1、 课时提升卷 用数学归纳法证明不等式举例（45分钟 100分）一、选择题(每小题5分,共30分)1.用数学归纳法证明1+a+a2+an+1=(nN+,a1),在验证n=1时,左边所得的项为()A.1 B.1+a+a2C.1+a D.1+a+a2+a32.用数学归纳法证明2nn2(n5,nN+)成立时第二步归纳假设的正确写法是()A.假设n=k时命题成立B.假设n=k(kN+)时命题成立C.假设n=k(k5)时命题成立D.假设n=k(k5)时命题成立3.(2013日照高二检测)用数学归纳法证明“Sn=+1(nN+)”时,S1等于()A. B.C.+ D.+4.(2013合肥高二检测)利用数学归纳
2、法证明不等式1+f(n)(n2,nN+)的过程,由n=k到n=k+1时,左边增加了()A.1项 B.k项 C.2k-1项 D.2k项5.设f(x)是定义在正整数集上的函数,有f(k)满足:当“f(k)k2成立时,总可推出f(k+1)(k+1)2成立”.那么下列命题总成立的是()A.若f(3)9成立,则当k1时,均有f(k)k2成立B.若f(5)25成立,则当k5时,均有f(k)k2成立C.若f(7)49成立,则当k8时,均有f(k)k2成立D.若f(4)=25成立,则当k4时,均有f(k)k2成立6.对于正整数n,下列说法不正确的是()A.3n1+2n B.0.9n1-0.1nC.0.9n时,
3、f(2k+1)-f(2k)=_.9.(2013台州高二检测)若数列an的通项公式an=,记cn=2(1-a1)(1-a2)(1-an),试通过计算c1,c2,c3的值,推测cn=_.三、解答题(1011题各14分,12题18分)10.用数学归纳法证明:()nn!(n1,nN+).11.设函数f(x)=x-xlnx,数列an满足0a11,an+1=f(an).(1)证明:函数f(x)在区间(0,1)上是增函数.(2)证明:anan+142,因此对于任意的k4,均有f(k)k2成立.6.【解析】选C.结合贝努利不等式(1+x)n1+nx(x-1,且x0,n1,nN+)判断.当x=2时,(1+2)n
4、1+2n,A正确.当x=-0.1时,(1-0.1)n1-0.1n,B正确,C不正确.当x=-0.9时,(1-0.9)n1-0.9n,因此D正确.7.【解析】由贝努利不等式(1+x)n1+nx(x-1,且x0,n1,nN+),当n1时,令x=,所以1+n,所以1+n,即(a+b)nan+nan-1b,当n=1时,M=N,故MN.答案:MN8.【解题指南】先列出f(2k)与f(2k+1),再比较即可.【解析】f(2k)=1+,f(2k+1)=1+,故f(2k+1)-f(2k)=+.答案:+9.【解析】c1=2(1-a1)=2=,c2=2(1-a1)(1-a2)=2=,c3=2(1-a1)(1-a2
5、)(1-a3)=2=,故cn=.答案:10.【证明】(1)当n=2时,=2!=2,不等式成立.(2)假设n=k(k2且kN+)时不等式成立,即k!,当n=k+1时,=+(k+1)=(k+1)(k+1)k!=(k+1)!,所以当n=k+1时不等式成立.由(1)(2)可知对n1的一切自然数,不等式成立.11.【证明】(1)f(x)=1-(1+lnx)=-lnx.因为x(0,1),所以lnx0,所以f(x)在(0,1)上为增函数.(2)运用数学归纳法证明0an1.当n=1时,由于0a11,所以不等式成立.假设当n=k(k1)时,0ak1,则当n=k+1时,ak+1=f(ak)=ak-aklnak=a
6、k(1-lnak).因为lnak0,令g(x)=f(x)-1=x-xlnx-1.当0x1时,由于g(x)与f(x)有相同的单调性,因此g(x)g(1)=0即f(x)1,所以当0ak1时,ak+11.综上:0ak+11.假设归纳成立,即对于任意的正整数n均有0an1,而an+1-an=-anlnan,当0an0.因此anan+11.12.【证明】由已知,得Sn=3n-1,等价于,即3n2n+1.(*)用数学归纳法证明上面不等式成立.当n=1时,左边=3,右边=3,所以(*)式成立.假设当n=k(k1)时,(*)式成立,即3k2k+1,那么当n=k+1时,3k+1=33k3(2k+1)=6k+32k+3=2(k+1)+1,所以当n=k+1时,(*)式成立.综合,得3n2n+1成立.所以.关闭Word文档返回原板块。