1、第3节 基本不等式及其应用考试要求 1.了解基本不等式的证明过程；2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.知 识 梳 理 ab1.基本不等式：abab2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当_时取等号.(3)其中_称为正数 a，b 的算术平均数，_称为正数 a，b 的几何平均数.ab2ab2.两个重要的不等式(1)a2b2_(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号.(2)abab22(a，bR)，当且仅当 ab 时取等号.2ab3.利用基本不等式求最值 已知 x0，y0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当_时，xy 有最_值是 2 p(简记：积定
2、和最小).(2)如果和 xy 是定值 s，那么当且仅当_时，xy 有最_值是s24(简记：和定积最大).xy小xy大4.应用基本不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错.5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.常用结论与微点提醒1.baab2(a，b 同号)，当且仅当 ab 时取等号.2.abab22a2b22.3.21a1b abab2 a2b22(a0，b0).诊 断 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)两个不等式 a2b22ab 与ab2 ab成立的条件是相同的.()(
3、2)函数 yx1x的最小值是 2.()(3)函数 f(x)sin x 4sin x的最小值为 4.()(4)x0 且 y0 是xyyx2 的充要条件.()解析(1)不等式a2b22ab成立的条件是a，bR；不等式ab2 ab成立的条件是 a0，b0.(2)函数 yx1x的值域是(，22，)，没有最小值.(3)函数 f(x)sin x 4sin x没有最小值.(4)x0 且 y0 是xyyx2 的充分不必要条件.答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材必修第一册 P48T1 改编)已知 x2，则 x 4x2的最小值是()A.2 B.4 C.2 2D.6解析 x2，x 4x2(x2)4x222（x
4、2）4x22426.当x2 4x2，即 x4 时等号成立.答案 D A.有最小值，且最小值为2 B.有最大值，且最大值为2 C.有最小值，且最小值为2 D.有最大值，且最大值为2 3.(新教材必修第一册 P45 例 1 改编)若 x0，则 x1x()解析 因为 x0，x1xx1x 2（x）1x 2，当且仅当 x1 时，等号成立，所以 x1x2.答案 D 4.(2020安徽江南十校联考)已知实数 x 满足 log12x1，则函数 y8x12x1的最大值为()A.4B.8C.4D.0 解析 由 log12x1 得 0 x12，12x10，8b0，所以 2a 18b22a 18b22a3b2 14，
5、当且仅当 2a 18b，即 a3，b1 时取等号.故 2a 18b的最小值为14.答案 14考点一 利用基本不等式求最值 多维探究 角度1 配凑法求最值【例 11】(1)(2020乐山一中月考)设 0 x0，则 a82a1的最小值为_.解析(1)y4x(32x)22x(32x)22x（32x）2292，当且仅当 2x32x，即 x34时，等号成立.340，32，函数 y4x(32x)0 x32 的最大值为92.(2)由题意可知 a82a1a12 4a12122a12 4a121272，当且仅当 a12 4a12，即 a32时等号成立.所以 a82a1的最小值为72.答案(1)92(2)72规律
6、方法 配凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用配凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)配凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形；(2)代数式的变形以配凑出和或积的定值为目标；(3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提.角度2 常数代换法求最值【例 12】(2019龙岩一模)已知 x0，y0，且 1x11y12，则 xy 的最小值为()A.3B.5C.7D.9 解 析 x0，y0，且1x1 1y 12，x 1 y 2 1x11y(x 1 y)211 yx1x1y222yx1x1y8，当且仅当 yx1x1y，即 x3，y4 时取等
7、号，xy7，故 xy 的最小值为 7.答案 C 规律方法 常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；(4)利用基本不等式求解最值.角度3 消元法求最值【例13】若正数x，y满足x26xy10，则x2y的最小值是()A.2 23B.23C.33D.2 33解析 因为正数 x，y 满足 x26xy10，所以 y1x26x.由x0，y0，即x0，1x26x 0，解得 0 x1.所以 x2yx1x23x 2x3 13x22x3 13x2 23，当且仅当2x3 13x，即
