1、山西省晋中市2021届高三数学下学期3月适应性考试（二模）试题 理（本试卷考试时间120分钟，满分150分）祝考试顺利注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上2全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效3回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上4考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回参考公式：锥体的体积公式：（其中S为锥体的底面积，h为锥体的高）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，
2、只有一项是符合题目要求的）1已知集合，则等于（ ）A B C D2已知复数z满足，则（ ）A B C3 D3已知向量，且，则m的值为（ ）A B2 C4 D或44魔方又叫鲁比克方块（Rubks Cube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为（
3、 ）A B C D5如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面中，,，侧棱，若侧面水平放置时，水面恰好过的中点，那么当底面水平放置时，水面高为（ ）A2 B C3 D6已知，则（ ）A B C D7已知点F是抛物线的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线E上的两点，满足则（ ）A1 B2 C3 D48定义在上的函数满足，对任意的，恒有，则关于x的不等式的解集为（ ）A B C D9.已知长方体的底面是边长为2的正方形，高为4，E是的中点，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A B C D10已知双曲线的右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线的渐近线交于点A（A在第一象限内），以为直径的圆与双曲线的另
4、一条渐近线交于点B，若，则双曲线C的离心率为（ ）A B C D211设，其中，若对任意的恒成立，则下列说法正确的是（ ）AB对任意的有成立C的单调递增区间是D存在经过点的直线与函数的图象不相交12若存在实数x，y满足，则（ ）A B0 C1 D二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13设x，y满足则的最小值是_，最大值是_14曲线与直线相切，则_15过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则_16如图所示，在平面四边形中，在中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若，则的面积为_三、解答题（共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第
5、22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题（共60分）17（12分）设是各项都为正的单调递增数列，已知，且满足关系式：，（1）求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和18（12分）现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为2，将它们的一直角边重合，若将其中一个三角板沿直角边折起形成三棱锥，如图所示，其中，点E，F，G分别是的中点（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值19（12分）为了促进电影市场快速回暖，各地纷纷出台各种优惠措施某影院为回馈顾客，拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满200元的顾客进行减免，规定每人在装有6个白球、2个红球的抽奖箱中有放回的抽球，每次抽取一个，最多抽取3次
6、已知抽出1个白球减10元，抽出1个红球减30元，如果前两次减免之和超过30元即停止抽奖，否则抽取第三次（1）求某顾客所获得的减免金额为40元的概率；（2）求某顾客所获得的减免金额X的分布列及数学期望20（12分）设椭圆，O为原点，点是x轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于，离心率为（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆C交于两个不同点M，N，已知M关于y轴的对称点为，N关于原点O的对称点为，若满足，求证：直线l经过定点21（12分）已知函数（是自然对数的底数）（1）若在内有两个极值点，求实数a的取值范围；（2）时，计论关于x的方程的根的个数（二）选考题（共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，
