1、三角函数 题型一：任意角的三角函数一、单选题1（2022北京市八一中学一模）在平面直角坐标系xOy中，角以Ox为始边，终边经过点，则（）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据余弦函数的定义进行求解即可.【详解】设点，因为，所以.故选：C.2（2022北京房山二模）已知是第一象限角，且角的终边关于y轴对称，则()ABCD【答案】D【解析】【分析】根据cos求出tan，根据角的终边关于y轴对称可知【详解】是第一象限角，角的终边关于y轴对称，故选：D3（2022山东潍坊二模）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，点，在角的终边上，且，则（）A2BCD【答案】C【解析】【分析】根据题意，得
2、到直线的斜率为，进而判断所在象限，即可求解.【详解】由已知得，因为点，在角的终边上，所以直线的斜率为，所以，明显可见，在第二象限，.故选：C4（2022山西临汾一模（文）已知角的终边过点，则的值为（）ABCD【答案】C【解析】【分析】先求出点的坐标，进而根据三角函数的定义求得答案.【详解】由题意，点的坐标为，则.故选：C.5（2022河南一模（文）已知是第二象限角，则（）ABCD【答案】C【解析】【分析】由已知结合三角函数的定义及象限角的范围，及正弦的二倍角公式判断即可.【详解】由是第二象限角，可得，故选：C6（2022山东济南二模）如果角的终边过点，则的值等于（）ABCD【答案】C【解析】先
3、计算三角函数值得，再根据三角函数的定义求解即可.【详解】解：由题意得，它与原点的距离，所以.故选：C.7（2022河北石家庄一模）若角终边经过点，则ABCD【答案】B【解析】【详解】分析：利用三角函数的定义，即可求出.详解：角终边经过点，则 由余弦函数的定义可得 故选B.点睛：本题考查三角函数的定义，属基础题.二、多选题1（2022湖北孝昌县第一高级中学三模）已知角的终边经过点则（）ABCD【答案】ABD【解析】【分析】根据同终边角的正弦和余弦可知，然后解出方程并判断，逐项代入即可.【详解】解：由题意得：如图所示：，即，即解得：（舍去）或，故A正确；，故D正确；，故B正确；，故C错误；故选：A
4、BD题型二：同角三角函数的基本关系一、单选题1（2022宁夏固原一中一模（文）若，且在第四象限，则（）ABCD【答案】D【解析】由已知利用同角三角函数基本关系式即可计算得解【详解】解：，且在第四象限，故选：D2（2022辽宁沈阳二中二模）若，则（）ABCD【答案】A【解析】先由求出，再由同角三角函数基本关系，以及二倍角的正弦公式，将所求式子化简，即可得出结果.【详解】因为，所以，因此.故选：A.【点睛】本题主要考查由同角三角函数基本关系化简求值，涉及二倍角的正弦公式，属于基础题型.3（2022黑龙江哈九中三模（文）已知，且，则（）ABCD【答案】C【解析】【分析】利用二倍角公式结合平方关系得，
5、利用开方取负值即可【详解】，故选：C.4（2022江西萍乡三模（文）已知，则（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由，分子分母同除以，即可求出结果.【详解】因为，又，所以，故选：A.5（2022广东广州三模）已知，若，则的值为（）ABCD【答案】D【解析】【分析】将两边平方得：2sinxcosx=-0,求出x的范围，再利用求解即可.【详解】解：将两边平方得：2sinxcosx=-，所以，2x, 又因为sin2x=-,所以cos2x=-=-. 故选：D.6（2022江西南昌三模（文）若角的终边不在坐标轴上，且，则()ABCD【答案】A【解析】【分析】结合易知条件和同角三角函数的平方关系即可求出c
6、os，从而求出sin，根据即可求得结果【详解】或，的终边不在坐标轴上，故选：A7（2022广西南宁二模（文）若是钝角且，则（）ABCD【答案】A【解析】【分析】先求出，再根据商数关系求出即可.【详解】因为是钝角，所以则故选：A.题型三：三角函数的诱导公式一、单选题1（2022江西萍乡三模（理）已知，则（）ABCD【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式化简可以得到，再将化为齐次式，采用“弦化切”，代入即可得到答案【详解】 ， 故选：A2（2022宁夏吴忠中学三模（文）若，为第四象限角，则等于（）ABCD【答案】C【解析】【分析】利用平方关系及商数关系，结合诱导公式即可求值.【详解】由题设，所以，
