1、2015-2016学年新疆兵团农二师华山中学高三（上）学前数学试卷（理科）一、选择题（本大题共l2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=x|2x1，B=x|x22x0，则AB=（）Ax|0x1Bx|0x1Cx|1x1Dx|2x12复数=（）AiBiC2（+i）D1+i3点M（1，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，则a的值为（）ABC或D或4设Sn是公差不为零的等差数列an的前n项和，且a10，若S5=S9，则当Sn最大时，n=（）A6B7C10D95阅读程序框图，若输出结果S=，则整数m的值为（）A7B8C9D106下列命题中正确命题的个数是（
2、）对于命题p：xR，使得x2+x10，则p：xR，均有x2+x10；p是q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件；命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题；“m=1”是“直线l1：mx+（2m1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直”的充要条件A1个B2个C3个D4个7如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A6B8C10D128函数f（x）=sinx+sin（x）的图象的一条对称轴为（）Ax=Bx=Cx=Dx=9不等式组表示的点集记为A，不等式组表示的点集记为B，在A中任取一点P，则PB的概率为（）ABCD10已知f
3、（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，当x（2，4）时，f（x）=|x3|，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=（）A1B0C2D211已知双曲线=1（a0，b0的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆被直线+=1截得的弦长为a，则双曲线的离心率为（）A3B2CD12已知函数f（x）=，若函数F（x）=f（x）kx有且只有两个零点，则k的取值范围为（）A（0，1）B（0，）C（，1）D（1，+）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13向量，满足|=1，|=，（ +）（2），则向量与的夹角为_14三棱柱ABCA1B1C1各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，ACB
4、=120，CA=CB=2，AA1=4，则这个球的表面积为_15ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB=，cosB=，则a+c的值为_16在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=16，点P（2，2），M、N是圆O上相异两点，且PMPN，若=+，则|的取值范围是_三.非选择题17已知数列an前n项和为Sn，满足Sn=2an2n（nN*）（I）证明：an+2是等比数列，并求an的通项公式；（）数列bn满足bn=log2（an+2），Tn为数列的前n项和，若Tna对正整数a都成立，求a的取值范围18为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购
5、车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图2频率分布表分组（单位：岁）频数频率20，2550.0525，30200.2030，350.35035，403040，45100.10合计1001.000（1）频率分布表中的位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图统计这500名志愿者得平均年龄；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加的宣传活动，再从这20名中选取2名志愿者担任主要发言人记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望19如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PA底
6、面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点（）求证：EF平面PAD；（）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角QAPD的余弦值为？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由20已知椭圆+=1（ab0）的左、右焦点为F1、F2，点A（2，）在椭圆上，且AF2与x轴垂直（1）求椭圆的方程；（2）过A作直线与椭圆交于另外一点B，求AOB面积的最大值21已知函数f（x）=ex1，g（x）=ax2+x（a1）（）曲线f（x）在x=1处的切线与直线x+2y1=0垂直，求实数a的值；（）当a=时，求证：f（x）在（1，+）上单调递增；（）当x1时，f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围选修
