1、3全称量词与存在量词Q 生活中经常遇到这样的描述：“我国13亿人口，都解决了温饱问题”“我国还存在着犯罪活动”“今天，全班所有同学都按时到校”“这次数学竞赛至少有3人参加”等等其中“都”“存在”“所有”“至少”在数学命题中也经常出现，它们在命题中充当什么角色呢？它们对命题的真假的判断有什么影响呢？X 1全称量词和全称命题(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作_全称量词_，并用符号“_”表示(2)全称命题：含有_全称量词_的命题叫作全称命题全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为_xM，p(x)_，读作“对任意x属于M，有p(x)成立”2存在量词和特称命题(
2、1)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作_存在量词_，并用符号“_”表示(2)特称命题：含有_存在量词_的命题叫作特称命题特称命题“存在M中的一个x0，使p(x0)成立”可用符号简记为_x0M，p(x0)_，读作“存在M中的一个元素x0，使p(x0)成立”3全称命题与特称命题的关系全称命题的否定是_特称_命题；特称命题的否定是_全称_命题Y 1命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是(D)A所有不能被2整除的整数都是偶数B所有能被2整除的整数都不是偶数C存在一个不能被2整除的整数是偶数D存在一个能被2整除的整数不是偶数解析全称命题的否定：所有变为存在，且否定结论所以原命
3、题的否定是：存在一个能被2整除的整数不是偶数2(湖南湘潭市20182019学年高二期末)命题p：x0(0，)，xx02，则p是(D)Ax0(0，)，xx02Bx(0，)，x2x2Cx0(0，)，xx02Dx(0，)，x2x2解析命题p：x0(0，)，xx02，故p：x(0，)，x2x2.故选D3下列命题中的假命题是(C)A存在x0R，log2x00B存在x0R，tanx01C任意xR，x30 D任意xR,2x0解析对于A，当x1时，log210，正确；对于B，当x时，tan1，正确；对于C，当x0时，x30，错误；对于D，xR,2x0，正确故选C4下列语句是真命题的是(A)A所有的实数x都能使
4、x23x60成立B存在一个实数x0使不等式x3x060成立C存在一条直线与两个相交平面都垂直D存在实数x0使x0成立解析因为x23x6(x)2，所以对于任意的xR，x23x60恒成立，因此A为真命题故选A5命题“过平面外一点与已知平面平行的直线在同一平面内”的否定为_过平面外一点与已知平面平行的直线不都在同一平面内_.解析原命题为全称命题，写其否定是要将全称量词改为存在量词H 命题方向1全称命题与特称命题的判定典例1(1)下列命题：至少有一个x，使x22x10成立；对任意的x，都有x22x10成立；对任意的x，都有x22x10不成立；存在x，使x22x10不成立其中是全称命题的个数为(B)A1
5、B2C3D4(2)下列命题为特称命题的是(D)A偶函数的图像关于y轴对称B正四棱柱都是平行六面体C不相交的两条直线是平行直线D存在实数大于等于3解析(1)中，只有含有全称量词，故选B(2)中，只有选项D含有存在量词，故选D规律方法1.判断一个语句是全称命题还是特称命题的步骤：(1)首先判定语句是否为命题，若不是命题，就当然不是全称命题或特称命题(2)若是命题，再分析命题中所含的量词，含有全称量词的命题是全称命题，含有存在量词的命题是特称命题2当命题中不含量词时，要注意理解命题含义的实质3一个全称(或特称)命题往往有多种不同的表述方法，有时可能会省略全称(存在)量词，应结合具体问题多加体会跟踪练
6、习1判断下列语句是否是全称命题或特称命题(1)有一个实数a，a不能取对数；(2)若所有不等式的解集为A，则有AR；(3)三角函数都是周期函数吗？(4)有的向量方向不定；(5)自然数的平方是正数解析因为(1)(4)含有存在量词，所以命题(1)(4)为特称命题；又因为“自然数的平方是正数”的实质是“任意一个自然数的平方都是正数”，所以(2)(5)均含有全称量词，故为全称命题，(3)不是命题综上所述，(1)(4)为特称命题，(2)(5)为全称命题，(3)不是命题命题方向2全称命题与特称命题的真假判断典例2判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假(1)对任意实数x，都有x230；(2)每一个指数
7、函数都是增函数；(3)至少有一个自然数小于1；(4)存在一个实数x，使得x22x20.解析(1)是全称命题当xR时，x20，则x230.故该全称命题是真命题(2)是全称命题对于指数函数yx，它是减函数，故该全称命题是假命题(3)是特称命题显然，自然数0小于1，故该特称命题是真命题(4)是特称命题对方程x22x20，224240.解析(1)全称命题，真命题(2)特称命题，真命题(3)全称命题，假命题例如，存在x，但x23是有理数(4)特称命题，真命题命题方向3全称命题的否定典例3写出下列全称命题的否定：(1)p：所有能被3整除的整数都是奇数；(2)p：每一个四边形的四个顶点共圆；(3)p：对任意
