1、2020-2021学年度第一学期高三第四次月考数学试卷（理科）一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. 复数的模为（ ）A. 1B. 2C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算化简再求模长即可.【详解】.模长为1.故选：A【点睛】本题主要考查了复数的除法与模长的计算.属于基础题型.2. 下列四个函数，在处取得极值的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】【详解】试题分析：能不能取得极值要看函数在这个导函数的零点处的两边是否异性单调通过检验这两个函数在处的左右两边情况是：左边是减函数,右边是增函数,因此是极值点而两个函数都是单增的，
2、所以应选B考点：函数极值的定义3. 不等式的解集是，则的值为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由一元二次不等式与对应方程的关系，利用根与系数的关系列方程组求出的值，再求和.【详解】解：由不等式解集是，得和是方程的解，由根与系数的关系知，解得，；所以.故选：C.【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题.4. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2018年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（ ）（参考数据：lg1.120.05，lg1.30
3、.11，lg20.30）A. 2020年B. 2021年C. 2022年D. 2023年【答案】C【解析】【分析】根据题意，设第年开始超过200万元，由题中条件列出不等式求解，即可得出结果.【详解】由题意，设第年开始超过200万元，则，即，两边同时取以10为底的对数，可化为：，解可得：；则.故选：C【点睛】本题主要考查指数函数模型的应用，涉及解指数不等式和对数的运算，属于常考题型.5. 在公差不为零的等差数列中，且，成等比数列，则（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】D【解析】【分析】由等差数列通项公式表示出再由等比数列性质可求得【详解】由题意，成等比数列，即，解得故选：D【点睛】本题
4、考查等差数列的通项公式，考查等比数列的性质属于基础题6. 为了得到函数的图象，只需把函数，的图象上所有的点（ ）A. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）B. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）C. 向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）D. 向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）【答案】C【解析】【分析】按照平移变换和周期变换的结论，分别求出四个选项中得到的函数解析式可得答案.【详解】对于，把函数，的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍
5、（纵坐标不变）得到函数的图象，故不正确；对于，把函数，的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，故不正确；对于，把函数，的图象上所有的点向左平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，故正确；对于，把函数，图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，故不正确.故选：C.【点睛】本题考查了三角函数的平移变换与周期变换，属于基础题.7. 在中，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据，结合平面向量的加法和减法运算，利用平面向量的基
6、本定理求解.详解】如图所示：因为，所以，故选：A8. 命题“，”为真命题的一个必要不充分条件是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先解得命题“，”为真命题的等价条件；根据充分必要条件的定义得成立的一个必要不充分条件即可【详解】解：若“，”为真命题，则等价为“，”为真命题，即任意，则，则必要不充分条件为包含的集合，故选：【点睛】本题主要考查函数存在性问题，充分条件和必要条件的应用，属于基础题9. 已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数k的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得有两个根，再利用有解可得答案.【详解】因为有两个根，所以，要使方程有三个
7、不同的实根，只需有解，即在上有解，因为在上，所以实数k的取值范围是，故选：B.【点睛】本题主要考查分段函数的性质以及函数与方程思想的应用，属于基础题.10. 函数的部分图象如图所示，的值为（ ）A. 0B. C. D. 【答案】A【解析】试题分析：由函数的图象可得：，解得，可得函数的解析式为，所以，观察规律可知函数的值以为周期，且，由于，故可得，故选A.考点：三角函数的周期性.【方法点晴】本题主要考查了三角函数部分图象确定函数的解析式、数列的周期性、数列的求和扥知识点的综合应用，其中根据三角函数的图象，求出函数的解析式，进而分析出函数的性质和数列的周期性，进而求解数列的和是解答本题的关键，着重
8、考查了学生分析和解答问题的能力及转化与化归思想的应用.11. 给定两个单位向量，且，点在以为圆心的圆弧上运动，则的最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】给定两个单位向量，且则，建立如图所示的坐标系，则A（1，0），B（cos150，sin150），即设AOC= ，则因为则， 所以=因为， 所以有最小值-1.故选B12. 已知实数，满足，则下列关系式中不可能成立的是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设，分别表示出，构造函数，利用函数图象比较大小.【详解】设，则，在同一坐标系中分别画出函数，的图象，如图，当时，；当时，；当时，.故选:D.【点睛】本题考查利用
9、函数的图象比较大小，构造函数，画出图象是关键.二、填空题（本大题共4小题.将答案填在答题卷相应位置上.）13. 设集合，则实数的取值集合为_.【答案】【解析】【分析】先根据已知判断出，再分，或三种情况讨论求实数的取值集合【详解】解：因为，所以， 因为，所以所以，或当时，；当时，则，解得；当时，则，解得；所以实数a的取值集合为故答案为：【点睛】本题考查利用集合的运算判断集合的关系、利用集合的基本关系求参数，还考查了分类讨论的数学思想，是中档题.14. 已知向量、满足，若，则向量与的夹角为_.【答案】【解析】【分析】设向量与的夹角为，由已知条件得出，可求得的取值范围，结合角的取值范围可得出的值.【