7、4-1：几何证明选讲22如图，在ABC中，ABC=90，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M（1）求证：DE是圆O的切线；（2）求证：DEBC=DMAC+DMAB选修4-4：坐标系与参数方程23已知曲线C的极坐标方程是=2cos，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|PB|=1，求实数m的值选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|2x1|x+2|（）解不等式f（x）3；（）存在x
8、0R，使得，求实数m的取值范围2015-2016学年新疆兵团农二师华山中学高三（上）学前数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共l2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合A=x|2x1，B=x|x22x0，则AB=（）Ax|0x1Bx|0x1Cx|1x1Dx|2x1【考点】交集及其运算【分析】解不等式求出集合B，代入集合交集运算，可得答案【解答】解：集合A=x|2x1，B=x|x22x0=x|0x2，AB=x|0x1，故选：B2复数=（）AiBiC2（+i）D1+i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则即可得出【解答】解
9、：复数=i，故选：A3点M（1，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，则a的值为（）ABC或D或【考点】抛物线的简单性质【分析】求出抛物线的准线方程，利用点到直线的距离公式求解即可【解答】解：抛物线y=ax2化为：x2=，它的准线方程为：y=，点M（1，1）到抛物线y=ax2准线的距离为2，可得|1+|=2，解得a=或故选：C4设Sn是公差不为零的等差数列an的前n项和，且a10，若S5=S9，则当Sn最大时，n=（）A6B7C10D9【考点】等差数列的前n项和【分析】由题意可得a7+a8=0，从而可得数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，可得结论【解答】解：由题意可得S9S5=a6+a7+
10、a8+a9=0，2（a7+a8）=0，a7+a8=0，又a10，该等差数列的前7项为正数，从第8项开始为负数，当Sn最大时，n=7故选：B5阅读程序框图，若输出结果S=，则整数m的值为（）A7B8C9D10【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，由输出结果S=，可判定退出循环的条件，即可得整数m的值【解答】解：模拟执行程序框图，可得S=0，n=1满足条件nm，S=，n=2满足条件nm，S=+，n=3满足条件nm，S=+=（1）+（）+（）+（）=1=，n=10由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为，故判断框内的条件应该为：n9故选：C6下列命题中
11、正确命题的个数是（）对于命题p：xR，使得x2+x10，则p：xR，均有x2+x10；p是q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件；命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题；“m=1”是“直线l1：mx+（2m1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直”的充要条件A1个B2个C3个D4个【考点】命题的真假判断与应用【分析】利用命题的否定即可判断出正误；利用充分必要条件定义即可判断出；利用互为逆否命题之间的等价关系即可判断出正误；对m分类讨论，利用相互垂直的直线与斜率之间的关系即可判断出【解答】解：对于命题p：xR，使得x2+x10，则p：xR，均有x2+x10，因此不
12、正确；p是q的必要不充分条件，则p是q的充分不必要条件，正确；由于命题“若x=y，则sinx=siny”是真命题，因此其逆否命题也为真命题，正确；当m=0时，直线l1：mx+（2m1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直；m0时，若两条直线垂直，则=1，解得m=1，可知：“m=1”是“直线l1：mx+（2m1）y+1=0与直线l2：3x+my+3=0垂直”的充分不必要条件，因此不正确综上可得：正确命题的个数为：2故选：B7如图，网格纸上小正方形的边长为1，若粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）A6B8C10D12【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据三视图得到几何体的
13、直观图，利用直观图即可求出对应的体积【解答】解：由三视图可知该几何体的直观图是三棱锥，其中面VAB面ABC，VEAB，CDAB，且AB=5，VE=3，CD=4，则该三棱锥的体积V=ABCDVE=10，故选：C8函数f（x）=sinx+sin（x）的图象的一条对称轴为（）Ax=Bx=Cx=Dx=【考点】函数的图象与图象变化【分析】先化简函数，再利用正弦函数的性质，即可得出结论【解答】解：f（x）=sinx+sin（x）=sinx+cosx+sinx=sin（x+），x=是函数f（x）=sinx+sin（x）的图象的一条对称轴，故选：D9不等式组表示的点集记为A，不等式组表示的点集记为B，在A中任
