1、河南省中原名校联盟2020-2021学年高三上学期第一次质量考评数学（理）试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1已知集合，则（ ）ABCD2已知复数，则的共轭复数（ ）ABCD3已知，则（ ）ABCD4的展开
2、式中的系数为（ ）AB32C64D5已知，则，的大小关系正确的是（ ）ABCD6已知实数，满足不等式组，则的最大值为（ ）A20B18C12D47已知双曲线C的方程为，其离心率，则双曲线C的上焦点F到其渐近线的距离为（ ）ABCD8函数在内的极小值为（ ）ABCD9已知函数，若为偶函数，且时， ，若在 上的值域为，则实数的取值范围为（ ）ABCD10在古代，正四棱台也叫“方亭”，竖着切去“方亭”两个边角块，把它们合在一起是“刍甍”（如图1中的几何体为一个“刍甍”），图1是上底为，下底为的一个“方亭”，图2是由图1中的“方亭”得到的“刍甍”，已知“方亭”的体积为，“刍甍”的体积为，若（约等于06
3、18，被称为黄金分割比例，且恰好是方程的一个实根，台体的体积公式为），则（ ）ABCD11已知抛物线的焦点为F，过F的直线与C交于A，B两点（设点A在第一象限），分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为， ，若为等边三角形，的面积为，四边形的面积为，则（ ）ABCD12已知函数（为常数）满足，若 在上的最大值和最小值分别为，则的值为（ ）A或15B或11C或9D5或二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13函数的图象在处的切线方程为_14已知非零向量，满足，且，则向量与的夹角为_15已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且的面积为，则的最小值为_16已知正三棱锥的底面边长为3
4、，其外接球的球心在三棱锥的内部，且外接球的表面积为，若D为BC中点，则异面直线PD与AB所成角的余弦值为_三、解答题（本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分12分）已知数列是等比数列，若，且，成等差数列（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前项和18（本小题满分12分）如图，S为圆锥的顶点，O为底面圆心，点A，B在底面圆周上，且，点C，D分别为SB，OB的中点（1）求证：；（2）若圆锥的底面半径为2，高为4，求直线AC与平面SOA所成的角的正弦值19（本小题满分12分）在5月31日世界无烟日来临前夕，甲、乙两个单位随机抽取部分烟民进行调查，得到他们每月
5、吸烟数量（单位：盒）的茎叶图如下所示（1）若规定每月吸烟不超过10盒称为“初级烟民”，否则称为“非初级烟民”试根据所给的茎叶图，填写下列22列联表并分析是否有95%的把握认为两个单位的烟民中的“初级烟民”所占比例有差别：初级烟民非初级烟民合计甲单位烟民数（单位：个）乙单位烟民数（单位：个）合计（2）设吸烟盒数的平均数为，方差为，若出现吸烟盒数不在内的烟民，则需要对该烟民进行跟踪观察，根据所给数据分析在乙单位调査的烟民中，是否有需要跟踪观察的烟民（参考数据：）附：，其中0.10.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82820（本小题满分12分）如图，直
6、线与椭圆交于M，N两点，与直线交于点P，且椭圆E的离心率为（1）若点M在第二象限，且的最小值为（其中O为坐标原点），求椭圆E的方程；（2）若椭圆E的方程为（1）中所求方程，且，求的取值范围21（本小题满分12分）已知函数（1）若的极小值为，求实数的值；（2）若，求证：【选考题】请考生在第22、23两题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目如果多做，则按所做的第一个题目计分22（本小题满分10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为（1）求直线被曲线C截得的弦长；（2）设点P的直角坐标为，直
7、线与曲线C交于A，B两点，求23（本小题满分10分）【选修4-5:不等式选讲】已知函数的最小值为（1）求的值；（2）若，且，求证：中原名校20202021学年上期质量考评一高三理科数学全解全析1【答案】B【解析】由题意得，故故选B2【答案】C【解析】由题意，故故选C3【答案】B【解析】，故选B4【答案】C【解析】由题意，展开式中含的项为：，故所求系数为64故选C5【答案】C【解析】由对数函数的质可得，即；又，故，即；，即，故故选C6【答案】A【解析】不等式组表示的平面区域如下图的阴影部分所示，平移直线可知，在点A处取得最大值由，可得，故的最大值为故选A7【答案】B【解析】设双曲线C实轴长为，由