7、则.故选：C3（2022内蒙古呼和浩特二模（文）（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由诱导公式化简求值即可.【详解】，故选：A4（2022宁夏石嘴山一模（理）已知，则（）ABCD【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式化简即得所求【详解】故选：A5（2022福建漳州二模）已知，则（）ABCD【答案】C【解析】【分析】整体法用诱导公式求解.【详解】.故选：C6（2022广西柳州二模（理）已知，则（）ABCD【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式化简求值.【详解】由诱导公式得，故选：B.7（2022内蒙古满洲里市教研培训中心三模（文）若，（）ABCD【答案】B【解析】【分析】由诱导公式进行化简，然
8、后根据二倍角公式即可求解.【详解】 ， 故选：B8（2022贵州贵阳二模（理）若，（）ABCD【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式可得，利用诱导公式可得结果.【详解】，.故选：B.9（2022江西九江三模（理）已知，则（）ABCD【答案】B【解析】【分析】首先根据辅助角公式得到，再利用诱导公式求解即可。【详解】，即，故选：B10（2022安徽马鞍山三模（文）若，则等于（）ABCD【答案】D【解析】【分析】由平方关系结合已知可得，然后由诱导公式和商数关系可得所求.【详解】因为，所以因为，所以所以.故选：D题型四：三角函数恒等变换一、单选题1（2022湖南雅礼中学二模）已知，则（）ABCD【答
9、案】A【解析】【分析】利用二倍角公式即得.【详解】由题可得，解得（舍去），或.故选：A.2（2022北京二模）已知角的终边经过点，则（）ABCD【答案】A【解析】【分析】根据终边上的点确定角的正余弦值，再由二倍角正弦公式求.【详解】由题设，而.故选：A3（2022河南商丘三模（文）已知，则（）A3BCD-3【答案】C【解析】【分析】利用二倍角公式化简即可【详解】故选：C4（2022黑龙江哈九中三模（文）已知，且，则（）ABCD【答案】C【解析】【分析】利用二倍角公式结合平方关系得，利用开方取负值即可【详解】，故选：C.5（2022福建南平三模）在中，若，则（）ABCD【答案】A【解析】【分析】
10、由，利用正切的二倍角公式即可求解.【详解】因为，所以，所以，故选：A6（2022内蒙古包头二模（理）若，则（）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据同角的三角函数关系式，结合二倍角的正弦公式和余弦公式、特殊角的三角函数值进行求解即可.【详解】，因为，所以，于是由，解得，解得，或（舍去），因为，所以，即，故选：B7（2022湖北武汉二模）设，则（）ABCD【答案】A【解析】【分析】化切为弦，通分，再利用平方关系及倍角公式即可得解.【详解】解：.故选：A.8（2022陕西安康市高新中学三模（文）若，则（）ABCD【答案】C【解析】【分析】利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可
11、得；【详解】解：故选：C9（2022江西萍乡二模（文）已知，则 （）ABCD【答案】A【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式求解.【详解】因为，所以，故选：A10（2022山西二模（理）若，则（）ABCD【答案】B【解析】【分析】利用二倍角公式和切化弦，化简即可求得.【详解】因为，所以.故选：B11（2022黑龙江哈师大附中三模（理）若，则（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式先求得的值，再求，结合二倍角余弦公式求值即可【详解】，平方可得， 同号，又，则，所以故选：A.12（2022山西晋城三模（理）若，则（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由余弦的
12、二倍角公式，然后再结合平方关系和商的关系，转化为的式子，得出答案.【详解】故选：A二、多选题1（2022海南海口二模）已知，则（）ABCD【答案】BD【解析】【分析】根据商的关系化简条件可求，利用平方关系求，再由商的关系求，再利用，结合二倍角公式及同角三角函数关系求，.【详解】因为， 所以，又 ，所以，故A错误，B正确，所以，故C错误，D正确故选：BD.2（2022全国模拟预测）已知，则（）ABCD【答案】ABD【解析】【分析】切化弦后，由平方关系化为关于的方程，解方程可得，求出后由商数关系得，再由正切的二倍角公式得，由余弦的二倍角公式得，由两角和的正弦余弦公式化简后代入值可得【详解】对于选项