14、取一点P，则PB的概率为（）ABCD【考点】二元一次不等式（组）与平面区域；几何概型【分析】分别画出点集对应的区域，求出面积，利用几何概型的公式解答【解答】解：分别画出点集A，B如图，A对应的区域面积为44=16，B对应的区域面积如图阴影部分面积为=（）|=，由几何概型公式得，在A中任取一点P，则PB的概率为；故选A10已知f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，当x（2，4）时，f（x）=|x3|，则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=（）A1B0C2D2【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据已知可得f（x）=f（x），f（x+1）=f（x+1），结合x（2，4）时，f（x）=
15、|x3|，分别求出f（1），f（2），f（3），f（4）可得答案【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，f（x）=f（x），f（x+1）=f（x+1），又当x（2，4）时，f（x）=|x3|，f（3）=0，f（4）=1，f（1）=f（1）=f（2+1）=f（2+1）=f（3）=0，f（2）=f（2）=f（3+1）=f（3+1）=f（4）=1，故f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=0，故选：B11已知双曲线=1（a0，b0的左、右焦点分别为F1、F2，以F1F2为直径的圆被直线+=1截得的弦长为a，则双曲线的离心率为（）A3B2CD【考点】双曲线的简单性质【分析】求出
16、圆心到直线的距离，利用以F1F2为直径的圆被直线+=1截得的弦长为a，求出a，c的关系，即可求出双曲线的离心率【解答】解：由题意，圆心到直线的距离为d=，以F1F2为直径的圆被直线+=1截得的弦长为a，2=a，2（c4a2b2）=3a2c2，2c42a2（c2a2）=3a2c2，2e45e2+2=0，e1，e=故选：D12已知函数f（x）=，若函数F（x）=f（x）kx有且只有两个零点，则k的取值范围为（）A（0，1）B（0，）C（，1）D（1，+）【考点】函数的零点与方程根的关系【分析】求出双曲线的渐近线方程，y=ln（1x）在x=0处的切线方程，即可得出结论【解答】解：由题意，x0，f（x
17、）=为双曲线4y2x2=1在第一象限的部分，渐近线方程为y=x；当k=1时，由y=ln（1x），可得y=1可得x=0，即y=ln（1x）在x=0处的切线方程为y=x，此时函数F（x）=f（x）kx有且只有1个零点，若函数F（x）=f（x）kx有且只有两个零点，则k的取值范围为（，1），故选：C二、填空题（本大题共4小题，每小题5分）13向量，满足|=1，|=，（ +）（2），则向量与的夹角为90【考点】平面向量数量积的运算【分析】由向量垂直的条件可得（+）（2）=0，根据向量数量积的运算化简得=0，即可求出向量与的夹角【解答】解：因为|=1，|=，（ +）（2），所以（+）（2）=2+=0，则
18、2+2=0，即=0，所以，则向量与的夹角为90，故答案为：9014三棱柱ABCA1B1C1各顶点都在一个球面上，侧棱与底面垂直，ACB=120，CA=CB=2，AA1=4，则这个球的表面积为64【考点】球的体积和表面积【分析】通过已知体积求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O，球心为O，在RTOAO中，求出球的半径，然后求出球的表面积即可【解答】解：在ABC中，ACB=120，CA=CB=2，由余弦定理可得AB=6，由正弦定理，可得ABC外接圆半径r=2，设此圆圆心为O，球心为O，在RTOAO中，得球半径R=4，故此球的表面积为4R2=64故答案为：6415ABC的内角A，B，C所对的边分别为a
19、，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB=，cosB=，则a+c的值为3【考点】余弦定理【分析】由a，b，c成等比数列，可得b2=ac，由sinB=，cosB=，可解得ac=13，再由余弦定理求得a2+c2=37，从而求得（a+c）2的值，即可得解【解答】解：a，b，c成等比数列，b2=ac，sinB=，cosB=，可得=1，解得：ac=13，由余弦定理：b2=a2+c22accosB=ac=a2+c2ac，解得：a2+c2=37（a+c）2=a2+c2+2ac=37+213=63，故解得a+c=3故答案为：316在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=16，点P（2，2），M、N
20、是圆O上相异两点，且PMPN，若=+，则|的取值范围是22，2+2【考点】点与圆的位置关系；平面向量的基本定理及其意义【分析】如图所示，确定G点轨迹方程，即可得出结论【解答】解：如图所示，设MN中点为G（x，y），由PG=GN，得G点轨迹方程为（x1）2+（y1）2=6，又PQ=2PG，所以PG+，所以22PQ2+2故答案为：22，2+2三.非选择题17已知数列an前n项和为Sn，满足Sn=2an2n（nN*）（I）证明：an+2是等比数列，并求an的通项公式；（）数列bn满足bn=log2（an+2），Tn为数列的前n项和，若Tna对正整数a都成立，求a的取值范围【考点】数列的求和；数列递推
