1、第三章空间向量与立体几何5数学探究活动(一):正方体截面探究课后篇巩固提升合格考达标练1.我国南北朝时期的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是如果两等高的几何体在同高处截得两几何体的截面积恒等,那么这两个几何体的体积相等.现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件,若棱锥的体积为3,圆锥的侧面展开图是半圆,则圆锥的母线长为() A.33B.1C.3D.23答案D解析现有同高的圆锥和棱锥满足祖暅原理的条件,棱锥的体积为3,圆锥的体积为3.圆锥的侧面展开图是半圆,设半径是R,即圆锥的母线长是R,半圆的弧长是R,圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长,设圆锥的底面半径是r,则
2、得到2r=R,R=2r,圆锥的高h=(2r)2-r2=3r,圆锥的体积V=13r23r=3,解得r=3,则圆锥的母线长为R=2r=23.故选D.2.已知三棱锥P-ABC满足PA底面ABC,在ABC中,AB=6,AC=8,ABAC,D是线段AC上一点,且AD=3DC,球O为三棱锥P-ABC的外接球,过点D作球O的截面,若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为44,则球O的表面积为()A.72B.86C.112D.128答案D解析如图,设M是BC边中点,E是AC边中点,ABAC,M是ABC的外心.作OMPA,PA平面ABC,OM平面ABC,OMAM,OMMD.取OM=12PA,易得OA=OP,又O
3、A=OM=OC,O是三棱锥P-ABC的外接球的球心.E是AC中点,MEAB,MEAC,AD=3DC,ED=14AC=2,又ME=12AB=3,MD=ME2+ED2=32+22=13.设PA=2a,则OM=a,OD2=OM2+MD2=a2+13,又AM=12BC=1262+82=5,OA2=OM2+AM2=a2+25.设过D且与OD垂直的截面圆半径为r,则r=OA2-OD2=23,这是最小的截面圆半径,最大的截面圆半径等于球半径OA,OA2+r2=(a2+25)+12=44,解得a2=7,S球=4OA2=128.故选D.3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的一个截面经过顶点A,C及棱A1D
4、1上一点K,且将正方体分成体积之比为1341的两部分,则D1KKA1的值为()A.1B.22C.12D.13答案C解析过K作KEAC,交C1D1于点E,连接CE,设正方体棱长为a,设D1KKA1=1(0),则D1K=D1E=a1+.截面将正方体分成体积之比为1341的两部分,VKED1-ACD=13a12a1+2+12a2+12a1+212a2=1313+41a3,解得=2(负值舍去),D1KKA1=12.故选C.4.已知圆柱的底面半径为2,高为3,垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD(如图).若底面圆的弦AB所对的圆心角为3,则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为()A.10+33
5、B.10C.103+3D.2-33答案A解析由题可得,圆柱被分成两部分中较小部分的底面积为S=3222-1222sin3=23-3,圆柱被分成两部分中较小部分的体积为V小=23-33=2-33,则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为V大=223-(2-33)=10+33.故选A.5.在棱长为1的正四面体ABCD中,E是BD上一点,BE=3ED,过点E作该四面体的外接球的截面,则所得截面面积的最小值为()A.8B.316C.4D.516答案B解析将四面体ABCD放置于正方体中,如图所示,可得正方体的外接球就是四面体ABCD的外接球.正四面体ABCD的棱长为1,正方体的棱长为22,可得外接球半径R满
6、足2R=322=62,R=64.E是BD上一点,BE=3ED,当球心O到截面的距离最大时,截面圆的面积取最小值,此时球心O到截面的距离等于OE.cosODB=162=63,OD=64,DE=14,OE2=642+142-2641463=316,则所得截面半径最小值为616-316=34.所得截面面积的最小值为342=316.故选B.等级考提升练6.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则与平面A1C1B平行的平面截此正方体所得截面面积的最大值为()A.334B.233C.324D.32答案A解析如图所示,分别取边AB,AA1,A1D1,D1C1,C1C,CB的中点M,N,E,F,G,
7、H,显然平面MNEFGH平面A1C1B,易知当截面为平面MNEFGH时,截面面积最大,此时,平面MNEFGH为正六边形,边长为22,故正六边形面积为S=612222232=334.故选A.7.已知球O与棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的各面都相切,则平面ACB1截球O所得的截面圆与球心O所构成的圆锥的体积为()A.239B.318C.2327D.354答案C解析由题意,球心O与点B的距离为1223=3,B到平面ACB1的距离为1323=233,球的半径为1,球心到平面ACB1的距离为3-233=33,平面ACB1截此球所得的截面的圆的半径为1-13=63,平面ACB1截此球所得的截面
8、的面积为632=23,平面ACB1截球O所得的截面圆与球心O所构成的圆锥的体积V=132333=2327.故选C.8.如图所示,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,N为CC1的中点,M为线段BC上的动点(不含端点),若过点A,M,N的平面截该正方体所得截面为四边形,则线段BM长度的取值范围是()A.(0,1B.1,2)C.0,32D.32,2答案A解析当点M为线段BC的中点时,截面为四边形AMND1,又正方体的棱长为2,当01时,截面与正方体的上底面也相交,截面为五边形,故线段BM的取值范围为(0,1.故选A.新情境创新练9.如图所示,在棱长为6的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,过A,E,F三点作该正方体的截面,则截面的周长为()A.18+32B.613+32C.65+92D.10+32+410答案B解析如图所示,延长EF,A1B1相交于点M,连接AM交BB1于点H,延长FE,A1D1相交于点N,连接AN交DD1于点G,可得截面五边形AHFEG.几何体ABCD-A1B1C1D1是棱长为6的正方体,且E,F分别是棱C1D1,B1C1的中点,EF=32,AG=AH=62+42=213,EG=FH=32+22=13.截面的周长为613+32.故选B.