1、南部中学2012-2013学年高二下期半期考试数学试题（理科B）考试时间：120分 满分：150分一、选择题（每小题5分，共50分）1. 下列各数：,中虚数的个数是 （ ）A 1 B 2 C 3 D42. 曲线在点处的切线方程是 （ ）A.B. C. D.3. 复数满足，则 （ ）A B C D4. 用反证法证明命题 ：“关于方程最多有两个实数根” ，下列假设中正确的是 （）只有两个实数根 最少三个实数根至少有两个实数根 少于三个实数根5. 设函数的导函数为，且，则函数的单调增区间为 （ ） A（-） B（） C（） D（）6. 设函数,则 （ ）A为的极小值点 B为的极大值点C的单减区间为
2、D恒成立7. 已知，由不等式可以推出结论：= （ ）A B C D（第8题图）CBPDAE 8. 如图，正四棱锥的所有棱长相等，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 ( )A B C D9. 函数在的值恒为非负，则的取值范围是 （ ）A B C D10.我们常用以下方法求形如的函数的导数：先两边同取自然对数得：，再两边同时求导得到：，于是得到：，运用此方法求得函数的一个单调递增区间是 （ ） A（，4） B（3，6） C（0，） D（2，3）二、填空题（每小题5分，共25分）11. 复数在复平面上对应的点的坐标是 ;12. 函数在=1处取得极值，则的值为 ；第14题图13. 用数学归纳法证明
3、等式时，第一步验证时，成立的等式是 ；14. 已知二面角为，为线段的中点，则直线与平面所成角的大小为 ；15. 下列结论：如果一条直线和一个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在这个平面内的射影垂直；定义运算，复数z满足，则复数的模为；向量，有；类比复数，有；满足条件 的复数在复平面上对应点的轨迹是椭圆。真命题的序号是 .高2011级高二下期半期考试数学试题（理科B）一、选择题（每小题5分，共50分）题号12345678910选项BABBCDDDCC二、填空题（每小题5分，共25分）11、 12、 -1 13、 或 14、 15、 7.第3个式子：知猜想： 选D.9由题意， 得，设，则， 即
4、所以在上单减，则，故，选C。10. 由，则，所以，由得，解得，即增区间为，选C.14过作于，连接，易知为二面角的平面角，又，所以，为等边三角形，取中点，连接，易知为直线与平面所成的角，由，得。三、解答题（每小题12分，共48分）16. (本小题满分12分) 已知复数（为虚数单位）,把复数的共轭复数记作，若，求复数；16.解： （5分） （12分）第17题图17. (本小题满分12分)如图内接于圆，分别是的中点,是圆的直径，四边形为平行四边形,且平面证明：（1） /平面;（2） 平面平面；17. 证明：（1）取中点，连接 则/，四边形为平行四边形，故/又， （6分）（2）易证：，而，又，平面平面
5、 （12分）18. (本小题满分12分) 已知函数() 求函数的单调区间；() 求函数在区间上的最小值；18. 解：（1） （4分）由得；由得； （6分）所以函数的单调增区间为（或），单调增区间为（或）。 （8分）（2）由（1）可知，为在区间的极小值点，也是最小值点，故函数在区间上的最小值为 （12分）19. (本小题满分12分)如图,四边形为矩形,且, ,为的中点. (1) 求点C到面PDE的距离; (2) 求直线与面所成角的正弦值；(3) 探究：在线段上是否存在点N,使得二面角的平面角大小为.试确定点N的位置.19.(1)几何法：连接，易得，而为直角三角形，故第19题图又，所以，又，由，设
6、点C到面PDE的距离为，则，得（4分）（2）由（1）直线与面所成角的正弦值（8分）（3）坐标法：建立如图所示，空间直角坐标系，设，则，设为平面的法向量，则，令则又,所以为平面的一个法向量。由题意：得解得：即点在线段上距点的处。 （12分）20. (本小题满分13分)若不等式对一切正整数都成立，求正整数的最大值，并证明结论20. 解：当时，即，所以而是正整数，所以取， （4分）下面用数学归纳法证明：（1）当时，已证；（5分）（2）假设当时，不等式成立，即（7分）则当时，有 （9分）因为，所以所以当时不等式也成立 （12分）由（1）（2）知，对一切正整数，都有；（13分）21.（本小题满分14分）已知函数.求函数的单调区间；记函数的最小值为，求取最大值时实数的值；在的条件下，证明：.21.解：（1）由题意，由得.（3分）当时, ；当时，.在单调递减，在单调递增.即在处取得极小值，且为最小值， （6分）（2）由（1），由得.在区间上单调递增，在区间上单调递减在处取得极大值 （10分）（3）由（2）知，因为，所以对任意实数均有，即.令 ，则. （14分）