10、详解】，可得，则，又，故.故答案为：.【点睛】本题考查利用平面向量的数量积求向量的夹角，同时也考查了平面向量垂直的数量积表示，考查计算能力，属于基础题.15. 若三个关于x的方程，中至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围为_.【答案】【解析】【分析】结合判别式求出当三个方程都没有实根时的实数a的取值范围，进而可求出所求答案.【详解】解：若三个方程都没有实根，则，解得，所以当至少有一个方程有实根时，或，故答案为: .【点睛】本题考查了方程的实数解的问题，将至少有一个方程转化为都没有实根再求解是解题的关键.16. 锐角三角形中，若，则的范围是 ；【答案】(【解析】试题分析：因为，为锐角三角形，所
11、以根据正弦定理，根据余弦函数的图象，可知考点：本小题主要考查正弦定理、二倍角公式以及三角函数图象的性质和应用，考查学生的转化能力和数形结合思想的应用.点评：解决此题时，容易漏掉，从而产生错误结论，所以解题时一定要严谨.三、解答题：本大题共6小题.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.17. 已知，是同一平面内的三个向量，其中.（1）若，且，求的坐标；（2）若，与的夹角为锐角，求实数的取值范围.【答案】（1）或 （2）【解析】【分析】（1）由向量共线的坐标运算及模的运算即可得解；（2）由向量数量积坐标运算即可，特别要注意向量与不能共线.【详解】解：（1）因为，且，则，又，所以，即，故或；（2）
12、由，则，由，解得， 又与不共线，则，解得，故与的夹角为锐角时，实数的取值范围为：.【点睛】本题考查了向量共线的坐标运算及数量积的坐标运算，重点考查了运算能力，属基础题.18. 已知函数，满足，（1）求函数的最小正周期；（2）求函数在上的最大值和最小值【答案】（1），（2）最大值为，最小值为【解析】【分析】（1）由可求出的值，再对函数化简可求出其最小正周期；（2）由求出的范围，然后利用正弦函数的性质可求出其最值.【详解】解：（1）因为，所以，解得，所以，所以的最小正周期为，（2）由，得，所以，所以，所以，所以在上的最大值为，最小值为【点睛】此题考查三角函数的恒等变换公式、正弦函数的性质，属于基础
13、题.19. 在锐角中，角所对的边分别为，已知，（1）求角的大小；（2）求的面积【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）先由正弦定理求得与的关系，然后结合已知等式求得的值，从而求得的值；（2）先由余弦定理求得的值，从而由的范围取舍的值，进而由面积公式求解试题解析：（1）在中，由正弦定理，得，即.又因为，所以.因为为锐角三角形，所以.（2）在中，由余弦定理，得，即.解得或. 当时，因为，所以角为钝角，不符合题意，舍去.当时，因为，又，所以为锐角三角形，符合题意.所以的面积. 考点：1、正余弦定理；2、三角形面积公式20. 已知数列的前项和为，且（），.（）判断数列是否是等比数列，并求出数列的
14、通项公式；（）设，求数列的前项和.【答案】（）数列不是等比数列. （）【解析】【分析】（）利用与之间的关系，结合等比数列的定义，即可得解；（）根据（）写出数列的通项公式，再利用等差数列求和公式，即可求解.【详解】（）数列不是等比数列.，由（）可知，当时，两式相减得，即，所以由（）得当时，所以数列是从第2项起，以2为公比的等比数列，所以（），所以.【点睛】本题考查数列的通项公式及前项和的求法，考查运算求解能力、化归与转化的思想及分类与整合的思想，考查数学运算、逻辑推理核心素养.21. 已知函数.（1）若曲线存在斜率为-1的切线，求实数a的取值范围；（2）求的单调区间；（3）设函数，求证：当时，
15、在上存在极小值.【答案】(1) .(2)答案见解析；(3)证明见解析.【解析】【详解】试题分析：（1）求出函数的导数，问题转化为存在大于的实数根，根据在时递增，求出的范围即可；（2）求出函数的导数，通过讨论的范围，判断导数的符号，求出函数的单调区间即可；（3）求出函数，根据，得到存在，满足，从而让得到函数单调区间，求出函数的极小值，证处结论即可.试题解析：（1）由得.由已知曲线存在斜率为-1的切线，所以存在大于零的实数根，即存在大于零的实数根，因为在时单调递增，所以实数a的取值范围.（2）由可得当时， ，所以函数的增区间为；当时，若， ，若， ，所以此时函数的增区间为，减区间为.（3）由及题设
16、得，由可得，由（2）可知函数在上递增，所以，取，显然，所以存在满足，即存在满足，所以， 在区间（1，+）上的情况如下： 0 + 极小 所以当-1a0时，g（x）在（1，+）上存在极小值.点睛：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，所以在历届高考中，对导数的应用的考查都非常突出 ，本专题在高考中的命题方向及命题角度 从高考来看，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系. (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数. (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.
17、(4)考查数形结合思想的应用.选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）若射线（）与直线和曲线分别交于，两点，求的值.【答案】（1）（），；（2）.【解析】【分析】（1）将直线的参数方程消参，即可得直线的普通方程，要注意；将曲线的极坐标方程两边同乘，再将，代入，即可得曲线的直角坐标方程；（2）先将直线的直角坐标方程化为极坐标方程，再将（）代入直线和曲线的极坐标方程中，可得点，对应的极径，
18、利用计算，即可求解.【详解】（1）由得，将（为参数）消去参数，得直线的普通方程为（）.由得，将，代入上式，得，所以曲线的直角坐标方程为.（2）由（1）可知直线的普通方程为（），化为极坐标方程得（），当（）时，设，两点的极坐标分别为，则，所以.【点睛】本题考查直角坐标方程与极坐标方程的互化、参数方程与普通方程的互化及参数的几何意义，考查运算求解能力，考查数学运算核心素养，属于常考题.23. 设函数（）的最小值为1.（1）求的值；（2）若（），求证：.【答案】（1）2；（2）见解析.【解析】【分析】（1）由绝对值三角不等式即可解得的值；（2）利用基本不等式即可证明.【详解】（1）由，可得，则，；（2）由（1）可知，（当且仅当时等号成立）， ，故.【点睛】本题考查绝对值三角不等式及基本不等式，考查运算求解能力、化归与转化思想，考查数学运算核心素养，属于常考题.