21、式【分析】（）运用数列的通项和前n项和的关系，变形整理即可得到an+2是等比数列，由等比数列的通项公式，即可求得；（）运用对数的运算性质，化简bn，再由裂项相消求和，即可得到Tn，运用不等式恒成立思想即可得到a的范围【解答】（）证明：由题设Sn=2an2n（nN*），Sn1=2an12（n1），n2，两式相减得an=2an1+2，即an+2=2（an1+2），又a1+2=4，所以an+2是以4为首项，2为公比的等比数列，an+2=42n1，即an=2n+12（n2）又a1=2，所以an=2n+12（nN*）；（）解：因为bn=log2（an+2）=log22n+1=n+1，即有=，故Tn=+=
22、，依题意得：a18为调查市民对汽车品牌的认可度，在秋季车展上，从有意购车的500名市民中，随机抽样100名市民，按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图2频率分布表分组（单位：岁）频数频率20，2550.0525，30200.2030，350.35035，403040，45100.10合计1001.000（1）频率分布表中的位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图统计这500名志愿者得平均年龄；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取20名参加的宣传活动，再从这20名中选取2名志愿者担任主要发言人记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布
23、列及数学期望【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列【分析】（1）利用频率分布表和频率分布直方图能求出频率分布表中的位置应填什么数，并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图能统计出这500名志愿者得平均年龄（2）由表知，抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，故X的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列及数学期望【解答】解：（1）由题意知频率分布表中的位置应填数字为：1005203010=35，位置应填数字为：=0.30补全频率分布直方图，如右图所示平均年龄估值为：（450.05+550.2+650.35+750.3+850.1）=
24、33.5（岁）（2）由表知，抽取的20人中，年龄低于30岁的有5人，故X的可能取值为0，1，2，P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=，X的分布列为： X 0 1 2 PEX=19如图，四棱锥PABCD的底面是边长为1的正方形，PA底面ABCD，E、F分别为AB、PC的中点（）求证：EF平面PAD；（）若PA=2，试问在线段EF上是否存在点Q，使得二面角QAPD的余弦值为？若存在，确定点Q的位置；若不存在，请说明理由【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定【分析】（）取PD中点M，连接MF、MA，通过中位线定理可得EFAM，利用线面平行的判定定理即得结论；（）以点A为坐标原点
25、建立空间直角坐标系，则平面PAD的法向量与平面PAQ的法向量的夹角的余弦值即为，计算即可【解答】证明：（）取PD中点M，连接MF、MA，在PCD中，F为PC的中点，MF，正方形ABCD中E为AB中点，AE，AEMF，故四边形EFMA为平行四边形，EFAM，又EF平面PAD，AM平面PAD，EF平面PAD；（）结论：满足条件的Q存在，是EF中点理由如下：如图：以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，则P（0，0，2），B（0，1，0），C（1，1，0），E（0，0），F（，1），由题易知平面PAD的法向量为=（0，1，0），假设存在Q满足条件：设=，=（，0，1），Q（，），=（，），0，1，设平面
26、PAQ的法向量为=（x，y，z），由，可得=（1，0），=，由已知： =，解得：，所以满足条件的Q存在，是EF中点20已知椭圆+=1（ab0）的左、右焦点为F1、F2，点A（2，）在椭圆上，且AF2与x轴垂直（1）求椭圆的方程；（2）过A作直线与椭圆交于另外一点B，求AOB面积的最大值【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）有已知：c=2，解得a=，b2=4，从而写出方程（2）分AB斜率不存在或斜率存在两种情况讨论【解答】解：（1）有已知：c=2，a=，b2=4，故椭圆方程为；（2）当AB斜率不存在时：，当AB斜率存在时：设其方程为：，由得，由已知：=168（2k2+1）=8，即：，|AB|=，O