8、题意，得，即，所以，上焦点，双曲线C的方程为，所以双曲线C的渐近线方程为，即故上焦点F到渐近线的距离为故选B8【答案】A【解析】，令，得，由，得，或，即或令，得，结合，得或；令，得，结合，得，当时，取得极小值故选A9【答案】B【解析】由题意，可以画出函数的大致图象如下由，结合图象可知，故选B10【答案】D【解析】设“方亭”的高为，则，设，则，即，故选D11【答案】D【解析】由条件可得，直线AB的方程为，与联立，消去，整理得，解得或，故，则，则的面积为，四边形的面积为，故故选D12【答案】A【解析】对于函数，由可得，故的最大值为，最小值为，即的值域为因为，所以，故，即当时，故在上单调递减，在上单
9、调递增，故的最大值为，最小值为，即；当时，同理可得综上或11，所以或15，故选A13【答案】【解析】由，得，所以，又，故所求的切线方程为，即故答案为：14【答案】【解析】因为，所以，所以又因为，所以，设与的夹角为，则，所以故答案为15【答案】80【解析】由及正弦定理可得，即，又，故，故因为的面积为，所以，即，故，由余弦定理可得，所以，当且仅当时等号成立，故的最小值为80故答案为：8016【答案】【解析】由外接球的表面积为，可得其半径为2，设的中心为O，则外接球的球心一定在上，由正三棱锥的底面边长为3，得，在中，由勾股定理可得，解得（舍去）或，又，故，取AC中点E，连接PE，DE，则，故即为异面
10、直线PD与AB所成角，在中，由余弦理可得故答案为17（本小题满分12分）【解析】（1）由，成等差数列，可得，设数列的公比为，则，则，设，则在上单调递增，而，故满足的的值为3由得，故，故的通项公式为（2）由（1）可得，18（本小题满分12分）【解析】（1）由题意，得底面圆O，点C，D分别为SB，OB中点，底面圆O，OB在底面圆O上，为正角形，又D为OB中点，又，且 AD，平面ACD，平面ACD，平面ACD，（2）如图，以D为原点，DA，DB，DC所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，故，设平面SOA的法向量为，由，可得，令，得为平面SOA的一个法向量，设直线AC与平面SOA所成的角为
11、，则，即直线AC与平面SOA所成的角的正弦值为19（本小题满分12分）【解析】（1）填写的22列联表如下：初级烟民非初级烟民合计甲单位烟民数（单位：个）8412乙单位烟民数（单位：个）3710合计111122所以，没有95%的把握认为两个单位的烟民中的“初级烟民”所占比例有差别（2）由所给数据可知，乙单位调查的烟民吸烟盒数的平均数为：，乙单位调查的烟民吸烟盒数的方差为：，而，在乙单位抽取的烟民中，有需要跟踪观察的烟民20（本小题满分12分）【解析】（1）设椭圆E的焦距为，由题意，由椭圆的对称性可得，故，的最小值为点O到直线的距离，故，椭圆E的方程为（2）由，消去，整理得，即，由（1）知，联立，
12、解得，即，令，得，由，得，当时，此时，；当时，当且仅当时等号成立，此时综上可知，的取值范围是21（本小题满分12分）【答案】（1）由题意，的定义域为，且，由得，由得，在区间上单调递减，在区间上单调递增，的极小值为，令，得，（2）当时，设，则，则，设，则，设，则，由可得，由可得，即在上单调递减，在上单调递增，即，在上单调递增，存在唯一的零点，且由，得，当时， ，即，当时， ，即，易得在区间上单调递减，故，即（解法二）当时，要证只要证，即证，只要证，下面证明，且，结合，得，即当时，成立；令，则，当时， ，当时，函数在上单调递减，在上单调递增，函数的最小值为，又，成立综合可知，成立22（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程【解析】（1）由，得，故曲线C的普通方程为因为直线的极坐标方程为，所以直线的直角坐标方程为所以圆心C到直线的距离为，所以直线被圆C截得的弦长为（2）易知点在直线上，直线的参数方程为（为参数），代入曲线C可得，即，设A，B对应的参数分别为，则，23（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲【解析】（1）由题意，得，在区间上单调递减，在区间单调递增，的最小值（2）（解法一）由柯西不等式可得，由（1）得，当且仅当且，即时等号成立（解法二）由（1）得，两边平方，得，当且仅当且，即时等号成立