13、A，解得或（舍），故选项A正确；对于选项B，故选项B正确；对于选项C，故选项C错误；对于选项D，故选项D正确故选：ABD题型五：三角函数的图象和性质1（2022河北邯郸二模）函数在上的值域为（）A BCD 【答案】C【解析】【分析】根据正弦型函数的图像和单调性即可求解.【详解】当时，当时，即 时，取最大值1，当，即 时，取最小值大于 ，故值域为 故选：C2（2022陕西西安三模（文）下列区间中，函数单调递增的区间是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据诱导公式，结合余弦型函数的单调性进行判断即可.【详解】，当时，显然该集合是的子集此时函数单调递减，不符合题意；当时，显然该集合不是的子集此时
14、函数不单调递增，不符合题意；当时，显然该集合是的子集此时函数单调递增，符合题意；当时，显然该集合不是的子集此时函数不单调递增，不符合题意，故选：C3（2022安徽淮南二模（文）函数的部分图象可能是（）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据函数的奇偶性以及特殊值排除法,即可求解.【详解】记,则,故,是奇函数,故图像关于原点对称.此时可排除A,C ,取 ,排除D.故选:B4（2022江西九江一模（理）函数的最小正周期为，则的值为（）A2B4C1D【答案】A【解析】【分析】根据二倍角的余弦公式可得，结合求最小正周期的公式计算即可.【详解】解：，由得函数的最小正周期为，故选：A5（2022安徽蚌埠三模
15、（文）已知函数的图像如图所示，则的值为（）A2B1CD【答案】C【解析】【分析】由图象分析函数的周期，求得的值.【详解】由图象可知，函数的半周期是，所以，得.故选：C6（2022上海松江二模）设函数图像的一条对称轴方程为，若、是函数的两个不同的零点，则的最小值为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据对称轴和的范围可得的值，从而可得周期，然后由题意可知的最小值为可得.【详解】由题知，则，因为，所以所以易知的最小值为.故选：B7（2022青海海东市教育研究室一模（理）已知定义在上的函数，若的最大值为，则的取值最多有（）A2个B3个C4个D5个【答案】A【解析】【分析】因为，讨论或，结合函数图像
16、理解分析【详解】，则若的最大值为，分两种情况讨论：当，即时，根据正弦函数的单调性可知，解得；当，即时，根据正弦函数的单调性可知，在上单调递增，所以，结合函数与在上的图像可知，存在唯一的，使得.综上可知，若的最大值为，则的取值最多有2个.故选：A8（2022湖南雅礼中学二模）已知函数的图象如图所示.则（）A0BCD【答案】A【解析】【分析】由相邻零点与对称轴间的距离为周期的四分之一，求得周期，进而求得，由最低点的坐标求得的值，进而计算得解.【详解】由图象可得的最小正周期，由，解得，由得，故选：A9（2022新疆克拉玛依三模（理）函数在区间上的所有零点之和为（）ABCD【答案】C【解析】【分析】把
17、方程变形，把零点个数转化为正弦函数图象与另一函数图象的交点个数，根据函数的对称性计算可得【详解】解：因为，令，即，当时显然不成立，当时，作出和的图象，如图，它们关于点对称，由图象可知它们在上有4个交点，且关于点对称，每对称的两个点的横坐标和为，所以4个点的横坐标之和为故选：C10（2022河南郑州三模（文）关于函数，有下述四个结论：的一个周期为；的图象关于直线对称；的一个零点为；在上单调递增其中所有正确结论的编号是（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由余弦函数的周期性、对称性、零点及单调性依次判断即可.【详解】，正确；，则的图象关于对称，错误；，正确；由可得，单调递减，错误.故选：A.二、多
18、选题1（2022河北秦皇岛二模）已知函数图象的一条对称轴方程为，与其相邻对称中心的距离为，则（）A的最小正周期为B的最小正周期为CD【答案】AC【解析】【分析】根据三角函数图象性质可得函数解析式进而可得周期.【详解】因为图象相邻的对称中心与对称轴的距离为，所以最小正周期，故A正确，B不正确；因为，且，所以，故C正确，D不正确，故选：AC.2（2022湖北荆州中学三模）已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，关于有下述四个结论，其中错误的结论是（）A的一个周期是B是偶函数C在区间上单调递减D的最大值大于【答案】BC【解析】【分析】利用函数周期性的定义可判断A选项的正误；利用和的值可判断B选项的正
