1、第1节 不等式的性质与一元二次不等式考试要求 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.知 识 梳 理 1.实数大小比较的依据(1)abab0；(2)abab0；(3)ababb，c0ac0，求解时不要忘记a0时的情形.3.当0(a0)的解集为R还是，要注意区别.(1)若 ab0，m0，则babmam(bm0).(2)若 ab0，且 ab1a1b.诊 断 自 测 1.判
2、断下列结论正误(在括号内打“”或“”)(1)abac2bc2.()(2)若不等式ax2bxc0的解集为(x1，x2)，则必有a0.()(3)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0(a0)的解集为R.()(4)不等式ax2bxc0在R上恒成立的条件是a0且b24ac0.()解析(1)由不等式的性质，ac2bc2ab；反之，c0时，ab/ac2bc2.(3)若方程ax2bxc0(a0(a0)的解集为.(4)当ab0，c0时，不等式ax2bxc0也在R上恒成立.答案(1)(2)(3)(4)2.(新教材必修第一册P55T3改编)已知集合Ax|x25x40，Bx|x2x60，则A
3、B()A.(2，3)B.(1，3)C.(3，4)D.(2，4)解析 由题意知Ax|1x4，Bx|2xy，则下列不等式成立的是()解析 由xy，得xy，所以2x2y，故选B.答案 B A.yx1 B.2x0 D.x2y2 5.(2019河北重点中学模拟)不等式2x2x30的解集为_.解析 由 2x2x30，得(x1)(2x3)0，解得 x32或 x0的解集为x|x32，或x32，或x16.(2020汉中调研)已知函数f(x)ax2ax1，若对任意实数x，恒有f(x)0，则实数a的取值范围是_.答案 4，0 解析 若 a0，则 f(x)10 恒成立，若 a0，则由题意，得a0，a24a0，解得4a
4、0，q0，前 n 项和为 Sn，则S3a3与S5a5的大小关系为_.解析(1)法一 因为1a1b0，故可取 a1，b2.显然|a|b1210，所以错误；因为 ln a2ln(1)20，ln b2ln(2)2ln 40，所以错误.综上所述，可排除 A，B，D.法二 由1a1b0，可知 ba0.中，因为 ab0，ab0，所以 1ab0，1ab0.故有 1ab 1ab，即正确；中，因为ba0，所以ba0.故b|a|，即|a|b0，故错误；中，因为 ba0，又1a1b0，则1a1b0，所以 a1ab1b，故正确；中，因为ba0，根据yx2在(，0)上为减函数，可得b2a20，而yln x在定义域(0，
5、)上为增函数，所以ln b2ln a2，故错误.由以上分析，知正确.(2)当 q1 时，S3a33，S3a55，所以S3a30 且 q1 时，S3a3S5a5 a1（1q3）a1q2（1q）a1（1q5）a1q4（1q）q2（1q3）（1q5）q4（1q）q1q40，所以S3a3S5a5.综上可知S3a3S5a5.答案(1)C(2)S3a3S5a5角度2 利用不等式性质求范围【例12】(一题多解)设f(x)ax2bx，若1f(1)2，2f(1)4，则f(2)的取值范围是_.解析 法一 设f(2)mf(1)nf(1)(m，n为待定系数)，则4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm
6、)b.于是得mn4，nm2，解得m3，n1.f(2)3f(1)f(1).又1f(1)2，2f(1)4.53f(1)f(1)10，故5f(2)10.f(2)4a2b3f(1)f(1).又1f(1)2，2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.法二 由f（1）ab，f（1）ab，得a12f（1）f（1），b12f（1）f（1），法三 由1ab2，2ab4确定的平面区域如图阴影部分所示，当 f(2)4a2b 过点 A32，12 时，取得最小值 4322125，当f(2)4a2b过点B(3，1)时，取得最大值432110，5f(2)10.答案 5，10 规律方法 1.比较两个数(式)大
7、小的两种方法 2.与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法.3.在求式子的范围时，如果多次使用不等式的可加性，式子中的等号不能同时取到，会导致范围扩大.【训练1】(1)(角度1)若abb2；|1a|b1|；1ab1a1b.其中正确的个数是()A.0 B.1 C.2D.3(2)(角度 2)已知1xy3，则 xy 的取值范围是_.解析(1)因为 ab|b|0，所以 a2b2，故 a21b2，正确；abb0a1b10，故|1a|b1|，正确；ab0abab1a1b，正确.故选 D.(2)1x3，1y3，3y1，4xy4.又xy，xy0，4xy0，故x