8、 x 22，y 212时取等号，故 x2y 的最小值为2 23.答案 A 规律方法 消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题，解决的方法是代入消元后利用基本不等式求解.但应注意保留元的取值范围.【训练 1】(1)(角度 1)已知函数 f(x)x2x1(x0，y0，x2y5，则（x1）（2y1）xy的最小值为_.(3)(角度 3)若 a，b，c 都是正数，且 abc2，则 4a1 1bc的最小值是()A.2B.3 C.4 D.6 解析(1)f(x)x2x1x211x1x1 1x1 x1 1x12(x1)1（x1）2.因为 x1，所以 x
9、10，所以 f(x)2 124，当且仅当(x1)1（x1），即 x2 时，等号成立.故 f(x)的最小值为 4.(2)x0，y0，xy0.x2y5，（x1）（2y1）xy2xyx2y1xy2xy6xy 2 xy 6xy2 124 3，当且仅当 2 xy 6xy，即 x3，y1 或 x2，y32时取等号.（x1）（2y1）xy的最小值为 4 3.(3)由题意可得 bc2a0，所以 0a2.4a1 1bc 4a1 12a 4（2a）（a1）（2a）（a1）93aa2a2 3（3a）（a3）25（a3）43（3a）43a5312 453，当且仅当 a1 时等号成立，所以 4a1 1bc的最小值是 3
10、.答案(1)A(2)4 3(3)B考点二 基本不等式的实际应用【例 2】运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米，按交通法规限制50 x100(单位：千米/时).假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油2 x2360 升，司机的工资是每小时 14 元.(1)求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；(2)当 x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.解(1)所用时间为 t130 x(h)，y130 x 22 x2360 14130 x，x50，100.所以，这次行车总费用 y 关于 x 的表达式是 y13018x2130360 x，x50，100(或y2 34
11、0 x1318x，x50，100).(2)y13018x2130360 x26 10，当且仅当13018x2130360 x，即 x18 10时等号成立.故当 x18 10千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为 26 10元.规律方法 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数.2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练 2】网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019 年1月起开展网络
12、销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量 x万件与投入实体店体验安装的费用 t 万元之间满足函数关系式 x3 2t1.已知网店每月固定的各种费用支出为 3 万元，产品每 1 万件进货价格为 32 万元，若每件产品的售价定为“进货价的 150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是_万元.答案 37.5 解析 由题意知 t 23x1(1x0，0)，则41的最小值为()(2)(2020长沙模拟)如图，在三棱锥 PABC 中，PA，PB，PC 两两垂直，且 PA3，PB2，PC1.设 M 是底面 ABC 内一点，定义f(M)(m，n，p)
13、，其中 m，n，p 分别是三棱锥 MPAB、三棱锥 MPBC、三棱锥 MPCA 的体积.若 f(M)12，x，y，且1xay 8恒成立，则正实数 a 的最小值为_.解析(1)由题意可知，APAB4AD，又 B，P，D 共线，由三点共线的充要条件可得 41，又因为 0，0，所以4141(4)816 8216 16，当且仅当 12，18时等号成立，故41的最小值为 16.故选 A.(2)PA，PB，PC 两两垂直，且 PA3，PB2，PC1，VPABC1312321112xy.xy12，则 2x2y1.答案(1)A(2)1 规律方法(1)当基本不等式与其它知识相结合时，往往是提供一个应用基本不等式
14、的条件，然后利用常数代换法求最值.(2)求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用基本不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围.a0，1xay1xay(2x2y)22a2yx 2axy 22a4 a(当且仅当2yx 2axy，即 y ax 时，取等号)，因此 22a4 a8，解得 a1，正实数 a 的最小值为 1.【训练3】(2020厦门联考)对任意m，n(0，)，都有m2amn2n20，则实数a的最大值为()A.2B.2 2C.4D.92解析 对任意 m，n(0，)，都有 m2amn2n20，m22n2amn，即am22n2mnmn2nm恒成立，mn2nm 2mn2nm 2 2，当且仅当mn2nm 即 m 2n时取等号，a2 2，故 a 的最大值为 2 2，故选 B.答案 B