1、4用向量讨论垂直与平行Q 任何一种工具的发明，都是为了方便解决问题，蒸汽机的发明推动了工业革命；计算机的出现解决了复杂的运算问题，提升了运算速度；网络的发明与发展促进了全球化的发展与地球村的形成向量作为一种工具，它的应用又体现了在哪些方面呢？X 1垂直问题(1)直线与直线垂直：只要两直线的_方向向量_垂直，两直线必垂直(2)直线与平面垂直：直线的_方向向量_若与平面的_法向量_平行，则直线与平面垂直；反之亦成立(3)平面与平面垂直：平面与平面垂直的充要条件是：_两平面的法向量互相垂直_.2平行问题(1)直线与直线平行：只要两条直线的_方向向量平行且这两条直线不共线即可_.(2)直线与平面平行：
2、直线的_方向向量_若与平面的_法向量_垂直(直线不在平面内)，则直线与平面平行(3)平面与平面平行：当两平面的_法向量平行_(两平面不重合)时两平面平行3三垂线定理(1)三垂线定理：若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面上的_投影_，则这两条直线垂直(2)三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线，则这条直线也垂直于直线在该平面内的_投影_.Y 1设两条直线所成角为(为锐角)，则直线的方向向量的夹角与(D)A相等B互补C互余D相等或互补2(2019辽宁营口高二检测)若点A(，0，)，B(，2，)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(A)A(，1)B(，1，)C(，1
3、)D(1，)解析(2,4,6)2(1,2,3)，而与共线的非零向量都可以作为直线l的方向向量故选A3已知a(2,4,5)，b(3，x，y)分别是直线l2，l2的方向向量，若l1l2，则(D)Ax6，y15Bx3，yCx3，y15Dx6，y4(山西太原市20182019学年高二期末)若直线l的方向向量为m，平面的法向量为n，则可能使l的是(D)Am(1,0,0)，n(2,0,0)Bm(1,3,5)，n(1,0,1)Cm(0,2,1)，n(1,0，1)Dm(1，1,3)，n(0,3,1)解析A中，mn20，所以排除A；B中mn1560，所以排除B；C中，mn1，所以排除C；D中，mn0，所以mn，
4、能使l.故选D5若平面，的法向量分别为n1(2，3,5)，n2(3,1，4)，则(C)ABC，相交但不垂直D以上均不正确解析n1与n2不是平行向量，且n1n20，相交且不垂直故选CH 命题方向1线面平行典例1如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点求证：MN平面A1BD证明证法一：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M，N，D(0,0,0)、A1(1,0,1)、B(1,1,0)，于是，(1,0,1)，(1,1,0)设平面A1BD的法向量是n(x，y，z)则n0，且n0，取x
5、1，得y1，z1.n(1，1，1)又n(1，1，1)0，n，MN平面A1BD，MN平面A1BD证法二：()，又MN平面A1BDMN平面A1BD证法三：由证法二知，0，即可用与线性表示，故与、是共面向量平面A1BD，又MN平面A1BD，即MN平面A1BD规律方法证明直线l平面的方法：(1)可取直线l的方向向量a与平面的法向量n，证明an0；(2)可在平面内取基向量e1，e2，证明存在实数1，2，使直线l的方向向量a1e12e2，然后说明l不在平面内即可；(3)在平面内若能找到两点A、B，直线l的方向向量n，则l.跟踪练习1如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AC3，BC4，AB5，AA14，点
6、D是AB的中点(1)求证：ACBC1；(2)求证：AC1平面CDB1.证明直三棱柱ABCA1B1C1的底面的三边长AC3，BC4，AB5，ACBC，又CC1平面ABC，AC、BC、C1C两两垂直如图，以C为坐标原点，直线CA、CB、CC1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)，B(0,4,0)，B1(0,4,4)，D(，2,0)(1)(3,0,0)，(0，4,4)，0.ACBC1.(2)如图，设CB1与C1B的交点为E，连接DE，则E(0,2,2)(，0,2)，(3,0,4).DEAC1.DE平面CDB1，AC1平面CDB1，AC1平
7、面CDB1.命题方向2面面平行典例2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，M，N分别是正方体六个面的中心求证：平面EFG平面HMN.思路分析用向量证明面面平行有两个途径：利用面面平行的判定定理，即证明一个平面内的两个不共线向量都平行于另一个平面；证明两个平面的法向量平行证明证法一：如图，以点D为坐标原点，分别以，为正交基底建立空间直角坐标系Dxyz，不妨设正方体的棱长为2，则E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,2,1)，M(1,1,2)，N(0,1,1)(0，1,1)，(1,1,0)，(0，1,1)，(1,1,0)，.EFHM，FGNH.HM平面H
