1、第五章计数原理2排列问题第1课时排列(一)课后篇巩固提升合格考达标练1.已知下列问题:从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组;从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动;从a,b,c,d中选出3个字母;从1,2,3,4,5这5个数字中取出2个数字组成一个两位数.其中是排列问题的有() A.1个B.2个C.3个D.4个答案B解析由排列的定义知,是排列问题.2.A12m=9101112,则m等于()A.3B.4C.5D.6答案B3.5A53+4A42等于()A.107B.323C.320D.348答案D解析5A53+4A42=5543+443=348.4.已知An2=7An-42
2、,则n的值是()A.2B.6C.7D.8答案C解析由An2=7An-42知,n-42,故n6.原方程可化为n(n-1)=7(n-4)(n-5),即3n2-31n+70=0,解得n=7或n=103(舍),故选C.5.方程3Ax3=2Ax+12+6Ax2的解为.答案5解析由排列数定义可得x3,x+12,x2,xN+,即x3,xN+,原方程可化为3x(x-1)(x-2)=2(x+1)x+6x(x-1),x3,可化为3x2-17x+10=0,即(3x-2)(x-5)=0,解得x=5或x=23(舍).6.由1,4,5,x四个数字组成没有重复数字的四位数,所有这些四位数的各个数位上的数字之和为288,则x
3、=.答案2解析当x0时,有A44=24个四位数,每个四位数的数字之和为1+4+5+x,故24(1+4+5+x)=288,解得x=2;当x=0时,每个四位数的数字之和为1+4+5=10,而288不能被10整除,即x=0不符合题意.综上可知,x=2.7.某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号,每次可以任挂1面、2面或3面(旗的颜色无重复),并且不同的顺序表示不同的信号,则一共可以表示种不同的信号.答案15解析第1类,挂1面旗表示信号,有A31种不同结果;第2类,挂2面旗表示信号,有A32种不同结果;第3类,挂3面旗表示信号,有A33种不同结果;根据分类加法计数原理,可以表示的信
4、号共有A31+A32+A33=3+32+321=15种.8.A,B,C,D四人站成一排,其中A不站排头,写出所有的站法.解作出“树形图”如下:故所有的站法是BACD,BADC,BCAD,BCDA,BDAC,BDCA,CABD,CADB,CBAD,CBDA,CDAB,CDBA,DACB,DABC,DBAC,DBCA,DCAB,DCBA.等级考提升练9.若S=A11+A22+A33+A44+A100100,则S的个位数字是()A.8B.5C.3D.0答案C解析A11=1,A22=2,A33=6,A44=24,个位数之和为1+2+6+4=13,而A55,A66,A100100都含有5和至少一个偶数,
5、个位数字均为0,S的个位数字为3.10.从2,3,5,7四个数中任选两个分别相除,则得到的结果有()A.6个B.10个C.12个D.16个答案C解析符合题意的商有A42=43=12个.11.若a,b1,3,5,7,9,则lg a-lg b的不同值的个数是()A.9B.10C.18D.20答案C解析首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数进行排列,共有A52=20种排法,因为31=93,13=39,所以从1,3,5,7,9这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为a,b,共可得到lg a-lg b的不同值的个数是20-2=18.12.从集合3,5,7,9,11中任取两个元素,相加可得多少
6、个不同的和?相除可得多少个不同的商?作为椭圆x2a2+y2b2=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程?作为双曲线x2a2-y2b2=1中的a,b,可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程?上面四个问题属于排列问题的是()A.B.C.D.答案B解析加法满足交换律,不是排列问题;除法不满足交换律,如5335,是排列问题;若方程x2a2+y2b2=1表示焦点在x轴上的椭圆,则必有ab,a,b的大小一定;在双曲线x2a2-y2b2=1中不管ab还是a1)个车站,客运车票增加了62种,则n=,m=.答案152解析由题意得,An+m2-An2=62,(n+m)(n+m-1)-n(n-1)=62
7、,整理得m(2n+m-1)=62=231.m,n均为正整数,2n+m-1也为正整数.62不可能再分解为其他两个正整数相乘的形式,m=2,2n+m-1=31,解得n=15,m=2.16.某国的篮球职业联赛共有16支球队参加.(1)每队与其余各队在主客场分别比赛一次,共要进行多少场比赛?(2)若16支球队恰好8支来自北部赛区,8支来自南部赛区,为增加比赛观赏度,各自赛区分别采用(1)中的赛制决出赛区冠军后,再进行一场总冠军赛,共要进行多少场比赛?解(1)任意两队之间要进行一场主场比赛及一场客场比赛,对应于从16支球队任取两支的一个排列,比赛的总场次是A162=1615=240.(2)由(1)中的分
8、析,比赛的总场次是A822+1=872+1=113.新情境创新练17.从集合1,2,3,20中任选出3个不同的数,使这3个数成等差数列,这样的等差数列可以有多少个?解设a,b,cN+,且a,b,c成等差数列,则a+c=2b,由此可以得出a+c应是偶数.因此从1到20这20个自然数中任选3个数成等差数列.则第一个数与第三个数必同时为偶数或同时为奇数,而1到20这20个自然数中有10个偶数和10个奇数,当第一个数a和第三个数c选定后,中间的数b也就唯一确定了,所以选法只有两类:a与c都是偶数,有A102种选法;a与c都是奇数,有A102种选法.根据分类加法计数原理,选出3个不同的数成等差数列,这样的数列有A102+A102=180(个).