1、第九章 解析几何第二节 两直线的位置关系栏目导航123课 堂 考 点 突 破课 时 跟 踪 检 测课 前 基 础 巩 固最新考纲考情分析核心素养1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.确定两条直线的位置关系，已知两条直线的位置关系求参数，求直线的交点和点到直线的距离，对称问题，过定点的直线系问题是 2021 年高考考查的热点，往往和圆锥曲线综合起来，题型多是解答题，分值为 514 分.数学运算 课 前 基 础 巩 固 1知识梳理1两条直线平行与垂直的判定(1)两条直
2、线平行对于两条不重合的直线 l1，l2，其斜率分别为 k1，k2，则有 l1l2 1 _特别地，当直线 l1，l2 的斜率都不存在时，l1 与 l2 2 _(2)两条直线垂直如果两条直线 l1，l2 斜率都存在，设为 k1，k2，则 l1l2 3 _，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时，两条直线 4 _k1k2平行k1k21垂直常用结论 两条直线平行时，不要忘记它们的斜率有可能不存在的情况；两条直线垂直时，不要忘记一条直线的斜率不存在、另一条直线的斜率为零的情况 2两直线相交直线 l1：A1xB1yC10 和 l2：A2xB2yC20 的公共点的坐标与方程组A1xB1yC10，A2xB
3、2yC20的解一一对应相交方程组有 5 _，交点坐标就是方程组的解；平行方程组 6 _；重合方程组有 7 _唯一解无解无数个解3距离公式(1)两点间的距离公式平 面 上 任 意 两 点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间 的 距 离 公 式 为|P1P2|8_特别地，原点 O(0，0)与任一点 P(x，y)的距离|OP|9 _(2)点到直线的距离公式平面上任意一点 P0(x0，y0)到直线 l：AxByC0 的距离 d 10 _(3)两条平行线间的距离公式一般地，两条平行直线 l1：AxByC10，l2：AxByC20 间的距离 d|C1C2|A2B2.（x2x1）2（y2y1）2x2y2
4、|Ax0By0C|A2B2常用结论 1平行于直线 AxByC0 的直线系方程：AxBy0(C)2垂直于直线 AxByC0 的直线系方程：BxAy0.3过两条已知直线 A1xB1yC10，A2xB2yC20 交点的直线系方程：A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(不包括直线 A2xB2yC20)和 A2xB2yC20.4点(x，y)关于 x 轴的对称点为(x，y)，关于 y 轴的对称点为(x，y)5点(x，y)关于直线 yx 的对称点为(y，x)，关于直线 yx 的对称点为(y，x)6点(x，y)关于直线 xa 的对称点为(2ax，y)，关于直线 yb 的对称点为(x，2by)7点(x，y)关
5、于点(a，b)的对称点为(2ax，2by)8点(x，y)关于直线 xyk 的对称点为(ky，kx)，关于直线 xyk 的对称点为(ky，xk)基础自测一、疑误辨析1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)当直线 l1 和 l2 斜率都存在时，一定有 k1k2l1l2.()(2)如果两条直线 l1 与 l2 垂直，则它们的斜率之积一定等于1.()(3)若两直线的方程组成的方程组有唯一解，则两直线相交()(4)点 P(x0，y0)到直线 ykxb 的距离为|kx0b|1k2.()(5)两平行直线 2xy10，4x2y10 间的距离是 0.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、走进
6、教材2(必修 2P114A10 改编)两条平行直线 3x4y120 与 ax8y110 之间的距离为()A235B2310C7D72答案：D3(必修 2P89 练习 2 改编)已知 P(2，m)，Q(m，4)，且直线 PQ 垂直于直线 xy10，则 m_答案：1三、易错自纠4已知直线 3x4y30 与直线 6xmy140 平行，则它们之间的距离是()A1710B175C8D2解析：选 D 63m4 143，m8，直线 6xmy140 可化为 3x4y70，两平行线之间的距离 d|37|32422.5已知直线 l1：(3a)x4y53a 和直线 l：2x(5a)y8 平行，则 a()A7 或1B