8、MN，NH平面HMN.EF平面HMN，FG平面HMN.EF平面HMN，FG平面HMN.又EF平面EFG，FG平面EFG，EFFGF，平面EFG平面HMN.证法二：建立空间直角坐标系如证法一中的图，设平面EFG的法向量m(x1，y1，z1)，则m(x1，y1，z1)(0，1,1)y1z10，m(x1，y1，z1)(1,1,0)x1y10，从而，得x1y1z1.设x11，则m(1,1,1)设平面HMN的法向量n(x2，y2，z2)，则n(x2，y2，z2)(0，1,1)y2z20，n(x2，y2，z2)(1,1,0)x2y20，从而，得x2y2z2，设x21，则n(1,1,1)mn.平面EFG平面
9、HMN.规律方法证明面面平行的向量方法有两种：第一种是分别求出两平面的法向量，再证明两法向量平行；第二种是证明一个平面有两不共线向量平行于另一平面，转化为线面平行的问题跟踪练习2在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分别为C1D1、B1C1、CC1的中点求证：平面A1DB平面EFG.证明以D为原点，直线DA、DC、DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系则D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，E，F，G.设平面A1DB的一个法向量n(x，y,1)，则，n(1,1,1)，又，n0，n0，n，n，n也是平面EFG的一个法向量，故平面EFG平面A1DB命题方向3线面垂
10、直典例3在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1，D1B1的中点求证：EF平面B1AC思路分析可以从几何的角度和向量运算的角度进行证明解析证法一：如图，取A1B1的中点G，连接EG，FG，A1B，则FGA1D1，EGA1BA1D1平面A1B，FG平面A1BA1BAB1，EGAB1.由三垂线定理，得EFAB1.同理EFB1C又AB1B1CB1，EF平面B1AC证法二：设a，c，b，则()()()(abc)，ab.(abc)(ab)(b2a2cacb)(|b|2|a|200)0.，即EFAB1，同理，EFB1C又AB1B1CB1，EF平面B1AC，证法三：设正方体的棱长为2，建立如图
11、所示的空间直角坐标系，则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)(1,1,2)(2,2,1)(1，1,1)，(2,2,2)(2,0,0)(0,2,2)，(0,2,0)(2,0,0)(2,2,0)(1，1,1)(0,2,2)(1)0(1)2120，(1，1,1)(2,2,0)2200，EFAB1，EFAC又AB1ACA，EF平面B1AC规律方法用向量法证明线面垂直的方法与步骤(1)基向量法确定基向量作为空间的一个基底，用基向量表示有关直线的方向向量；找出平面内两条相交直线的方向向量，并分别用基向量表示；分别计算有关直线的方向向量与平面相交直线的方
12、向向量的数量积，根据数量积为0，证得线线垂直，然后由线面垂直的判定定理得出结论(2)坐标法方法一：建立空间直角坐标系；将直线的方向向量用坐标表示；找出平面内两条相交直线，并用坐标表示它们的方向向量；分别计算两组向量的数量积，得到数量积为0.方法二：建立空间直角坐标系；将直线的方向向量用坐标表示；求出平面的法向量；判断直线的方向向量与平面的法向量平行跟踪练习3如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在平面互相垂直，CEAC，EFAC，AB，CEEF1.(1)求证：AF平面BDE；(2)求证：CF平面BDE.证明(1)在正方体ABCD中，ABAC2，设AC与BD交于点G，因为EFAG，且EF1，AG
13、AC1，所以四边形AGEF为平行四边形所以AFEG.因为EG平面BDE，AF平面BDE，所以AF平面BDE.(2)因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，且CEAC，所以CE平面ABCD如图，以C为原点，建立空间直角坐标系Cxyz，则C(0,0,0)，A(，0)，B(0，0)，D(，0,0)，E(0,0,1)，F(，1)所以(，1)，(0，1)，(，0,1)所以0110，1010.所以CFBE，CFDE.又BEDEE，所以CF平面BDE.规律方法证明直线与平面垂直的方法有两种：一种是求平面的法向量，然后证明直线与法向量平行；另一种是证明直线与平面内不共线的两直线分别垂直，其实就是
14、转化为线线垂直问题命题方向4面面垂直典例4在正三棱锥PABC中，三条侧棱两两互相垂直，G是PAB的重心，E、F分别为BC、PB上的点，且BEECPFFB12.求证：平面GEF平面PBC证明证法1：如图，以三棱锥的顶点P为原点，以PA、PB、PC所在直线分别作为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系令PAPBPC3，则A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,0,3)，E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)，P(0,0,0)于是(3,0,0)，(1,0,0)，故3，PAFG.而PA平面PBC，FG平面PBC，又FG平面GEF，平面GEF平面PBC证法2：同证法1，建立空间直角坐标系，