19、误；化简函数在上的解析式，可判断C选项的正误；由的值可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，所以，函数的一个周期为，A选项正确；对于B选项，所以，函数不是偶函数，B选项错误；对于C选项，当时，则，则，所以，函数在是常函数，C选项错误；对于D选项，D选项正确.故选：BC.三、解答题1（2022江西上高二中模拟预测（理）设函数.(1)求函数单调递减区间；(2)求函数在区间上的最值.【答案】(1)(2)最小值为，最大值是【解析】【分析】(1)根据诱导公式和二倍角公式化简得：，再根据余弦函数的单调性求解即可；(2)化简得,再根据，求解即可.(1) ，当 ，即时是单调递减区间；(2) ，因为，所以， ，
20、 ， 故最小值为，最大值是；2（2022山东临沂二模）已知函数，且在上的最大值为(1)求的解析式；(2)将函数图象上所有点的横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，若，求的值【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）由求得，再结合在上的最大值为且，知，求出即可；（2）先求出，由求得，结合诱导公式及倍角公式即可求得.(1)因为，所以周期，又在上的最大值为，且，所以当时，取得最大值，所以，且，即，故，解得，故；(2)，又，则，.3（2022浙江台州二模）设函数.(1)求函数的最小正周期；(2)求函数在上的最大值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由三角函数的性质求解（2）由三角恒
21、等变换公式化简，根据三角函数性质求解(1)函数的最小正周期为.(2).，即.函数在上的最大值为.4（2022浙江三模）已知函数(1)求的单调递增区间；(2)若对任意，都有，求实数的取值范围【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）的解析式可化简为，令，即可解得的单调递增区间（2）对恒成立的不等式等价转化后，结合的范围可得，从而解得的范围(1)令解之得 的单调递增区间为(2)对任意，都有，实数的范围为解三角形 题型一：正弦定理一、单选题1（2022江西南昌二模（理）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则（）A8B6C5D3【答案】B【解析】【分析】先求出，由正弦定理，化简计算可得.【
22、详解】解：中，因为，所以，由正弦定理得，化简得6.故选：B.2（2022吉林延边州教育学院一模（文）已知，内角的对边分别是，则等于（）ABC或D或【答案】A【解析】【分析】直接根据正弦定理求解即可【详解】解：，由正弦定理得： ，故选：A【点睛】本题主要考查利用正弦定理解三角形，要注意大边对大角等隐含条件，注意多解情况的处理，属于基础题3（2022江西二模（文）设在中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若满足的不唯一，则m的取值范围为（）ABCD【答案】A【解析】【分析】根据正弦定理计算可得；【详解】解：由正弦定理，即，所以，因为不唯一，即有两解，所以且，即，所以，所以，即；故选：A4（20
23、22四川乐山市教育科学研究所二模（文）设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则A=（）ABCD【答案】D【解析】【分析】根据同角三角函数的关系、两角和的正弦公式、诱导公式和正弦定理化简计算可得，进而即可求出A.【详解】由题意知，由正弦定理，得，又，所以，即，由，得.故选：D5（2022陕西西安三模（文）在中，若，则（）ABC3D【答案】D【解析】【分析】运用同角平方关系可求，然后利用正弦定理，计算即可得到【详解】解：，由正弦定理可得，故选：D6（2022安徽芜湖一中一模（文）已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则角A的大小为（）ABCD【答案】A【解析】【分析】直接
24、利用正弦定理边化角，再结合正弦的和角公式求出，进而求出角A.【详解】由得，由正弦定理得，又，得，.故选：A.7（2022贵州黔东南一模（理）设a，b，c分别为内角A，B，C的对边已知，则（）ABCD【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理得到，确定B为锐角，利用同角三角函数的平方关系求出结果.【详解】因为，所以由正弦定理得，则，又因为，所以，所以，因为，所以，所以B为锐角，故故选：C8（2022湖南省临澧县第一中学一模）在中，若，则=（）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据给定条件利用正弦定理直接计算即可判断作答.【详解】在中，若，由正弦定理得：，所以.故选：B二、多选题1（2022重庆八中模
