1、山西省晋中市2020届高三数学四模考试试题 文（含解析）一、选择题1.已知集合，集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先通过一元二次不等式的解法和指数函数的值域，化简集合A，B，然后利用交集的定义求解.【详解】因为，所以故选：B【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及一元二次不等式的解法，指数函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.已知复数，是实数，那么复数的实部与虚部满足关系式（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先利用复数的除法运算化简，若为实数，则虚部为零，即得解.【详解】，是实数，所以，故选：A.【点睛】该题考查的是有关复数的问题，
2、涉及到的知识点有复数的四则运算和基本概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题目.3.如图茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩（单位：分）则甲组数据的中位数，乙组数据的平均数分别为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由茎叶图确定各数据，然后根据中位数和均值的定义求解【详解】甲组5个数据中间的数是15，即中位数是15，乙组数据的均值是故选：D【点睛】本题考查茎叶图，考查中位数和均值的概念，由茎叶图得出各数据是解题基础4.已知，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先确定和的范围，然后利用指数函数和对数函数性质把与0，1比较后
3、可得【详解】因为，所以，所以.故选：B【点睛】本题考查幂、对数的大小比较，考查三角函数的性质，掌握指数函数和对数函数的性质是解题关键5.已知向量，则当取最小值时，实数（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由知在直线上，因此要使最小，则有，由直角三角形的射影定理计算出即得【详解】由知在直线上，当时，最小，如图，又，这时，故选：C【点睛】本题考查平面向量数乘的意义，掌握平面向量数乘的概念是解题关键6.谢宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢宾斯基在1915年提出，先作一个正三角形挖去一个“中心三角形”（即以原三角形各边的中点为顶点的三角形），然后在剩下的小三角形中又挖去一个“中心
4、三角形”，我们用白色代表挖去的面积，那么黑三角形为剩下的面积（我们称黑三角形为谢宾斯基三角形）向图中第4个大正三角形中随机撒512粒大小均匀的细小颗粒物，则落在白色区域的细小颗粒物的数量约是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设第一个三角形的面积为，通过图形中的比例关系可确定黑色部分面积是首项为，公比为的等比数列；通过计算第五个图形中黑色部分面积可确定白色部分面积；根据均匀随机数的思想可求得结果.【详解】不妨设原三角形面积为，第一次挖去三角形的面积为，剩余面积为，接下来每挖一次，对每个小完整三角形来说挖去的面积都是原完整三角形面积的，剩余面积为，故第二次挖去以后剩余面积为，
5、第三次挖去以后剩余面积为，所以第个图中白色区域的面积为，所以落在白色区域的细小颗粒物约有（粒）故选：C【点睛】本题考查均匀随机数思想的应用，关键是能够通过观察得到黑色部分的面积成等比数列的特点.7.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）A. 求首项为，公比为的等比数列的前项的和B. 求首项为，公比为的等比数列的前项的和C. 求首项为，公比为的等比数列的前项的和D. 求首项为，公比为的等比数列的前项的和【答案】D【解析】【分析】先由程序的循环变量得到循环执行的次数，再由中第一次累加的是，第二次累加的是，依此循环得到结论.【详解】由已知中的程序框图可知：该程序的循环变量的初值为，终值
6、为，步长为，故循环共执行了次由中第一次累加的是，第二次累加的是，一直下去，故该算法的功能是求首项为，公比为的等比数列的前项的和故选：D【点睛】本题主要考查程序框图中的循环结构，还考查了逻辑辨析的能力，属于基础题.8.双曲线的左、右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与双曲线的两条渐近线分别交于两点，若为等腰直角三角形，则该双曲线离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析】求出双曲线的两渐近线方程，由，得出，利用为等腰直角三角形，可得，即可求出该双曲线的离心率【详解】由的渐近线方程：，设点在第一象限内，由，解得，因为为等腰直角三角形，则也为等腰直角三角形，所以，即，即，所以，故选：D
7、【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，利用等腰直角三角形边角关系可得、的等式，化简可得离心率，属于中等题.9.如图，平面四边形中，为等边三角形，现将沿翻折，使点移动至点，且，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，在中，计算半径即可.【详解】由，可知平面将三棱锥补形为如图所示的三棱柱，则它们的外接球相同，由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上，记的外心为，由为等边三角形，可得又，故在中，此即为外接球半径，从而外接球表面
