1、第三章空间向量与立体几何3空间向量基本定理及空间向量运算的坐标表示3.2空间向量运算的坐标表示及应用课后篇巩固提升合格考达标练1.在空间直角坐标系O-xyz中,已知点A(1,-2,0)和向量a=(-3,4,12),且AB=2a,则点B的坐标为()A.(-7,10,24)B.(7,-10,-24)C.(-6,8,24)D.(-5,6,24)答案D解析a=(-3,4,12),且AB=2a,AB=(-6,8,24),A(1,-2,0),点B的坐标是(-5,6,24),故选D.2.已知a=(-2,1,3),b=(-1,2,1),若a(a-b),则实数的值为()A.-2B.-143C.143D.2答案D
2、解析由题意知,a-b=(-2+,1-2,3-),因为a(a-b),所以a(a-b)=(4-2)+(1-2)+(9-3)=14-7=0,解得=2.3.已知向量a=(1,1,0),b=(-1,0,2),则|3a+b|=()A.15B.4C.5D.17答案D4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M是棱DD1的中点,O为底面ABCD的中心,P为棱A1B1上任意一点,则直线OP与AM所成的角为()A.45B.60C.90D.不能确定答案C解析建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,A1P=p,易得AM=(-2,0,1),OP=(1,p-1,2),而AMOP=-2+0+2=0,所以AMOP,
3、即OPAM,所以直线OP与AM所成的角为90.故选C.5.已知A(0,0,-x),B(1,2,2),C(x,2,2)三点,点M在平面ABC内,O是平面ABC外一点,且OM=xOA+2xOB+4OC,则AB与AC的夹角为()A.6B.4C.3D.23答案C解析由A,B,C,M四点共面可知x+2x+4=1,x=-1,A(0,0,1),C(-1,2,2),AB=(1,2,1),AC=(-1,2,1),cos=ABAC|AB|AC|=12,即AB与AC的夹角为3.故选C.6.已知向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),若(c+a)2b=-2,则实数x=.答案-8解析由已知得c+
4、a=(2,2,x+1),2b=(2,4,2),所以(c+a)2b=4+8+2(x+1)=-2,解得x=-8.7.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=14,若(a+b)c=7,则a与c的夹角为.答案120解析由题得a+b=(-1,-2,-3),所以|a+b|=14.因为(a+b)c=7,所以a+b与c夹角的余弦值为12,即夹角为60.因为a=(1,2,3)与a+b=(-1,-2,-3)方向相反,所以可知a与c的夹角为120.8.已知a=(x,4,1),b=(-2,y,-1),c=(3,-2,z),ab,bc,求:(1)a,b,c;(2)a+c与b+c所成角的余弦值.解(
5、1)因为ab,所以x-2=4y=1-1,解得x=2,y=-4,这时a=(2,4,1),b=(-2,-4,-1).又因为bc,所以bc=0,即-6+8-z=0,解得z=2,所以c=(3,-2,2).(2)由(1)得a+c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1),所以a+c与b+c所成角的余弦值cos =5-12+33838=-219.9.如图所示,在正四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,O是AC与BD的交点,PO=1,M是PC的中点.设AB=a,AD=b,AP=c.(1)用向量a,b,c表示BM;(2)在如图所示的空间直角坐标系中,求BM的坐标.解(1)BM=BC+CM,BC
6、=AD,CM=12CP,CP=AP-AC,AC=AB+AD,BM=AD+12(AP-AC)=AD+12AP-12(AB+AD)=-12AB+12AD+12AP=-12a+12b+12c.(2)a=AB=(1,0,0),b=AD=(0,1,0).A(0,0,0),O12,12,0,P12,12,1,c=AP=12,12,1,BM=-12a+12b+12c=-12(1,0,0)+12(0,1,0)+1212,12,1=-14,34,12.等级考提升练10.已知a+b=(2,2,23),a-b=(0,2,0),则cos等于()A.13B.16C.63D.66答案C11.已知两点A(x,5-x,2x-