8、y的取值范围为(4，0).答案(1)D(2)(4，0)考点二 一元二次不等式的解法【例21】(1)不等式00 的解集是x|12x0，x2x24，即x2x20，x2x60，解得x2或x1，2x3.故原不等式的解集为x|2x1，或 2x3.答案(1)x|2x1，或2x3(2)x|x3，或x2(2)由题意，知 12，13是方程 ax2 bx 10 的两个根，且 a0，所以1213 ba，1213 1a，解得a6，b5.故不等式 x2bxa0 为 x25x60，解得 x3 或 x2.【例22】解关于x的不等式ax222xax(aR).解 原不等式可化为ax2(a2)x20.当a0时，原不等式化为x10
9、，解得x1.当 a0 时，原不等式化为x2a(x1)0，解得 x2a或 x1.当 a0 时，原不等式化为x2a(x1)0.当2a1，即 a2 时，解得1x2a；当2a1，即 a2 时，解得 x1 满足题意；当2a1，即2a0 时，解得2ax1.综上所述，当 a0 时，不等式的解集为x|x1；当 a0 时，不等式的解集为x|x2a或x1；当2a0 时，不等式的解集为x2ax1；当a2时，不等式的解集为1；当 a2 时，不等式的解集为x|1x2a.规律方法 1.解一元二次不等式的一般步骤(1)化为标准形式.(2)确定判别式的符号，若0，则求出该不等式对应的一元二次方程的根，若0，则对应的一元二次方
10、程无根.(3)结合二次函数的图象得出不等式的解集，特别地，若一元二次不等式左边的二次三项式能分解因式，则可直接写出不等式的解集.2.含有参数的不等式的求解，首先需要对二次项系数讨论，再比较(相应方程)根的大小，注意分类讨论思想的应用.【训练2】(1)(2019清远一模)关于x的不等式axb0的解集是()A.(，1)(3，)B.(1，3)C.(1，3)D.(，1)(3，)解析 关于x的不等式axb0即axb的解集是(1，)，ab0可化为(x1)(x3)0，解得1xa2(aR)的解集.解 原不等式可化为12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令(4xa)(3xa)0，解得 x1a4，x2a3
11、.当 a0 时，不等式的解集为x|xa3；当 a0 时，不等式的解集为x|x0；当 a0 时，不等式的解集为x|xa4.考点三 一元二次不等式恒成立问题多维探究 角度1 在实数集R上恒成立【例31】(2020大庆实验中学期中)对于任意实数x，不等式(a2)x22(a2)x40恒成立，则实数a的取值范围是()A.(，2)B.(，2 C.(2，2)D.(2，2 答案 D 解析 当 a20，即 a2 时，40 恒成立；当 a20，即 a2 时，则有a20，2（a2）24（a2）（4）0，解得2a0，g（1）（x2）x24x40，解得 x3.故当x(，1)(3，)时，对任意的m1，1，函数f(x)的值
12、恒大于零.规律方法 1.对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方.另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值.2.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.【训练3】(1)(角度1)(2020湘潭联考)若不等式4x2ax40的解集为R，则实数a的取值范围是()A.(16，0)B.(16，0 C.(，0)D.(8，8)(2)(角度2)(2019安徽八校联考)若不等式(aa2)(x21)x0对一切x(0，2恒成立，则实数a
13、的取值范围为_.(3)(角度3)若mx2mx10对于m1，2恒成立，则实数x的取值范围是_.解析(1)由题意知a24440，解得8a8，故选D.(2)x(0，2，a2axx21 1x1x.要使 a2a 1x1x在 x(0，2上恒成立，则a2a1x1xmax.由基本不等式得 x1x2，当且仅当 x1x，即 x1 时等号成立.则1x1xmax12，故 a2a12，解得 a1 32或 a1 32.故实数 a 的取值范围为，1 321 32，.(3)设 g(m)mx2mx1(x2x)m1，其图象是直线，当 m1，2时，图象为一条线段，则g（1）0，g（2）0，即x2x10，2x22x10，解得1 32x1 32，故 x 的取值范围为1 32，1 32.答案(1)D(2)，1 321 32，(3)1 32，1 32