25、拟预测）在中，内角所对的边分别为a、b、c，则下列说法正确的是（）AB若，则CD若，且，则为等边三角形【答案】ACD【解析】【分析】A由正弦定理及等比的性质可说明；B令可得反例；C由和角正弦公式及三角形内角和的性质有，由正弦定理即可证；D若，根据单位向量的定义，向量加法的几何意义及垂直表示、数量积的定义易知的形状.【详解】A：由，根据等比的性质有，正确；B：当时，有，错误；C：，而，即，由正弦定理易得，正确；D：如下图，是单位向量，则，即、，则且平分，的夹角为， 易知为等边三角形，正确.故选：ACD【点睛】关键点点睛：D选项，注意应用向量在几何图形中所代表的线段，结合向量加法、数量积的几何意义
26、判断夹角、线段间的位置关系，说明三角形的形状.题型二：余弦定理一、单选题1（2022陕西商洛二模（文）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则的面积为（）ABC1D2【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理可求得，再根据三角形的面积公式，即可求出结果.【详解】因为，所以，所以，所以的面积为.故选：C.2（2022四川雅安三模（文）在中，内角、所对的边分别为、，若，则（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由正弦定理可得，利用余弦定理可求得的值.【详解】因为，令，则.故选：A.3（2022陕西咸阳二模（文）在中，已知，则（）A1BC2D4【答案】C【解析】【分析】直接利用余弦定理即可求得.【
27、详解】在中，已知，即为，由余弦定理得：,解得：（边长大于0，所以舍去）即.故选：C4（2022宁夏吴忠中学三模（理）在中，已知，则（）A16B9C9D16【答案】C【解析】【分析】由余弦定理求出，再由数量积的定义及诱导公式计算可得；【详解】解：由余弦定理，可得，所以故选：C5（2022北京昌平二模）在中，只需添加一个条件，即可使存在且唯一.条件：； ；中，所有可以选择的条件的序号为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据正弦和余弦定理，以及三角形边与角的性质，直接计算即可判断求解.【详解】对于，所以，得，所以，此时，存在且唯一，符合题意；对于，所以，解得，因为，所以，所以为锐角，此时，存在且
28、唯一，符合题意；对于，所以，得，进而，可得，明显可见，与矛盾，故不符题意.故可以选择的条件序号为：故选：B6（2022内蒙古包头二模（文）的内角，的对边分别为，已知，则的面积为（）A9B6CD【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理，结合三角形面积公式进行求解即可.【详解】由余弦定理可知：，解得（负值舍去），即，所以的面积为，故选：C7（2022陕西榆林三模（理）的内角，的对边分别为，若的面积为，则（）A10B3CD【答案】C【解析】【分析】由已知及三角形面积公式可得，进而求出b、c，应用余弦定理求a即可.【详解】因为，则，又，所以，又，可得，所以，即.故选：C8（2022全国二模（理）ABC中
29、，若，则AB边上的高的最大值为（）A2B3CD【答案】C【解析】【分析】将已知条件利用余弦的二倍角公式化简可得，然后由余弦定理和基本不等式可得面积的最大值，从而得到高的最大值.【详解】ABC中，可得，即，解得即，,可得，当时取到最大值16，设AB边上的高为h，则，解得，即AB边上的高的最大值为，故选：C二、多选题1（2022广东广州三模）在中，角、的对边分别是、下面四个结论正确的是（）A，则的外接圆半径是4B若，则C若，则一定是钝角三角形D若，则【答案】BC【解析】根据正弦定理可求出外接圆半径判断A，由条件及正弦定理可求出，可判断B,由余弦定理可判断C，取特殊角可判断D.【详解】由正弦定理知，
30、所以外接圆半径是2，故A错误；由正弦定理及可得，即，由，知，故B正确；因为，所以C为钝角，一定是钝角三角形，故C正确；若，显然，故D错误.故选：BC三、解答题1（2022北京市第十二中学三模）的内角、的对边分别为、，已知.(1)求角的大小；(2)从以下4个条件中选择2个作为已知条件，使三角形存在且唯一确定，并求的面积.条件：；条件：；条件：；条件：.【答案】(1)(2)答案不唯一，见解析【解析】【分析】（1）由正弦定理化简可得出的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）选，利用余弦定理可判断不唯一；选或或，利用三角形的内角和定理可判断唯一，利用正弦定理结合三角形的面积可判断的面积；选，直接判断