7、7C7 或 1D1解析：选 B 由题意可得 a5，所以3a2 45a53a8，解得 a7(a1 舍去)6已知点(a，2)(a0)到直线 l：xy30 的距离为 1，则 a_解析：由题意得，|a23|12（1）21，|a1|2.a0，a 21.答案：21课 堂 考 点 突 破2考点一 两条直线的位置关系|题组突破|1直线 axy70 与 4xay30 平行，则 a()A2B2 或2C2D12解析：选 B 由直线 axy70 与 4xay30 平行，可得a41a 73，解得 a2，故选 B2已知直线 l1：2ax(a1)y10，l2：(a1)x(a1)y0，若 l1l2，则 a()A2 或12B1
8、3或1C13D1解析：选 B 直线 l1：2ax(a1)y10，l2：(a1)x(a1)y0，l1l2，2a(a1)(a1)(a1)0，解得 a13或 a1.故选 B3设直线 l1：x2y10 与直线 l2：mxy30 的交点为 A.P，Q 分别为 l1，l2上任意一点，点 M 为线段 PQ 的中点若|AM|12|PQ|，则 m 的值为()A2B2C3D3解析：选 A 根据题意画出图形如图所示 在PQA 中，M 为 PQ 的中点，若|AM|12|PQ|，则 PAQA，即 l1l2，1m(2)10，解得 m2.故选 A名师点津解决两直线平行与垂直的参数问题一定要“前思后想”考点二 距离问题|题组
9、突破|4(2019 届厦门模拟)“c5”是“点(2，1)到直线 3x4yc0 的距离为 3”的()A充要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件解析：选 B 由点(2，1)到直线 3x4yc0 的距离 d|64c|3242 3，解得 c5或 c25，故“c5”是“点(2，1)到直线 3x4yc0 的距离为 3”的充分不必要条件，故选 B5已知点 M 是直线 x 3y2 上的一个动点，且点 P(3，1)，则|PM|的最小值为()A12B1C2D3解析：选 B|PM|的最小值即点 P(3，1)到直线 x 3y2 的距离，又 d|3 32|131，故|PM|的最小值为 1.故选 B
10、6(2019 届绵阳诊断)若 P，Q 分别为直线 3x4y120 与 6x8y50 上任意一点，则|PQ|的最小值为()A95B185C2910D295解析：选 C 因为3648125，所以两直线平行 由题意可知，|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即|245|6282 2910，所以|PQ|的最小值为2910.故选 C名师点津处理距离问题的 2 大策略(1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求注意直线方程为一般式(2)两动点距离问题，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点所在直线的平行问题，从而计算简便考点 对称问题多维探究命题角度一 点关于点的对称【例 1】过
11、点 P(0，1)作直线 l 使它被直线 l1：2xy80 和 l2：x3y100截得的线段被点 P 平分，则直线 l 的方程为_解析 设直线 l1 与直线 l 的交点为 A(a，82a)，则由题意知，点 A 关于点 P 的对称点 B(a，2a6)在 l2 上，把 B 点坐标代入直线 l2 的方程得a3(2a6)100，解得 a4，即点 A(4，0)在直线 l 上 所以由 P(0，1)，A(4，0)得直线 l 的方程为 x4y40.答案 x4y40名师点津点关于点对称的求解方法若点 M(x1，y1)和点 N(x，y)关于点 P(a，b)对称，则由中点坐标公式得x2ax1，y2by1，进而求解命题
