1、11.3 四种命题间的相互关系 【课标要求】1.了解“若 p，则 q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题.2.能够把一个“若 p，则 q”形式的命题熟练地写出其逆命题、否命题和逆否命题.3.掌握四种命题之间的关系及真假性之间的联系，会利用命题的等价性解决问题.自主学习 基础认识|新知预习|1四种命题的概念(1)互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的，这样的两个命题叫做互逆命题，把其中一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的结论和条件逆命题(2)互否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题叫做互否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命
2、题叫做原命题的(3)互为逆否命题：一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题叫做互为逆否命题，把其中的一个命题叫做原命题，另一个命题叫做原命题的否命题逆否命题2四种命题的相互关系|自我尝试|1判断下列各题(对的打“”，错的打“”)(1)一个命题的否命题和逆命题有相同的真假性()(2)原命题与逆命题之间的真假性没有关系()答案：(1)(2)2命题“若 m10，则 m2100”与其逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题是()A原命题、否命题 B原命题、逆命题C原命题、逆否命题D逆命题、否命题解析：因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题 答案：C3已知 a
3、，b，cR，命题“若 abc3，则 a2b2c23”的否命题是()A若 abc3，则 a2b2c23B若 abc3，则 a2b2c23C若 abc3，则 a2b2c23D若 a2b2c23，则 abc3解析：abc3 的否定是 abc3，a2b2c23 的否定是 a2b2c20，则方程 x2xm0 有实根”的逆否命题是()A若方程 x2xm0 有实根，则 m0B若方程 x2xm0 有实根，则 m0C若方程 x2xm0 没有实根，则 m0D若方程 x2xm0 没有实根，则 m0解析：由原命题和逆否命题的关系可知原命题为“若 p，则q”，则其逆否命题为“若綈 q，则綈 p”答案：D5命题“若 a1
4、，则 a0”的逆命题是_，逆否命题是_解析：逆命题：变换题设与结论 逆否命题：先求逆命题，再否定 答案：若 a0，则 a1，若 a0，则 a1课堂探究 互动讲练类型一 四种命题的概念例 1 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题(1)垂直于同一平面的两直线平行；(2)若 mn0，则方程 mx2xn0 有实数根【解析】(1)逆命题：如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一个平面 否命题：如果两条直线不垂直于同一平面，那么这两条直线不平行 逆否命题：如果两条直线不平行，那么这两条直线不垂直于同一平面(2)逆命题：若方程 mx2xn0 有实数根，则 mn0，则 x2xm0 有实根”的逆否命题【解析
5、】(1)原命题的否命题为“若 x2y20，则 x，y 全为零”真命题(2)原命题的逆命题为“若三角形相似，则这些三角形是正三角形”假命题(3)原命题的逆否命题为“若 x2xm0 无实根，则m0”因为方程 x2xm0 无实根，所以判别式 14m0，解得 m14，故 m0，为真命题.方法归纳(1)由原命题写出其他三种命题，依次直接判断这四种命题的真假(2)也可根据命题间的等价关系来判断命题的真假，注意：(3)四种命题中，真命题的个数只可能为 0 个，2 个，4 个.跟踪训练 2 设 m，n 是向量，命题“若 mn，则|m|n|”与它的逆命题、否命题、逆否命题这 4 个命题中，真命题的个数是()A0
6、B1C2D4解析：原命题为真命题 逆命题：“若|m|n|，则 mn”为假命题，否命题：“若 mn，则|m|n|”为假命题 逆否命题：“若|m|n|，则 mn”为真命题 故四个命题中，真命题的个数是 2.故选 C.答案：C类型三 等价命题的应用例 3 已知函数 f(x)在(，)上是增函数，a，bR，对命题“若 ab0，则 f(a)f(b)f(a)f(b)”写出其逆命题，判断其真假，并证明你的结论【解析】逆命题：若 f(a)f(b)f(a)f(b)，则 ab0.为真命题 由于逆命题与否命题具有相同的真假性，因此可转化为证明其否命题为真，即证明“若 ab0，则 f(a)f(b)f(a)f(b)”为真
7、命题 因为 ab0，则 ab，ba.因为 f(x)在(，)上为增函数，则 f(a)f(b)，f(b)f(a)，所以 f(a)f(b)2，则 m2n22”由于 mn2，则 m2n212(mn)212222，所以 m2n22.故原命题的逆否命题为真命题，从而原命题也为真命题|素养提升|1四种命题的三个关注点(1)写原命题的逆命题时，不要交换命题的前提条件(2)写一个命题的否命题时，要对命题的条件和结论都进行否定，避免出现不否定条件，而只否定结论的错误(3)任何一个命题都包含条件和结论两部分，通过条件和结论的不同变换都可以得到这个命题的逆命题、否命题和逆否命题因此任何一个命题都有逆命题、否命题和逆否
8、命题易错警示：对条件或结论进行否定时易出现错误如“大于”的否定应是“不大于，即”；“都是”的否定为“不都是”等2对四种命题相互关系的三点认识(1)四种命题中原命题具有相对性，任意确定一个为原命题，其逆命题、否命题、逆否命题就确定了，所以“互逆”“互否”“互为逆否”具有对称性(2)在原命题、逆命题、否命题与逆否命题这四种命题中，有两对互逆命题，两对互否命题，两对互为逆否命题它们分别为：两对互逆命题：原命题与逆命题，否命题与逆否命题两对互否命题：原命题与否命题，逆命题与逆否命题两对互逆否命题：原命题与逆否命题，逆命题与否命题(3)由于原命题与其逆否命题的真假性相同，所以原命题与其逆否命题是等价命题
9、，因此当直接证明或判断原命题困难时，可以转化成证明其逆否命题特别提醒：(1)利用四种命题间的关系，判断四种命题的真假时，只需判断两个命题的真假即可(2)若命题的叙述是否定性的语言或含有“至多”“至少”等词语时，往往转化为判断其逆否命题的真假更方便|巩固提升|1下列说法中，不正确的是()A“若 p，则 q”与“若 q，则 p”是互逆命题B“若綈 p，则綈 q”与“若 q，则 p”是互否命题C“若綈 p，则綈 q”与“若 p，则 q”是互否命题D“若綈 p，则綈 q”与“若 q，则 p”互为逆否命题解析：原命题与逆命题、否命题与逆否命题是互逆命题，原命题与否命题、逆命题与逆否命题是互否命题，原命题与逆否命题、逆命题与否命题互为逆否命题根据四种命题的形式可知，A，C，D 正确，B 不正确 答案：B2命题“若 4，则 tan1”的逆否命题是()A若 4，则 tan1B若 4，则 tan1C若 tan1，则 4D若 tan1，则 4解析：否定原命题的结论作条件，否定原命题的条件作结论所得的命题为逆否命题，可知 C 正确 答案：C3命题“若 x1，则 x210”的真假性为_解析：可转化为判断命题的逆否命题的真假，由于原命题的逆否命题是：“若 x210，则 x1”，因为 x210，x1，所以该命题是假命题，因此原命题是假命题 答案：假命题