8、积故选：A【点睛】本题考查了三棱锥外接球的表面积，考查了学生空间想象，逻辑推理，综合分析，数学运算的能力，属中档题.10.已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】判断的奇偶性与单调性，从而可得的奇偶性与单调性，利用这两个性质解不等式【详解】，由的解析式可知，在上是奇函数且单调递增，为偶函数，当时，有，任取，则，由不等式的性质可得，即，所以，函数在上递增再由，得，得即，解得故选：B【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性，注意奇函数与偶函数在解不等式应用的不同点，正确求解不等式11.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的某多面体的三视图，则该几何体
9、各个表面的面积中，最小值为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据三视图还原该几何体为倾斜放置的一个四棱锥，且顶点在底面的射影落在底面的一个顶点上，然后结合三视图分别求出各个面的面积并进行比较，即可得到答案【详解】满足三视图的几何体为四棱锥，如图所示：则，所以该几何体的表面中的面积最小值为故选：A【点睛】本题主要考查对三视图所表达的空间几何体的识别及几何体侧面积的计算由三视图还原几何体，要弄清楚几何体的特征，把三视图中的数据、图形特点准确地转化为对应几何体中的线段长度、图形特点，再进行计算12.已知函数仅有一个极值点，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】
10、B【解析】【分析】求出导函数，则在上只有一个解，变形后知无解，利用导数求出它的最小值后可得的范围【详解】由题意知函数的定义域为，因为函数恰有一个极值点，所以无解，令，则，所以在上单调递增，从而，所以时，无解，恰有一个极值点，所以的取值范围是故选：B.【点睛】本题考查用导数研究函数极值点个数问题，解题时转化为在上只有一解问题，再用分离参数法转化为求函数最值考查了转化与化归思想二、填空题13.在如图所示表格中，如果每格填上一个数后，每一行成等差数列，每一列成等比数列，那么的值为_【答案】【解析】【分析】由第一行构成等差数列，求得，由第二行构成等差数列，求得，由第三列构成等比数列，求得，由第四列构成
11、等比数列，求得，即可求解的值，得到答案.【详解】由题意，设第一行构成等差数列，可得，则，即，解得，所以，设第二行构成等差数列，可得，则，解得，所以，设第三列构成等比数列，可得，则，所以，设第四列构成等比数列，可得，则，所以，所以.故答案为：.【点睛】本题主要考查了等差数列、等比数列的通项公式的基本量的运算，其中解答中熟记等差、等比数列的通项公式，准确计算是解答的关键，着重考查推理与计算能力.14.为了得到函数的图象，需将函数的图象沿轴向右平移个单位长度，则正实数的最小值是_【答案】【解析】【分析】把用诱导公式化为形式，然后根据三角函数图象平移的性质得出结论【详解】，故函数的图象沿轴向右平移个单
12、位长度即可得到函数的图象故答案为：【点睛】本题考查三角函数图象变换，掌握三角函数图象变换的知识是解题关键，求解时需把变换前后的函数名称化为相同，的系数的正负相同15.如图，圆锥底面半径为，体积为，、是底面圆的两条互相垂直的直径，是母线的中点，已知过与的平面与圆锥侧面的交线是以为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点到其准线的距离等于_【答案】【解析】【分析】由圆锥体积计算出圆锥的高，从而得母线长，可得，然后以为坐标原点，为轴，与平行的直线为轴建立平面直角坐标系，得抛物线方程为，代入点坐标，求得，从而得结论【详解】由，得，则，以为坐标原点，为轴，与平行的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，
13、设抛物线的方程为，解得，故焦点到其准线的距离等于故答案为：1.【点睛】本题考查空间图形中的平面轨迹问题，解题时可在此平面内建立平面直角坐标系，利用平面解析几何知识求解16.记数列的前项和为，已知，且若对任意的，都有，则实数的取值范围为_【答案】【解析】【分析】在已知式中用代得另一等式，两式相减可证得数列是等差数列，由求出，得公差，从而可得通项公式和前项和，令，求出后确定数列的最大值，得的取值范围【详解】依题意，则，两式相减，可得，所以为等差数列，由，得，又，解得，所以，则,，令，当时，数列单调递减，而，故故答案为：【点睛】本题考查等差数列的证明，考查等差数列前项和公式，考查数列不等式恒成立问题
14、在已知式中用代得另一等式，两式相减可证得数列是等差数列，这种变形方法我们可称之为“消常法”， 数列不等式恒成立问题，可转化为求数列的最值问题，从而可先确定数列的单调性三、解答题17.在中，内角的对边分别为，且（1）求的值；（2）若，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理和题设条件，化简得，进而求得，结合三角函数的基本关系式，即可求得的值；（2）由（1）和正弦定理化简得，结合三角函数的性质，即可求得的范围【详解】（1）在中，因为，可得，则，整理得，因为，则，所以，又因为，所以（2）由（1）知，由正弦定理知，所以，所以，又由，因，所以，则，所以，可得，所以，可得，所以的
15、范围为【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.18.为贯彻落实党中央全面建设小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作经过多年的精心帮扶，截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康，2019年6月，为估计该地能否
