1、第二章圆锥曲线2双曲线2.2双曲线的简单几何性质课后篇巩固提升合格考达标练1.已知双曲线x2a2-y25=1(a0)的右焦点为(3,0),则双曲线的离心率等于()A.31414B.324C.32D.43答案C解析由题意知a2+5=9,解得a=2,e=ca=32.2.双曲线x2-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于()A.12B.22C.1D.2答案B解析双曲线x2-y2=1的渐近线方程为xy=0,顶点坐标为(1,0),(-1,0),故顶点到渐近线的距离为22.3.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为52,则双曲线C的渐近线方程为()A.y=14xB.y=13xC.y=12
2、xD.y=x答案C解析已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的离心率为52,故有a2+b2a2=54,所以b2a2=14,解得ba=12.故双曲线C的渐近线方程为y=12x.故选C.4.已知双曲线C:x2a2-y2b2=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则双曲线C的方程为()A.x220-y25=1B.x25-y220=1C.x280-y220=1D.x220-y280=1答案A解析双曲线C的渐近线方程为y=bax,点P(2,1)在渐近线y=bax上,2ba=1,即a2=4b2,又a2+b2=c2=25,解得b2=5,a2=20.故选A.5.如图,双曲线C:x29-y2
3、10=1的左焦点为F1,双曲线上的点P1与P2关于y轴对称,则|P2F1|-|P1F1|的值是()A.3B.4C.6D.8答案C解析设F2为右焦点,连接P2F2(图略),由双曲线的对称性,知|P1F1|=|P2F2|,所以|P2F1|-|P1F1|=|P2F1|-|P2F2|=23=6.6.双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC的边长为2,则a=.答案2解析设B为双曲线的右焦点,如图所示.四边形OABC为正方形且边长为2,c=|OB|=22.又AOB=4,ba=tan4=1,即a=b.又a2+b2=c2
4、=8,a=2.7.已知F为双曲线C:x29-y216=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则PQF的周长为.答案44解析由双曲线C的方程,知a=3,b=4,c=5,点A(5,0)是双曲线C的右焦点,且|PQ|=|QA|+|PA|=4b=16,点P,Q在双曲线的右支上,由双曲线的定义,得|PF|-|PA|=6,|QF|-|QA|=6.|PF|+|QF|=12+|PA|+|QA|=28,PQF的周长为|PF|+|QF|+|PQ|=28+16=44.8.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)两顶点间的距离是6,两焦点所连线段被两顶点和中心四等分;(
5、2)渐近线方程为2x3y=0,且两顶点间的距离是6.解(1)由两顶点间的距离是6,得2a=6,即a=3.由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分可得2c=4a=12,即c=6,于是有b2=c2-a2=62-32=27.由于焦点所在的坐标轴不确定,故所求双曲线的标准方程为x29-y227=1或y29-x227=1.(2)设双曲线方程为4x2-9y2=(0),即x24-y29=1(0),由题意得a=3.当0时,4=9,=36,双曲线方程为x29-y24=1;当0)的离心率是5,则a=()A.6B.4C.2D.12答案D解析双曲线的离心率e=ca=5,c=a2+1,a2+1a=5,解得a=12,故选D.
6、10.已知双曲线方程为x2-y24=1,过点P(1,0)的直线l与双曲线只有一个公共点,则l共有()A.4条B.3条C.2条D.1条答案B解析因为双曲线方程为x2-y24=1,则P(1,0)是双曲线的右顶点,所以过P(1,0)并且和x轴垂直的直线是双曲线的一条切线,与双曲线只有一个公共点,另外两条就是过P(1,0)分别和两条渐近线平行的直线,所以符合要求的直线共有3条.11.过双曲线x2-y23=1的右焦点且与x轴垂直的直线,交该双曲线的两条渐近线于A,B两点,则|AB|等于()A.433B.23C.6D.43答案D解析由题意知,双曲线x2-y23=1的渐近线方程为y=3x,将x=c=2代入得
7、y=23,所以|AB|=43.12.如图,中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N是双曲线的两顶点,若M,O,N将椭圆的长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是()A.3B.2C.3D.2答案B解析设椭圆与双曲线的标准方程分别为x2a2+y2b2=1(ab0),x2m2-y2n2=1(m0,n0),因为它们共焦点,所以设它们的半焦距均为c,所以椭圆与双曲线的离心率分别为e1=ca,e2=cm,由点M,O,N将椭圆长轴四等分可知m=a-m,即2m=a,所以e2e1=cmca=am=2.13.若实数k满足0k9,则曲线x225-y29-k=1与曲线x225-k-y29=1的()A.焦距相同
8、B.实半轴长相等C.虚半轴长相等D.离心率相等答案A解析由于0k0,即曲线x225-y29-k=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(34-k,0);25-k0,即曲线x225-k-y29=1为焦点在x轴上的双曲线,焦点坐标为(34-k,0),故两曲线的焦距相同,故答案为A.14.已知A,B是双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的两个顶点,P为双曲线上(除顶点外)一点,若直线PA,PB的斜率乘积为12,则双曲线的离心率e=.答案62解析由题意,可得A(-a,0),B(a,0),设P(m,n),kPAkPB=n-0m+an-0m-a=n2m2-a2.点P是双曲线上的点,可得m2a2-n2b
9、2=1,化简整理得n2=b2(m2-a2)a2.kPAkPB=b2(m2-a2)a2m2-a2=b2a2.直线PA,PB的斜率乘积为12,即kPAkPB=12,b2a2=12,可得c2-a2a2=12,即c2a2-1=12,c2a2=32,可得e=ca=32=62.15.过双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C于点P.若点P的横坐标为2a,求C的离心率.解如图所示,不妨设与渐近线平行的直线l的斜率为ba,又直线l过右焦点F(c,0),则直线l的方程为y=ba(x-c).因为点P的横坐标为2a,代入双曲线方程得4a2a2-y2b2=1,化简得y=-
10、3b或y=3b(点P在x轴下方,故舍去),故点P的坐标为(2a,-3b),代入直线方程得-3b=ba(2a-c),化简可得离心率e=ca=2+3.新情境创新练16.若在双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右支上到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个,则双曲线的离心率的取值范围是()A.e2B.1e2D.1e0,b0)的右支上到原点和右焦点F距离相等的点有两个,所以直线x=c2与右支有两个交点,故应满足c2a,即ca2,得e2.17.已知椭圆C1:x2a12+y2b12=1(a1b10)与双曲线C2:x2a22-y2b22=1(a20,b20)有相同的左、右焦点F1,F2,若点P是C1与
11、C2在第一象限内的交点,且|F1F2|=4|PF2|,设C1与C2的离心率分别为e1,e2,则e2-e1的取值范围是()A.13,+B.13,1C.12,+D.12,2答案B解析设|PF1|=m,|PF2|=n,由椭圆的定义可得m+n=2a1,由双曲线的定义可得m-n=2a2,解得m=a1+a2,n=a1-a2,由|F1F2|=4|PF2|,可得n=12c,即a1-a2=12c,由e1=ca1,e2=ca2,可得1e1-1e2=12,由0e11,可得1e212,即1e22,则e2-e1=e2-2e22+e2=e222+e2,可设2+e2=t(3t4),则e222+e2=(t-2)2t=t+4t-4,由于函数f(t)=t+4t-4在3t4递增,所以f(t)13,1,即e2-e113,1.6