31、唯一，再利用三角形的面积公式可求得的面积；选，利用余弦定理可判断唯一，再利用三角形的面积公式可求得的面积.(1)解：由及正弦定理可得，、，则，故.(2)解：若选，由余弦定理可得，即，解得，此时，不唯一；若选，已知，且，则，所以，则唯一，由正弦定理可得，所以，；若选，已知，此时唯一，；若选，已知，且，则，所以，则唯一，由正弦定理可得，所以，；若选，已知，由余弦定理可得，可得，解得，此时，唯一，；若选，已知，且，则，所以，则唯一，由正弦定理可得，.题型三：三角形的面积公式一、单选题1（2022江西萍乡三模（文）在中，分别为角的对边，已知，的面积为2，则边长（）ABCD【答案】A【解析】【分析】由三
32、角形的面积公式代入即可求出答案.【详解】因为，所以，则.故选：A.2（2022江西鹰潭一模（理）中，已知，设D是边的中点，且的面积为，则等于()A2B4C-4D-2【答案】A【解析】根据正、余弦定理求出；根据三角形面积公式求出；再根据D是边的中点，将，用和表示，再根据数量积的定义，即可求出结果【详解】， ， ，即， ，又角是的内角， 又，即 ，；又D是边的中点.故选：A【点睛】本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，同时考查了平面向量基本定理和数量积运算，属中档题3（2022天津河西三模）已知的内角，的对边分别为，的面积为，则ABCD【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理以及三角形的面
33、积公式即可求解.【详解】由，则，即，所以，且，所以.故选：D【点睛】本题考查了余弦定理、三角形的面积公式、弦化切，属于基础题.4（2022宁夏石嘴山市第一中学一模（理）在中，角A，B，C所以对的边分别为a，b，c，若，的面积为，则（）ABC或D或3【答案】D【解析】【分析】由，可求得，再结合面积和，即可求得边，再由余弦定理求得.【详解】由，由正弦定理得，又，得，得，得，又，得，则，则，由余弦定理，得，得或.故选：D【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，根据边角关系正确选用正弦定理和余弦定理是解题的关键.5（2022江西南昌市实验中学一模（文）在中，所对应边分别为，已知，且，则
34、的面积为（）.A1BCD【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理化简求得，由此求得，再结合三角形面积公式求得三角形的面积.【详解】由余弦定理得，所以，由得.故选B.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查三角形面积公式，考查同角三角函数的基本关系式，属于基础题.6（2022宁夏银川一模（理）ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则ABC面积的最大值为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据题意得到，利用余弦定理和面积公式，化简得到，结合，得到，即可求解.【详解】由，可得，由余弦定理可得.因为的面积，所以，因为，所以，故当时，取得最大值3，此时.故选：B.二、解答题1（2022北
35、京潞河中学三模）在中，再从条件条件这两个条件中选择一个作为已知，求：(1)的值；(2)的面积.条件：；条件：.【答案】(1)若选择条件，；若选择条件，(2)若选择条件，的面积；若选择条件，的面积【解析】【分析】（1）若选择条件，根据二倍角正弦公式，化简整理，可得；若选择条件，根据二倍角的余弦公式，化简整理，可得.（2）若选择条件，根据余弦定理，可求得a值，代入面积公式，即可得答案；若选择条件，根据余弦定理，可求得a值，代入面积公式，即可得答案；(1)若选择条件，则，因为，所以，所以，则.若选择条件，则，所以或，因为，所以，则.(2)若选择条件，则，所以，所以或-3（舍），所以的面积；若选择条件
36、，则，所以， 所以或-8（舍），所以的面积题型四：解三角形的实际应用一、单选题1（2022青海西宁一模（文）某居民小区拟将一块三角形空地改造成绿地.经测量，这块三角形空地的两边长分别为32m和68m，它们的夹角是.已知改造费用为50元/m2，那么，这块三角形空地的改造费用为（）A元B元C元D元【答案】C【解析】【分析】求出三角形空地的面积，即可求出这块三角形空地的改造费用.【详解】由题意，三角形空地的面积为，改造费用为50元，这块三角形空地的改造费用为：元.故选：C.【点睛】本题主要考查的是正弦定理中的面积公式的应用，熟记公式是解决本题的关键，是基础题.2（2022江西师大附中三模（理）滕王阁