7、1),B(1,x+2,2-x),当|AB|取最小值时,x的值等于()A.19B.-87C.87D.1914答案C解析AB=(1-x,2x-3,3-3x),|AB|2=(1-x)2+(2x-3)2+(3-3x)2=14x2-32x+19=14x-872+57,当且仅当x=87时,|AB|取得最小值.故选C.12.已知A(2,-5,1),B(2,-2,4),C(1,-4,1),则AC与AB的夹角是()A.30B.45C.60D.90答案C13.(多选题)下列各组向量中共面的有()A.a=(1,2,3),b=(3,0,2),c=(4,2,5)B.a=(1,2,-1),b=(0,2,-4),c=(0,
8、-1,2)C.a=(1,1,0),b=(1,0,1),c=(0,1,-1)D.a=(1,1,1),b=(1,1,0),c=(1,0,1)答案ABC解析选项A中,设a=x b+y c,则1=3x+4y,2=0+2y,3=2x+5y,解得x=-1,y=1,故存在实数x=-1,y=1使得a=-b+c,因此a,b,c共面.选项B中b=-2c,选项C中c=a-b.故B,C中三个向量也共面.选项D中,设a=xb+yc,则x+y=1,x=1,y=1,显然无解,故a,b,c不共面.14.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列计算结果一定等于0的是()A.AD1B1CB.BD1ACC.DCAD1D.BD1B
9、1C1答案C解析如图,以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设DA,DC,DD1的长度分别为a,b,c,则A(a,0,0),B(a,b,0),C(0,b,0),D(0,0,0),B1(a,b,c),C1(0,b,c),D1(0,0,c),AD1=(-a,0,c),B1C=(-a,0,-c),BD1=(-a,-b,c),AC=(-a,b,0),DC=(0,b,0),B1C1=(-a,0,0),AD1B1C=a2-c2,当ac时,AD1B1C0;BD1AC=a2-b2,当ab时,BD1AC0;DCAD1=0;BD1B1C1=a20.故选ABC.15.已知
10、空间三点A(0,2,3),B(2,5,2),C(-2,3,6),则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为.答案65解析由题意可得AB=(2,3,-1),AC=(-2,1,3),|AB|=4+9+1=14,|AC|=4+1+9=14,所以cos=2(-2)+31+(-1)31414=-27,所以sin=357,则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为S=1414357=65.16.已知点A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),O(0,0,0),点Q在直线OP上运动,当QAQB取得最小值时,点Q的坐标为.答案43,43,83解析设OQ=OP=(,2),则Q(,2),故QA=(1-,2
11、-,3-2),QB=(2-,1-,2-2),所以QAQB=62-16+10=6-432-23,当=43时,QAQB取最小值,此时点Q的坐标为43,43,83.17.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5).(1)求以AB和AC为邻边的平行四边形的面积;(2)若|a|=3,且a分别与AB,AC垂直,求向量a的坐标.解(1)由题中条件可知,AB=(-2,-1,3),AC=(1,-3,2),所以cos=ABAC|AB|AC|=-2+3+61414=12.于是sin=32.故以AB和AC为邻边的平行四边形的面积为S=|AB|AC|sin=1432=73.(2)设a=(x,y
12、,z),由题意得x2+y2+z2=3,-2x-y+3z=0,x-3y+2z=0,解得x=1,y=1,z=1,或x=-1,y=-1,z=-1.故a=(1,1,1)或a=(-1,-1,-1).新情境创新练18.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2).(1)若DBAC,DCAB,求点D的坐标;(2)是否存在实数,使得AC=AB+BC成立?若存在,求出,的值;若不存在,说明理由.解(1)设D(x,y,z),则DB=(-x,1-y,-z),AC=(-1,0,2),DC=(-x,-y,2-z),AB=(-1,1,0).因为DBAC,DCAB,所以存在实数m,n,有(-x,1-y,-z)=m(-1,0,2),(-x,-y,2-z)=n(-1,1,0),解得x=-1,y=1,z=2.即D(-1,1,2).(2)依题意AB=(-1,1,0),AC=(-1,0,2),BC=(0,-1,2).假设存在实数,使得AC=AB+BC成立,则有(-1,0,2)=(-1,1,0)+(0,-1,2)=(-,-,2),所以=1,-=0,2=2,故存在=1,使得AC=AB+BC成立.