27、到直线AB的距离：d=，SAOB=，2k2+11，2）（2，+），此时，综上所求：当AB斜率不存在或斜率存在时：AOB面积取最大值为21已知函数f（x）=ex1，g（x）=ax2+x（a1）（）曲线f（x）在x=1处的切线与直线x+2y1=0垂直，求实数a的值；（）当a=时，求证：f（x）在（1，+）上单调递增；（）当x1时，f（x）g（x）恒成立，求实数a的取值范围【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）求出函数f（x）的导函数，得到函数在x=1时的导数，由f（x）在x=1处的切线与直线x+2y1=0垂直列式求得实数a的值；（
28、）把a=代入函数解析式，求导后由导函数的符号可得f（x）在（1，+）上单调性；（）令h（x）=f（x）g（x），求导后对a分类，分a1和a1求得函数h（x）在（1，+）上的最值，利用函数h（x）的最小值大于等于0求得a的取值范围【解答】（）解：，依题意得：，解得：；（）证明：当时，对x（1，+）成立，即：f（x）在（1，+）上为增函数，又f（1）=0，故f（x）0对x（1，+）成立，f（x）在（1，+）上为增函数；（）解：由f（x）g（x），得： （x1），设（x1），h（x）=（x+1）ex1ax2x+a1=（x+1）ex1a（x1）1（x1），设k（x）=ex1a（x1）1（x1），k（x
29、）=ex1a当a1时：k（x）0对x1，+）成立，又k（1）=0，故k（x）0，即：h（x）0又h（1）=0，故h（x）0；当a1时：由k（x）=0，得x=1+lna1，当x（1，1+lna）时：k（x）0，又k（1）=0，故：k（x）0，即：h（x）0，又h（1）=0，故h（x）0这与已知不符综上所述：实数a的取值范围为（，1选修4-1：几何证明选讲22如图，在ABC中，ABC=90，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M（1）求证：DE是圆O的切线；（2）求证：DEBC=DMAC+DMAB【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明【分析】（1）
30、连接BE，OE，由已知得ABC=90=AEB，A=A，从而AEBABC，进而ABE=C，进而BEO+DEB=DCE+CBE=90，由此能证明DE是圆O的切线（2）DM=ODOM=（ACAB），从而DMAC+DMAB=（ACAB）（AC+AB）=BC2，由此能证明DEBC=DMAC+DMAB【解答】证明：（1）连接BE，OE，AB是直径，AEB=90，ABC=90=AEB，A=A，AEBABC，ABE=C，BEAC，D为BC的中点，DE=BD=DC，DEC=DCE=ABE=BEO，DBE=DEB，BEO+DEB=DCE+CBE=90，OED=90，DE是圆O的切线（2）证明：O、D分别为AB、B
31、C的中点，DM=ODOM=（ACAB），DMAC+DMAB=DM（AC+AB）=（ACAB）（AC+AB）=（AC2AB2）=BC2=DEBCDEBC=DMAC+DMAB选修4-4：坐标系与参数方程23已知曲线C的极坐标方程是=2cos，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线L的参数方程是（t为参数）（1）求曲线C的直角坐标方程和直线L的普通方程；（2）设点P（m，0），若直线L与曲线C交于A，B两点，且|PA|PB|=1，求实数m的值【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（1）曲线C的极坐标方程是=2cos，化为2=2cos，利用可得直
32、角坐标方程直线L的参数方程是（t为参数），把t=2y代入+m消去参数t即可得出（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为： +m22m=0，由0，得1m3利用|PA|PB|=t1t2，即可得出【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程是=2cos，化为2=2cos，可得直角坐标方程：x2+y2=2x直线L的参数方程是（t为参数），消去参数t可得（2）把（t为参数），代入方程：x2+y2=2x化为： +m22m=0，由0，解得1m3t1t2=m22m|PA|PB|=1=|t1t2|，m22m=1，解得，1又满足0实数m=1，1选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|2x1|x+2|（）解
33、不等式f（x）3；（）存在x0R，使得，求实数m的取值范围【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法【分析】（）利用零点分区间讨论去掉绝对值符号，化为分段函数，在每一个前提下去解不等式，每一步的解都要和前提条件找交集得出每一步的解，最后把每一步最后结果找并集得出不等式的解；（）根据第一步所化出的分段函数求出函数f（x）的最小值，若x0R，使得f（x0）+2m24m成立，只需4m2m2fmin（x），解出实数m的取值范围【解答】解：（）当x2时，f（x）=|2x1|x+2|=12x+x+2=x+3，f（x）3，即x+33，解得x0，又x2，x2；当时，f（x）=|2x1|x+2|=12xx2=3x1，f（x）3，即3x13，解得，又，；当时，f（x）=|2x1|x+2|=2x1x2=x3，f（x）3，即x33，解得x6，又，x6综上，不等式f（x）3的解集为（）f（x）=|2x1|x+2|=，x0R，使得，整理得4m28m50，解得因此实数m的取值范围是2016年9月18日