12、角度二 点关于线的对称问题【例 2】(2019 届湖北孝感五校联考)已知直线 y2x 是ABC 中C 的平分线所在的直线，若点 A，B 的坐标分别是(4，2)，(3，1)，则点 C 的坐标为()A(2，4)B(2，4)C(2，4)D(2，4)解析 设 A(4，2)关于直线 y2x 的对称点为 A(x，y)，则y2x421，y22 24x2，解得x4，y2，A(4，2)在直线 BC 上，BC 所在直线方程为 y12143(x3)，即 3xy100.联立3xy100，y2x，解得x2，y4，则 C(2，4)答案 C名师点津点关于直线对称的解题方法若两点 P1(x1，y1)与 P2(x2，y2)关于
13、直线 l：AxByC0 对称，则由方程组Ax1x22By1y22C0，y2y1x2x1AB 1，可得到点 P1 关于直线 l 对称的点 P2 的坐标(x2，y2)(其中B0，x1x2)命题角度三 线关于点或线的对称问题【例3】与直线2xy40关于直线xy10对称的直线的方程为_解析 设 P(x，y)是待求直线上任意一点，Q(x0，y0)是 P 关于直线 xy10 的对称点，则 Q 在直线 2xy40 上，由轴对称图形的性质有y0yx0 x11，x0 x2y0y210，解得x0y1，y0 x1.将(y1，x1)代入 2x0y040 中，得 x2y50.答案 x2y50名师点津1线关于点对称的求解
14、方法(1)在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；(2)求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求的直线方程2线关于点对称的实质“线关于点的对称”其实质就是“点关于点的对称”，只要在直线上取两个点，求出其对称点的坐标即可，可统称为“中心对称”|跟踪训练|1如果平面直角坐标系内的两点 A(a1，a1)，B(a，a)关于直线 l 对称，那么直线 l 的方程为()Axy10Bxy10Cxy10Dxy10解析：选 A 因为直线 AB 的斜率为a1aa1a1，所以直线 l 的斜率为 1.设直线 l的方程为 yxb，由题意知直线 l 过点2
15、a12，2a12，所以2a122a12b，解得 b1，所以直线 l 的方程为 yx1，即 xy10.故选 A2坐标原点(0，0)关于直线 x2y20 对称的点的坐标是()A45，85B45，85C45，85D45，85解析：选 A 直线 x2y20 的斜率 k12，设坐标原点(0，0)关于直线 x2y20 对称的点的坐标是(x0，y0)，依题意可得x022y0220，y0 x02，解得x045，y085，即所求点的坐标是45，85.3已知入射光线经过点 M(3，4)，被直线 l：xy30 反射，反射光线经过点N(2，6)，则反射光线所在直线的方程为_解析：设点 M(3，4)关于直线 l：xy3
16、0 的对称点为 M(a，b)，则反射光线所在直线过点 M，所以b4a（3）11，3a2b42 30，解得a1，b0，即 M(1，0)又反射光线经过点 N(2，6)，所以所求直线的方程为y060 x121，即 6xy60.答案：6xy60考点 点到直线距离公式的创新交汇应用【例】(2019 年江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，P 是曲线 yx4x(x0)上的一个动点，则点 P 到直线 xy0 的距离的最小值是_解析 解法一：设 Px，x4x，x0，则点 P 到直线 xy0 的距离 dxx4x22x4x2 22x4x24，当且仅当 2x4x，即 x 2时取等号，故点 P 到直线 xy0 的距离
17、的最小值是 4.解法二：由 yx4x(x0)得 y14x2，令 14x21，得 x 2，则当点 P 的坐标为(2，3 2)时，点 P 到直线 xy0 的距离最小，最小值为|23 2|24.答案 4名师点津求曲线上一点到直线的距离的最小值时，一般方法是设出曲线上点的坐标，利用点到直线的距离公式建立目标函数，再由基本不等式或导数求解最值，也可平移直线，使平移后的直线与曲线相切，此时切点到原直线的距离最短|跟踪训练|在1，5内随机取一个实数 a，则直线 axy10 与直线 axy30 之间的距离小于或等于 1 的概率为_解析：因为直线 axy10 与直线 axy30 之间的距离为2a21，所以令2a211，得 a 3或 a 3，又 a1，5，所以 3a5，所以所求的概率为5 34.答案：5 34点此进入该word板块课 时 跟 踪 检 测3谢 谢 观 看 THANKS
