1、第五章计数原理2排列问题第2课时排列(二)课后篇巩固提升合格考达标练1.(2020湖南益阳期末)设nN+,且n20,则(20-n)(21-n)(2 020-n)=() A.A2 020-n2 001B.A2 020-n2 001-nC.A2 020-n19D.A2 020-n2 000答案A解析先确定最大数,即2 020-n,再确定因式的个数,即(2 020-n)-(20-n)+1=2 001,所以原式=A2 020-n2 001.2.(2020安徽淮南九中月考)要从甲、乙、丙、丁、戊5个人中选出1名组长和1名副组长,但甲不能当副组长,则不同的选法种数是()A.20B.16C.10D.6答案B
2、解析不考虑限制条件有A52种选法,若甲当副组长,有A41种选法,故甲不当副组长的选法有A52-A41=16(种).3.(2020湖北重点高中联考协作体月考)在由1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中,各位上的数字之和为奇数的共有()A.36个B.24个C.18个D.6个答案B解析数字之和为奇数有两种可能:“三奇”,可组成数字A33=6(个);“两偶一奇”,可组成数字3A33=18(个).由分类加法计数原理得,各位上的数字之和为奇数的共有6+18=24(个).4.5人并排站成一行,如果甲、乙两个人不相邻,那么不同的排法种数可以是()A.36B.60C.72D.48答案C解析先将
3、除了甲、乙两人之外的3人全排,共A33种不同的排法,再将甲、乙两人从产生的4个空中选2个插入共A42种不同的排法,所以5人并排站成一行,甲、乙两个人不相邻的不同排法种数是A33A42=612=72,故选C.5.若要在某跨海大桥上建造风格不同的3个报警电话亭和3个观景区,要求它们各自互不相邻,则不同的排法种数为()A.144B.72C.36D.9答案B解析若电话亭用表示,观景区用表示,先排电话亭有A33种方法.则观景区插入电话亭所形成的空时,只有或两类,观景区有2A33种排法.故共有2A33A33=72种排法.6.从6名短跑运动员中选出4人参加4100 m接力赛,甲不能跑第一棒和第四棒,问共有种
4、参赛方案.答案240解析(方法一)从人(元素)的角度考虑,优先考虑甲,分以下两类:第1类,甲不参赛,有A54种参赛方案;第2类,甲参赛,可优先将甲安排在第二棒或第三棒,有2种方法,然后安排其他3棒,有A53种方法,此时有2A53种参赛方案.由分类加法计数原理可知,甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A54+2A53=240(种).(方法二)从位置(元素)的角度考虑,优先考虑第一棒和第四棒,则这两棒可以从除甲之外的5人中选2人,有A52种方法;其余两棒从剩余4人中选,有A42种方法.由分步乘法计数原理可知,甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A52A42=240(种).(方法三)排除法不考虑甲的
5、约束,6个人占4个位置,有A64种安排方法,剔除甲跑第一棒和第四棒的参赛方案有2A53种,所以甲不能跑第一棒和第四棒的参赛方案共有A64-2A53=240(种).7.两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩,购票后排队依次入园.为安全起见,首尾一定要排两位爸爸,另外,两个小孩一定要排在一起,则这6人的入园顺序排法种数为.答案24解析分3步进行分析,先安排两位爸爸,必须一首一尾,有A22=2种排法,两个小孩一定要排在一起,将其看成一个元素,考虑其顺序有A22=2种排法,将两个小孩看作一个元素与两位妈妈进行全排列,有A33=6种排法.则共有226=24种排法.8.用1,2,3,4,5,6,7排成无重复数
6、字的七位数,按下述要求各有多少个?(1)偶数不相邻;(2)偶数一定在奇数位上;(3)1和2之间恰好夹有一个奇数,没有偶数.解(1)用插空法,共有A44A53=1 440个.(2)先把偶数排在奇数位上有A43种排法,再排奇数有A44种排法.共有A43A44=576个.(3)1和2排列有A22种方法,在1和2之间放一个奇数有A31种方法,把1,2和相应奇数看成整体再和其余4个数进行排列有A55种排法,故共有A22A31A55=720(个).等级考提升练9.7名学生站成一排,若甲、乙相邻,但都不和丙相邻,则不同的排法种数是()A.480B.960C.720D.360答案960解析先将甲、乙捆绑,看作
7、一个元素,有A22种排法,然后将除甲、乙、丙之外的4名学生全排列,有A44种不同的排法,再将甲、乙、丙插入5个空中的两个,有A52种不同的排法,因此,一共有A22A44A52=960种不同排法.10.用0到9这10个数字,组成没有重复数字的四位偶数的个数是()A.2 295B.2 296C.2 297D.2 298答案B解析(方法一)先排个位,若个位是0,则前3个数位上可以用剩下的9个数字任意排,有A93种,若个位不是0,则个位有A41种选择,再排千位,有A81种方法,再排百位和十位有A82种方法,所以没有重复数字的四位偶数共有A93+A41A81A82=2 296(个).(方法二)个位是0的