7、如果多做，则按所做的第一题计分）22选修44：坐标系与参数方程（10分）已知在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）点P的极坐标为，设直线l与曲线C的交点为A，B，且的中点为Q，求线段的长23选修45：不等式选讲（10分）已知函数（1）当时，解不等式；（2）当时，若不等式对任意的恒成立，求实数a的取值范围2021年3月高三适应性调研考试数学（理科）答案题号123456789101112答案DDDCBADBBABC1解析：由题意得集合或，又因为，所以
8、或，故选D答案：D2解析：因为，所以故选D答案：D3解析：根据题意，得，由，得，解得或故选D答案：A4解析：沿等分线把正方体切开得到同样大小的小正方体共有27个，其中有3个面涂色的小正方体共有8个，只有2个面涂色的小正方体共有12个，只有1个面涂色的小正方体共有6个，所以恰好抽到只有2个面有色的小正方体的概率为故选C答案：C5解析：设四棱柱的底面梯形的高为的中点分别为，所求的水面高为h，则水的体积，所以，故选B6解析：因为，所以，从而可得，故选A答案：A7解析：设，则，由，知，所以，联立解得，故选D答案：D8解析：设，则为奇函数，且在上为增函数，所以不等式等价于，即，亦即，可得，解得，故选B答
9、案：B9解析：如图，因为在三棱锥中，平面且为直角三角形，所以外接球球心是的中点，不妨设球的半径为R，则，所以球的表面积.故选B答案：B10解析：如图，因为，所以点F在圆上，又，所以，而，所以是等腰三角形，所以，所以，所以，故选A答案：A11解析：，又，由题意对任意的恒成立，且，所以对任意的恒成立，即恒成立，由基本不等式可知，所以，此时，所以对于A选项，所以，故A错误；对于B选顼，因为，所以不妨令，解得，当时，所以是的对称中心，故B正确；对于C选项，由，知，故C不正确；对于D选项，由题知，要使经过点的直线与函数的图象不相交，则此直线与横轴平行，又的振幅为，所以直线必与的图象有交点，故D不正确答案
10、：B12解析：令，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以令，则，当且仅当时取等号，又，所以，所以答案：C13解析：如图所示，不等式组满足的平面区域为阴影部分所示区域，设，当经过点时，取到最小值；当经过点时，取到最大值答案：14解析：设切点为，则，切线的斜率，解得答案：115解析：由得，所以圆心，半径为1，所以，所以答案：16解析：，在等腰直角中，在中，由余弦定理得，又已知，又，作分别交于点F，E（图略），E，F分别为线段的中点，答案：17解：（1）因为，所以，即，又是各项为正的单调递增数列，所以， 3分所以是首项为2，公差为2的等差数列，所以，所以 6分（2）， 8分所以 10分 12分18
11、解：（1）证明：根据已知得，又G为的中点，所以， 1分因为，G为的中点，所以， 2分又，所以平面 3分又因为，所以平面 4分（2）因为，所以平面，取中点H，连接，则平面，又，所以以H为原点，以所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 5分则，所以 6分设平面的法向量为，则即令，得 8分设平面的法向量为，则即令，得 10分所以，所以二面角的余弦值为 12分19解：（1）若顾客所获得的减免金额为40元，则第一次抽白球、第二次抽红球或第一次抽红球、第二次抽白球 2分求得顾客所获得的减免金额为40元的概率为 5分（2）某顾客所获得的减免金额X可能为30,40,50,60 6分， 7分， 8分，
12、9分 10分所以X的分布列为X30405060P 11分所以某顾客所获得的减免金额的数学期望为 12分20解：（1）由题意得，所以 3分所以椭圆C的方程为 4分（2）证明：设，则，所以，整理得 7分由得， 8分则 9分代入整理得， 11分所以直线l的方程为，即直线l恒过定点 12分21解：（1）由题意可求得，因为在内有两个极值点，所以在内有两个不相等的变号根，即在上有两个不相等的变号根 1分设，则，当时，所以在上单调递增，不符合条件 2分当时，令得，当，即时，所以在上单调递减，不符合条件； 3分当，即时，所以在上单调递增，不符合条件； 4分当，即时，在上单调递减，上单调递增，若要在上有两个不相
13、等的变号根，则，解得 5分综上所述， 6分（2）设，令，则，所以在上单调递增，在上单调递减（）当时，则，所以因为，所以，因此在上单调递增 7分（）当时，则，所以因为，所以，因此在上单调递减 8分综合（）（）可知，当时，当，即时，没有零点，故关于x的方程根的个数为0， 9分当，即时，只有一个零点，故关于x的方程根的个数为1， 10分当，即时，当时，要使，可令，即；当时，要使，可令，即，所以当时，有两个零点，故关于x的方程根的个数为2 11分综上所述：当时，关于x的方程根的个数为0，当时，关于x的方程根的个数为1，当b时，关于x的方程根的个数为2 12分22解：（1）由题意可知在曲线C中，则，得曲线C的直角坐标方程为； 2分因为，可得直线l的直角坐标方程为 4分（2）已知点P的直角坐标为，设直线l的参数方程为代入曲线C的普通方程得， 6分设A，B对应参数为，则Q对应的参数为， 8分故 10分23解：（1）当时，不等式即为， 1分法一：当时，可得，解得，则； 2分当时，可得，即，所以； 3分当时，可得，解得，则 4分综上可得，原不等式的解集为 5分法二：根据绝对值的几何意义可得不等式的解集为 5分（2）当时，若不等式对任意的恒成立，即为，又 6分当时，； 7分当时，； 8分当时， 9分故，则，即a的取值范围是 10分