16、在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入，作出散点如下：根据盯关性分析，发现其家庭人均月纯收入与时间代码之间具有较强的线性相关关系（记2019年1月、2月分别为，依此类推），由此估计该家庭2020年能实现小康生活但2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度每月的人均月纯收入只有2019年12月的预估值的（1）求关于的线性回归方程；（2）求该家庭2020年3月份的人均月纯收入；（3）如果以该家庭3月份人均月纯收入为基数，以后每月增长率为，问该家庭2020年底能否实现小康生活？参考数据：，参考公式：，【答案】（1
17、）；（2）500元；（3）能【解析】【分析】（1）根据题意求得，再由提供的数据得到，代入公式，求得，进而求得，写出回归方程.（2）用（1）的回归方程，令，求得2019年12月该家庭人均月纯收入预估值，然后再根据2020年第一季度每月的人均月纯收入只有2019年12月的预估值的求解.（3）由每月的增长率为，设从3月开始到12月的纯收入之和为，利用等比数列求和公式求解，然后再加上1，2月份的收入与8000比较即可.【详解】（1）依题意得：，所以，所以关于的线性回归方程为.（2）令，得2019年12月该家庭人均月纯收入预估值为元故，2020年3月份该家庭的人均月纯收入为元（3）每月的增长率为，设从3
18、月开始到12月的纯收入之和为，则，故到年底能如期实现小康【点睛】本题主要考查线性回归方程的求法及应用，等比数列求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.如图，三棱柱中，平面平面，是的中点（1）求证：平面；（2）若，求到平面的距离【答案】（1）详见解析；（2）【解析】【分析】（1）连结交于点，则为的中点，可得，再由直线与平面平行的判定可得平面；（2）求解三角形求得得再证明平面求出三角形的面积，设到平面的距离为，利用等体积法求点到面的距离；【详解】解：（1）连结交于点，则为的中点，因为是的中点，所以，又平面，平面，所以平面（2），即，又平面平面，平面平面，平面，设到平面的距离为，而，所以，所
19、以，到平面的距离为【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，属于中档题20.设椭圆的左顶点为，右顶点为，已知椭圆的离心率为，且以线段为直径的圆被直线所截的弦长为（1）求椭圆的方程；（2）记椭圆的右焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点若线段的垂直平分线与轴交于点，求的取值范围【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)利用点到直线的距离公式和圆的弦长公式即可求解.(2)设直线的方程为，联立方程组设、，利用韦达定理，即可得出的中点为，然后，利用线段的垂直平分线与轴交于点，即可求解【详解】解：（1）以线段为直径的圆的圆心为，半径为，圆心到直线的距离为
20、，直线被圆截的弦长为，解得，又椭圆的离心率为，所以，所以，椭圆的方程为（2）依题意，直线的方程为联立方程组消去并整理得，设、，故，设的中点为，则因为线段的垂直平分线与轴交于点，当时，那么；当时，即解得因为，所以，即综上，的取值范围为【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，以及利用直线与圆锥曲线的联立方程，进行韦达代换求解的，属于难题.21.已知函数（1）求函数的值域；（2）令在上的最小值为，求证：（参考数据：，）【答案】（1）；（2）详见解析【解析】【分析】（1）求出导函数，由导函数确定单调性，然后可得最值，得值域；（2）求出导函数，对的一部分再一次求导（引入新函数），确定的零点范围，从而得出的最
21、小值，并证明结论成立【详解】解：（1）的定义域为，且，当时，单调递增；当时，单调递减；所以在取得极大值也是最大值即，又有的图象知当趋近时无限小，故（2），于是令，则，由于，所以，即在上单调递增；又，所以，使得，即当时，；当时即在上单调递减；在上单调递增所以即所以即【点睛】本题考查用导数研究函数的最值，用导数求函数的值域，在导函数的零点不易求得时，可对或其中一部分再一次求导，以确定的零点，得的正负，的极值这时要注意零点的性质，利用这个性质去解决题中问题22.平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为（1）求曲线的极坐标方程以及
22、曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线、曲线在第一象限交于两点，且，点的坐标为，求的面积【答案】（1），；（2）【解析】【分析】（1）首先消去参数得到直角坐标方程，再化为极坐标，根据将曲线的极坐标化为直角坐标；（2）将代入曲线、曲线的极坐标方程中，求出，由，可得，根据可得结果.【详解】（1）依题意消去参数曲线，即故，即因，故，即，即（2）将代入得将代入得由，得，即，解得，则又，故故的面积【点睛】本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角形的面积公式的应用，属于中档题.23.已知函数(1)求不等式的解集；(2)若正数满足，求的最小值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】(1)化简后根据绝对值中的零点将转换为分段函数，再求解即可.(2)代入可得，再根据柯西不等式求最小值即可.【详解】解：(1)化简得当时，由即，解得，又，所以；当时，由，即，解得，又，所以；当时，不满足，此时不等式无解；综上，不等式的解集为(2)，所以，由柯西不等式：上式.当且仅当时，等号成立.所以的最小值为.【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的求解、柯西不等式求最小值的问题，属于中档题.