8、不同四位数偶数共有A93种,个位不是0时,先排个位,有A41种方法,其余三个数位从剩下的9个数中取3个排列,有A93种方法,则有A41A93个排列,其中包含千位为0的排列A41A82种,故没有重复数字的四位偶数共有A93+A41(A93-A82)=2 296(个).(方法三)若千位为奇数,则有A51A51A82个,若千位是偶数,有A41A41A82个,故共有A51A51A82+A41A41A82=2 296(个).(方法四)没有重复数字的四位数有A104-A93个,没有重复数字的四位奇数有A51(A93-A82)个,故没有重复数字的四位偶数有A104-A93-A51(A93-A82)=2 29
9、6(个).故选B.11.某大楼安装了5个彩灯,它们闪亮的顺序不固定.每个彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色,且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同.记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中,每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮,而相邻两个闪烁的时间间隔均为5 s.若要实现所有不同的闪烁,则需要的时间至少是()A.1 205 sB.1 200 sC.1 195 sD.1 190 s答案C解析由题意知,共有A55=120个不同的闪烁,而每一个闪烁要完成5个闪亮需用时5 s,共有1205=600 s,每两个闪烁之间需间隔5 s,共有120-1=119个闪烁间隔,用时1195=595 s,故总用时
10、600+595=1 195 s.12.5名男生与2名女生排成一排照相,若男生甲必须站在中间,2名女生必须相邻,则符合条件的排法共有()A.48种B.192种C.240种D.288种答案B解析(用排除法)将2名女生看作1人,与4名男生一起排队,有A55种排法,而女生可互换位置,所以共有A55A22种排法,男生甲插入中间位置,只有一种插法;而4男2女排列中2名女生恰在中间的排法共有A44A22种,这时男生甲若插入中间位置不符合题意,故符合题意的排列总数为A55A22-A44A22=192.13.若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大,则称这个数为“伞数”.现从2,3,4,5,6,9这六个数
11、字中任取3个数,组成无重复数字的三位数,其中“伞数”有()A.120个B.80个C.40个D.20个答案C解析由题意知可按十位数字的取值进行分类:第一类,十位数字取9,有A52个;第二类,十位数字取6,有A42个;第三类,十位数字取5,有A32个;第四类,十位数字取4,有A22个.所以一共有A52+A42+A32+A22=40个.14.把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有种.答案36解析将产品A与B捆绑在一起,然后与其他三种产品进行全排列,共有A22A44种方法,将产品A,B,C捆绑在一起,且A在中间,然后与其他两种产品进行全排列,共有A22A3
12、3种方法.于是符合题意的排法共有A22A44-A22A33=36(种).15.用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中比40 000大的偶数共有个.答案120解析数字0,1,2,3,4,5中仅有0,2,4三个偶数,比40 000大的偶数为以4开头与以5开头的数.其中以4开头的偶数又分以0结尾与以2结尾,有2A43=48个;同理,以5开头的有3A43=72个.于是共有48+72=120(个).16.三个女生和五个男生排成一排.(1)如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法?(2)如果女生必须全分开,有多少种不同的排法?(3)如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法?解(1
13、)由于女生排在一起,可把她们看成一个整体,这样同五个男生合在一起有六个元素,排成一排有A66种排法,而其中每一种排法中,三个女生间又有A33种排法,因此共有A66A33=4 320种不同排法.(2)先排5个男生,有A55种排法,这5个男生之间和两端有6个位置,从中选取3个位置排女生,有A63种排法,因此共有A55A63=14 400种不同排法.(3)因为两端不排女生,只能从5个男生中选2人排列,有A52种排法,剩余的位置没有特殊要求,有A66种排法,因此共有A52A66=14 400种不同排法.新情境创新练17.如图,某伞厂生产的太阳伞蓬是由8块相同的区域组成的,用7种颜色分别涂在伞蓬的8个区域内,且恰有一种颜色涂在相对区域内,则不同的颜色图案的此类太阳伞至多有多少种?解如图,对8个区域进行编号,任选一组对称区域(如1与5)同色,用7种颜色涂8个区域的不同涂法有A77种,又由于1与5,2与6,3与7,4与8是对称的,即重复染色2次,故此种图案至多有A772=2 520(种).