37、，位于江西省南昌市西北部沿江路赣江东岸，始建于唐朝永徽四年，因唐代诗人王勃诗句“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世如图，小明同学为测量滕王阁的高度，在滕王阁的正东方向找到一座建筑物AB，高为，在它们的地面上的点M（B，M，D三点共线）测得楼顶A，滕王阁顶部C的仰角分别为和，在楼顶A处测得阁顶部C的仰角为，则小明估算滕王阁的高度为（）（精确到）ABCD【答案】D【解析】【分析】在中求得，由正弦定理得，再在中，计算即可.【详解】由题意得，在中，在中，所以，由正弦定理，得，又，在中，.故选：D.3（2022江西师大附中三模（文）地处赣江东岸的腾王阁与岳阳楼黄鹤楼并称为“江南三大名楼”，是中国
38、古代四大名楼之一“中国十大历史文化名楼”之一，世称“西江第一楼”.“云销雨霁，彩彻区明.落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色.渔舟唱晚，响穷彭蠡之滨；雁阵惊寒，声断衡阳之浦”是唐代文学家王勃对腾王阁的生动描写.某位游客（身高忽略不计）从地面D点看楼顶点A的仰角为30，沿直线前进72米到达E点，此时看点C的仰角为45，若，则楼高AB约为（）A58米B68米C78米D88米【答案】A【解析】【分析】设，得到，列出方程，求得的值，即可求得楼高，得到答案.【详解】设，则由题意可得，所以，解得，所以楼高.故选: A.4（2022四川泸州二模（理）如图，航空测量的飞机航线和山顶在同一铅直平面内，已知飞机飞行的海
39、拔高度为10000，速度为50.某一时刻飞机看山顶的俯角为15，经过420s后看山顶的俯角为45，则山顶的海拔高度大约为（，）（）A7350B2650C3650D4650【答案】B【解析】【分析】如图，设飞机的初始位置为点，经过420s后的位置为点，山顶为点，作于点，在中，利用正弦定理求得，在中，解直角三角形即可的解.【详解】解：如图，设飞机的初始位置为点，经过420s后的位置为点，山顶为点，作于点，则，所以，在中，由正弦定理得，则，因为，所以，所以山顶的海拔高度大约为.故选：B.二、多选题5（2022福建厦门双十中学模拟预测）如图，某校测绘兴趣小组为测量河对岸直塔(A为塔顶，B为塔底)的高度
40、，选取与B在同一水平面内的两点C与D(B，C，D不在同一直线上)，测得.测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有：，则根据下列各组中的测量数据可计算出塔的高度的是（）ABCD【答案】ACD【解析】【分析】根据解三角形的原理：解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长. 分析每一个选项的条件看是否能求出塔的高度.【详解】解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长. A. 在中，已知，可以解这个三角形得到，再利用、解直角得到的值；B. 在中，已知无法解出此三角形，在中，已知无法解出此三角形，也无法通过其它三角形求出它的其它几何元素，所以它不能计算出塔的高度；C. 在中，已知，可以解得到,再利
41、用、解直角得到的值；D. 如图，过点作,连接.由于,所以，所以可以求出的大小，在中，已知可以求出再利用、解直角得到的值.故选：ACD【点睛】方法点睛：解一个三角形，需要知道三个条件，且至少一个为边长. 判断一个三角形能不能解出来常利用该原理.三、解答题6（2022重庆八中模拟预测）如图：某公园改建一个三角形池塘，（百米），（百米），现准备养一批观赏鱼供游客观赏(1)若在 内部取一点P，建造APC连廊供游客观赏，如图，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且，求连廊的长（单位为百米）；(2)若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并建行连廊，使得 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏如图，当为正三角形时，求的面积的最小值【答案】(1)百米(2)(百米)【解析】【分析】（1）由余弦定理即可求得，在 中，确定，由余弦定理求得，即可求得答案；（2）设正三角形DEF的边长a，（）则可表示，从而可由正弦定理表示出，结合三角函数的性质求得其最小值，即可求得答案.(1)点P是等腰三角形PBC的顶点，且，且由余弦定理可得：，解得，又,在 中，,在ACP中，由余弦定理得,解得，；，连廊的长为百米(2)设正三角形DEF的边长a，（）则，设,可得，在 中，由正弦定理得：，即，即,化简得：，（其中，为锐角，且）.