8、的xZ，x2的个位数字不等于3.思路分析全称命题的否定，其模式是固定的，即相应的全称量词变为存在量词，后面进行否定解析(1)p的否定：存在一个能被3整除的整数不是奇数(2)p的否定：存在一个四边形，它的四个顶点不共圆(3)p的否定：x0Z，x的个位数字等于3.规律方法全称命题的否定是特称命题，对省略全称量词的全称命题可补上量词后进行否定跟踪练习3判断下列命题是否为全称命题，并写出命题的否定：(1)所有的矩形都是平行四边形；(2)数列1,2,3,4,5中的每一项都是偶数；(3)所有的a，bR，方程axb都有唯一解；(4)可以被5整除的整数，末位是0.解析(1)是全称命题，其否定：存在一个矩形，不
9、是平行四边形(2)是全称命题，其否定：数列1,2,3,4,5中至少有一项不是偶数(3)是全称命题，其否定：存在a、bR，使方程axb的解不唯一(4)是全称命题，其否定：存在被5整除的整数，末位不是0.命题方向4特称命题的否定典例4写出下列特称命题的否定：(1)p：存在x0R，x2x020；(2)p：有的三角形是等边三角形；(3)p：有一个素数含三个正因数思路分析特称命题的否定是全称命题解析(1)p的否定：所有的xR，x22x20.(2)p的否定：所有的三角形都不是等边三角形(3)p的否定：每一个素数都不含三个正因数跟踪练习4写出下列命题的否定(1)存在x1，使x22x30.(2)p：有些棱台的
10、底面是梯形；(3)p：有些平行四边形不是矩形解析(1)p的否定：所有的x1，x22x30.(2)p的否定：所有的棱台的底面都不是梯形(3)p的否定：所有的平行四边形都是矩形X 利用全称命题与特称命题求参数的取值范围 全称命题的考查在试题中经常出现，如：“恒成立”问题就属于这一题型其命题方向往往是求式子中某个参数的取值范围而存在性命题常常以适合某种条件的结论“存在”“不存在”“是否存在”，求出相应的参数的取值范围解题时的依据是：“假设存在，利用条件进行推理论证，若导出合理结论，则存在性随之解决；若导致矛盾，则可否定存在性”典例5对于满足0p4的一切实数，不等式x2px4xp3恒成立，试求x的取值
11、范围思路分析本题看上去是一个不等式的问题，但是经过等价转化，确定适当的变量和参数，把它转化为一个简单的一次函数，并借助函数图像建立一个关于x的不等式组，从而求得x的取值范围解析不等式x2px4xp3恒成立，即(x1)px24x30恒成立，构造函数f(p)(x1)px24x3.当x1时，f(p)0，不满足f(p)0.f(p)表示p的一次函数，p0,4，函数f(x)的图像是一条线段，要使f(p)0在0,4上恒成立，需满足，即解得x3.所以x的取值范围是(，1)(3，)跟踪练习5命题：“不等式x22yy22ya”恒成立，则实数a的取值范围是_2，)_.解析将命题中的不等式转化为(x1)2(y1)22
12、a恒成立当xR，yR时，(x1)2(y1)2的最小值为0.02a，即a2.a的取值范围是2，)总结反思本题中的不等式是一个恒成立的不等式，可将原问题转化为求最小值的问题，从而使问题迎刃而解Y 典例6p：方程x25x60有两个相等的实数根，试写出“p的否定”错解p的否定：方程x25x60有两个不相等的实数根辨析不能正确否定结论正解p的否定：方程x25x60没有两个相等的实数根规律方法命题p的结论为“有两个相等的实数根”，所以“p的否定”应否定“有”，而不能否定“相等”典例7已知命题p：存在一个实数x0，使得xx020，写出“p的否定”错解(1)p的否定：存在一个实数x0，使得xx020.(2)p
13、的否定：对任意的实数x0，使得xx20.辨析对含有一个量词的命题否定不完全正解对任意的实数x，都有x2x20.规律方法该命题是特称命题，其否定是全称命题，但误解(1)中得到的“p的否定”仍是特称命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定；误解(2)中只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定典例8写出下列命题的否定：(1)不相交的两条直线是平行直线；(2)奇函数的图像关于y轴对称错解(1)不相交的两条直线不是平行直线；(2)奇函数的图像不关于y轴对称辨析忽略了隐含的量词正解(1)存在不相交的两条直线不是平行直线；(2)存在一个奇函数的图像不关于y轴对称规律方法以上错误解答在于没有
14、看出这两个命题都是全称命题对于一些量词不明显或不含有量词，但其实质只是在文字叙述上省略了某些量词的命题，要特别引起注意K 1下列命题中全称命题的个数为(C)平行四边形的对角线互相平分；梯形有两边平行；存在一个菱形，它的四条边不相等A0 B1 C2 D3解析是全称命题，是特称命题故选C2(山西太原20182019学年高二期末)命题：“xR，3x0”的否定是(A)Ax0R,3x00Bx0R,3x00CxR,3x0DxR,3x0”的否定是“x0R,3x00”故选A3下列命题中，是真命题且是全称命题的是(D)A对任意的a、bR，都有a2b22a2b21，则不存在实数x0，使sinx0，排除B，故选A5已知命题p：x0R，xax0a0，若命题p是假命题，则实数a的取值范围是(A)A0,4B(0,4)C(，0)(4，)D(，0)(4，)解析假设p为真，x2ax0a0即a4或a0.解析(1)q：x0R，x0是5x0120的根，真命题(2)r：每一个质数都不是奇数，假命题(3)s：xR，|x|0，假命题