15、则E(0,2,1)，F(0,1,0)，G(1,1,0)(0，1，1)，(1，1，1)设平面EFG的法向量是n(x，y，z)，则有n，n.令y1，得z1，x0，即n(0,1，1)而显然(3,0,0)是平面PBC的一个法向量这样n0，n，即平面PBC的法向量与平面EFG的法向量互相垂直，平面GEF平面PBC规律方法证明面面垂直通常有两种方法，一是利用面面垂直的判定定理，转化为线面垂直、线线垂直去证明；二是证明两个平面的法向量互相垂直跟踪练习4如图，在五面体ABCDEF中，FA平面ABCD，ADBCFE，ABAD，M为EC的中点，AFABBCFEAD证明：平面AMD平面CDE.证明FA平面ABCD，
16、FAAD，FAAB，又ADAB，AF、AD、AB两两垂直如图，建立空间直角坐标系，点A为坐标原点，设AB1，依题意得A(0,0,0)，M(，1，)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，E(0,1,1)，则(，1，)，(1,0,1)，(0,2,0)，可得0，0，因此CEAM，CEAD又AMADA，CE平面AMD又CE平面CED，平面AMD平面CEDX 探索性问题 探索性、存在性问题：(1)存在性问题，先假设存在，根据题目条件，利用线面位置关系的向量表示建立方程或方程组，若能求出符合题意要求的值则存在，否则不存在(2)探索点的位置的题目，一般先设出符合题意要求的点，再利用题设条件建立方程求参数的值
17、或取值范围典例5如图，在棱长ABAD2，AA13的长方体AC1中，点E是平面BCC1B1上的一个动点，点F是CD的中点试确定点E的位置，使D1E平面AB1F.思路分析在平面AB1F中寻找两个向量，使其与的数量积为0即可解析以点A为原点，、所在的射线分别为x轴、y轴、z轴正半轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，F(1,2,0)，B1(2,0,3)，D1(0,2,3)，设E(2，y，z)，则(2，y2，z3)，(1,2,0)，(2,0,3)，D1E平面AB1F，D1EAF，D1EAB1，即，解得E(2,1，)即为所求跟踪练习5如图，四棱锥SABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍
18、，P为侧棱SD上的点若SD平面PAC，问侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC若存在，求SEEC的值；若不存在，试说明理由解析连接BD，设AC交BD于O，由题意知SO平面ABCD又ABCD为正方形，OA、OB、OS两两垂直，以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图设底面边长a，则高SOa，于是C(0，a,0)，B(a，0,0)，S(0,0，a)，D(a,0,0)，(a,0，a)，(0，a，a)，(a，a,0)假设在棱SC上存在一点E，使BE平面PAC由题意知是平面PAC的一个法向量设t，则t(a，a(1t)，at)，而0，所以a2t0，所以t，即当SEEC2
19、1时，又BE不在平面PAC内，所以当SEEC21时，BE平面PACY 典例6在四面体ABCD中，AB平面BCD，BCCD，BCD90，ADB30，E、F分别是AC、AD的中点判断平面BEF与平面ABC是否垂直错解过B作BxCD，CDBC，BxBC建立如图所示空间直角坐标系，则平面ABC的一个法向量n(1,0,0)，设BCa，则CDa，BDa，ADB30，ABa，C(0，a,0)、D(a，a,0)、A(0,0，a)，E(0，a)、F(，a)n0，n0，n不是平面BEF的法向量，故平面BEF与平面ABC不垂直辨析上述解答有三处主要错误，一是混淆了面面平行与面面垂直的向量表示，当平面ABC与平面BE
20、F垂直时，应有两平面的法向量垂直，从而应是n是否与、共面，二是D点的坐标错误，D点的横坐标应为负值，三是计算错误，在RtABD中，由BDA30，BDa应得AB.正解解法一：建立如图所示坐标系Bxyz，取A(0,0，a)，则易得B(0,0,0)、C、D(0，a,0)、E、F，则有，(0,0，a)、.0，0，EFAB，EFBC又ABBCB，EF平面ABC又EF平面BEF，平面ABC平面BEF.解法二：BCD90，CDBC又AB平面BCD，ABCD又ABBCB，CD平面ABC，为平面ABC的一个法向量设平面BEF的法向量为n(x，y，z)，n0，n0，由n0得，(x，y，z)0，xy.由n0得，(x
21、，y，z)0，ayz0，zy.取y1，得n(1,1，)n(1,1，)0.n.平面BEF平面ABCK 1已知A(1，3,5)，B(1，1,4)是直线l上两点，则下列可作为直线l的方向向量的是(B)A(1,1,0)B(4，4,2)C(3，3,0)D(4,4,2)2已知向量n(2,3，1)是平面的一个法向量，则下列向量中能作为平面的法向量的是(D)A(0,3，1)B(2,0，1)C(2,3，1)D(2，3,1)3若平面，的一个法向量分别为(1,2,4)，(x，1，2)，并且，则x的值为(D)ABC10D10解析，它们的法向量也互相垂直，(1,2,4)(x，1，2)0，解得x10，故选D4已知A、B、C三点的坐标分别为A(1,2,3)、B(2，1,1)、C(3，)，若，则等于_.解析(1，3，2)、(2，2，3)，0，23(2)2(3)0，解得.5已知直线l的方向向量为u(2,0，1)，平面的一个法向量为v(2,1，4)，则l与的位置关系为_l或l_.解析uv2(2)01(1)(4)0，l或l.
