的方程例 3 已知圆 C：x2(y3)29，过原点作圆 C 的弦 OP，求 OP 的中点 Q 的轨迹方程【
10、解析】法一：(直接法)如图所示，连接 QC，因为 Q 是OP 的中点，所以OQC90.设 Q(x，y)，由题意，得|OQ|2|QC|2|OC|2，即 x2y2x2(y3)29，所以 OP 的中点 Q 的轨迹方程为 x2(y32)294(去掉原点)法二：(定义法)如图所示，因为 Q 是 OP 的中点，所以OQC90，则 Q 在以 OC 为直径的圆上 故 Q 点的轨迹方程为 x2y32294(去掉原点)法三：(代入法)设 P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意得xx12，yy12，即x12x，y12y，又因为 x21(y13)29，所以 4x24(y32)29，即 x2y32294(去掉原点).方
11、法归纳直接法、定义法、代入法是求轨迹方程(或轨迹)的常用方法，对于此类问题，在解题过程中，最容易出错的环节是求轨迹方程中自变量的取值范围，一定要慎重分析和高度重视.跟踪训练 3 已知点 P(0,5)及圆 C：x2y24x12y240.求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程解析：直接法 圆 x2y24x12y240 可化为(x2)2(y6)216.所以圆心 C(2,6)，半径 r4.设过 P(0,5)点的圆 C 的弦的中点为 D(x，y)，则 CDPD，即CD PD 0，(x2，y6)(x，y5)0，化简得所求轨迹方程为 x2y22x11y300.|素养提升|1曲线的方程与方程的曲线的概念要
12、义(1)分析此类问题要严格按照曲线的方程与方程的曲线的定义(2)定义中有两个条件，这两个条件必须同时满足，缺一不可条件(1)保证了曲线上所有的点的坐标都适合条件 f(x，y)0；条件(2)保证了适合条件 f(x，y)0 的所有点都在曲线上，前者是说这样的轨迹具有完备性，后者是说轨迹具有纯粹性两个条件同时成立说明曲线上符合条件的点既不多也不少，才能保证曲线与方程间的相互转化2求曲线方程时应注意的四个问题(1)在第一步中，如果原题中没有确定坐标系，首先选取适当的坐标系，通常选取特殊位置为原点，相互垂直的直线为坐标轴(2)第二步要仔细分析曲线的特征，注意揭示其隐含的条件，抓住与曲线上任意一点 M 有
13、关的等量关系，列出等式，此步骤有时也可以省略，而直接将几何条件用动点的坐标表示(3)在第三步化简的过程中，注意运算的合理性与准确性，尽量避免“失解”或“增解”(4)第四步的说明可以省略不写，若有特殊情况，可以适当说明，如某些点虽然其坐标满足方程，但不在曲线上，可以通过限定方程中 x(或 y)的取值予以剔除特别提醒：求哪个点的轨迹方程，就设哪个点的坐标是(x，y)|巩固提升|1方程 x|y1|0 表示的曲线是()解析：方程 x|y1|0 可化为|y1|x0，则 x0，因此选 B.答案：B2到两坐标轴距离之和等于 1 的点的轨迹方程是()Axy1 Bxy1C|x|y|1 D|xy|1解析：动点 P(x，y)到 x 轴和 y 轴上的距离分别为|y|和|x|，故有|x|y|1.答案：C3已知两点 M(2,0)，N(2,0)，点 P 满足PM PN12，则点 P 的轨迹方程为_解析：设 P(x，y)，则PM(2x，y)，PN(2x，y)于是PM PN(2x)(2x)y212，化简得 x2y216，此即为所求点 P 的轨迹方程 答案：x2y216
